2022-2023学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷
一、单选题(本大题共12小题,共60.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知数列,满足,,则( )
A. B. C. D.
2. 年月日,第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行,小郑同学购买了几件商品,这些商品的价格如果按美元计,则平均数为,方差为,如果按人民币计汇率按美元元人民币,则平均数和方差分别为( )
A. , B. , C. , D. ,
3. 如图,洛书古称龟书,是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图像,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数,则选取的个数之和为奇数的方法数为( )
A. B. C. D.
4. 下列四个命题中,正确命题的个数为( )
甲乙两组数据分别为:甲:,,,,,,,,;;乙:,,,,,,,,,,则甲乙的中位数分别为和.
相关系数,表明两个变量的相关性较弱.
若由一个列联表中的数据计算得的观测值,那么有的把握认为两个变量有关.
用最小二乘法求出一组数据,的回归直线方程后要进行残差分析,相应于数据,的残差是指.
A. B. C. D.
5. 已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为,若,则等于( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行,则该切线的方程为( )
A. B. C. D.
7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,图中虚线上的数,,,构成数列,记为该数列的第项,则( )
A.
B.
C.
D.
8. 下列说法中不正确的是( )
A. 若随机变量,,则
B. 若随机变量,则期望
C. 已知随机变量 的分布列为,则
D. 从名男生,名女生中选取人,则其中至少有一名女生的概率为
9. 若需要刻画预报变量和解释变量的相关关系,且从已知数据中知道预报变量随着解释变量的增大而减小,并且随着解释变量的增大,预报变量大致趋于一个确定的值,为拟合和之间的关系,应使用以下回归方程中的为自然对数的底数( )
A. B. C. D.
10. 对于三次函数,现给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心设函数,则( )
A. B. C. D.
11. 已知数列满足,若对于任意都有,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 若,则下列式子可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知等比数列满足:,,,则公比 ______ .
14. 在甲,乙,丙三个地区爆发了流感,这三个地区分别有,,的人患了流感若这三个地区的人口数的比为::,现从这三个地区中任意选取一个人,这个人患流感的概率是______ .
15. 为积极践行劳动教育理念,扎实开展劳动教育活动,某学校开设三门劳动实践选修课,现有五位同学参加劳动实践选修课的学习,每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,则不同的报名方法有______ .
16. 年第届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕,参赛选手甲、乙进入了半决赛,半决赛采用五局三胜制,当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时,就由该选手晋级而比赛结束每局比赛皆须分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响假设甲在任一局赢球的概率为,比剉局数的期望值记为,则的最大值是______ .
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
一只口袋中装有形状、大小都相同的个小球,其中有红球个,白球个,黑球个.
Ⅰ若每次从袋子中随机摸出个球,摸出的球不再放回在第次摸到白球的条件下,第饮摸到白球的概率;
Ⅱ若从袋子中一次性随机摸出个球,记黑球的个数为,求随机变量的概率分布.
18. 本小题分
设数列的前项和为,已知,.
Ⅰ设,证明:数列是等比数列;
Ⅱ求数列的前项和.
19. 本小题分
黄河是中华民族的母亲河、生命河,也是一条桀骜难驯的忧患之河小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界,是黄河治理开发的关键控制性工程它控制着黄河的流域面积、的径流量和近的泥沙,以防洪、防淩、减淤为主,兼顾供水、灌溉、发电,不仅是中华民族治黄史上的丰碑,也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一,其大坝为预测渗压值和控制库水位,工程师在水库选取一支编号为渗压计,随机收集个该渗压计管内水位和水库水位监测数据:
样本号 总和
水库水位
渗压计管内水位
并计算得,,,,,.
Ⅰ求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数精确到;
Ⅱ某天雨后工程师测量了水库水位,并得到水库的水位为利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值.
附:相关系数,,.
20. 本小题分
已知函数.
讨论的单调性;
若有两个零点,求的取值范围.
21. 本小题分
根据长期生产经验,某种零件的一条生产线在设备正常状态下,生产的产品正品率为为了监控该生产线生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取个零件,并测量其质量,规定:抽检的件产品中,若至少出现件次品,则认为设备出现了异常情况,需对设备进行检测及修理.
Ⅰ假设设备正常状态,记表示一天内抽取的件产品中的次品件数,求,并说明上述监控生产过程规定的合理性;
Ⅱ该设备由甲、乙两个部件构成,若两个部件同时出现故,则设备停止运转;若只有一个部件出现故障,则设备出现异常已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为,由乙部件故障造成的概率为若设备出现异常,需先检测其中一个部件,如果确认该部件出现故障,则进行修理,否则,继续对另一部件进行检测及修理已知甲部件的检测费用元,修理费用元,乙部件的检测费用元,修理费用元当设备出现异常时,仅考虑检测和修理总费用,应先检测甲部件还是乙部件,请说明理由.
参考数据:,,.
22. 本小题分
已知函数.
Ⅰ求函数的最小值;
Ⅱ设函数证明:当时,,恒成立.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:由可知数列是公差为的等差数列,
所以.
故选:.
由可知数列是公差为的等差数列,而后根据等差数列性质求出即可.
本题主要考查等差数列的性质,属基础题.
2.【答案】
【解析】解:由题意,这些商品的价格如果按人民币计,价格是按美元计的倍,
则平均数为,
方差为.
故选:.
一组数据同时乘以一个数,则平均数也乘以这个数,而方差乘以这个数的平方,结合题意代入计算即可.
本题考查平均数和方差的性质,考查学生计算能力,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:阴数为,,,,阳数为,,,,,
从中任取个数为种,
个数都为偶数有种,
个数都为奇数有种,
奇偶有种,
则选取的个数之和为偶数的方法数为种,
则选取的个数之和为奇数的方法数为.
故选:.
由题意可知,阴数为,,,,阳数为,,,,,可以由总组合数减去个数乘积为偶数的情况即可得答案.
本题考查了组合的问题,属于中档题.
4.【答案】
【解析】解:对于,甲组数据的中位数为,乙组数据的中位数为,错误;
对于,相关系数时,两个变量有很强的相关性,错误;
对于,的观测值约为,那么有的把握认为两个变量有关,正确;
对于,残差分析中,相应数据,的残差,正确;
所以命题正确的序号是.
故选:.
求出两组数据的中位数判断;利用相关系数的意义判断;利用的观测值与要求的临界值对判断;利用残差的意义判断作答.
本题考查回归方程的应用,属于中档题.
5.【答案】
【解析】
【分析】
,由于的二项展开式的奇数项二项式系数和为,可得,解得即可得出.
本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
【解答】
解:,
的二项展开式的奇数项二项式系数和为,,解得.
则.
故选:.
6.【答案】
【解析】解:由,得,
,
由,得.
,可得,
所求切线的方程为,即.
故选:.
求出原函数的导函数,利用导函数值为求解值,进一步求出,再由直线方程的点斜式得答案.
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查运算求解能力,是基础题.
7.【答案】
【解析】解:由题意得 ,,
,
观察规律可得,
所以.
故选:.
利用已知条件,结合数列的项,找出数列的通项公式,然后求解即可.
本题考查数列的递推关系式的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.
8.【答案】
【解析】解:对于:随机变量且,
则,故A正确;
对于:随机变量,则期望,故B正确;
对于:因为,所以,
所以,解得,所以,故C错误;
对于:从名男生,名女生中选取人,
则其中至少有一名女生的概率,故D正确;
故选:.
根据正态分布的性质判断,根据二项分布的期望公式判断,根据分布列的性质求出,即可判断,根据古典概型的概率公式判断.
本题考查了正态分布、分布列的性质、二项分布的期望公式和古典概型的概率公式,属于中档题.
9.【答案】
【解析】解:对于:因为在定义域内单调递增且,所以随着的增大而增大,不合题意,故A错误;
对于:因为在定义域内单调递增且,所以随着的增大而减小,当解释变量,,不合题意,故B错误;
对于:因为在定义域内单调递增且,所以随着的增大而减小,当解释变量,,不合题意,故C错误;
对于:因为在定义域内单调递减且,所以随着的增大而减小,当解释变量,,故D错误.
故选:.
根据及函数的单调性,判断随增大时的增减性,再判断各个回归方程是否随着解释变量的增大趋于一个确定的值,即可得出答案.
本题主要考查了函数的实际应用,考查了函数单调性的判断,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:由,得,
所以,由,得,解得,
而,即的对称中心为,
所以,
则
.
故选:.
由题意首先确定函数的对称中心,然后结合函数的对称中心即可确定代数式的值.
本题主要考查导数的新定义问题,导数的应用,函数的对称性及其应用等知识,属于中等题.
11.【答案】
【解析】解:因为对于任意都有,所以数列单调递减,
当时,,由单调递减,可得,
当时,,由单调递减,可得,即,
又,,解得,
综上,实数的取值范围是
故选:.
由题设知数列单调递减,利用一次函数和指数函数单调递减的条件可得到的范围,最后考虑分段处的两项也要满足递减的条件,最终确定的范围.
本题考查数列的函数特性,熟练掌握一次函数,指数函数的单调性,分段函数单调的条件是解题关键,属基础题.
12.【答案】
【解析】解:由,得,
令,则,
由,得,则单调递增,且.
若,则,而,可得不成立;
若,则,而,可得不成立;
若,则,而,可得不成立;
若,则,而,若,可得可能成立.
故选:.
根据条件得出,设,得出,可判断在上单调递增,从而得出时,,得出不成立,同样的方法可判断选项BCD的正误,从而得出正确的选项.
本题考查了构造函数解决问题的方法,不等式的性质,根据导数符号判断函数单调性的方法,增函数的定义,考查了计算能力,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:根据题意,设等比数列的公比为,
由于,则,
又由,,则,解可得.
故答案为:.
根据题意,设等比数列的公比为,由等比数列的通项公式可得,解可得答案.
本题考查等比数列的性质以及应用,涉及等比数列的通项公式,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:设事件为此人患流感,,,分别代表此人来自甲,乙,丙三个地区,
根据题意可知:,,,
,,,
.
故答案为:.
患流感的人可能来自三个地方,利用条件概率公式求解.
本题考查概率的运算,考查条件概率等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
15.【答案】
【解析】解:根据题意,分步进行分析:
将人分为组,若组的人数为、、,有种分组方法,
若组的人数为、、,有种分组方法,
则有种分组方法;
将分好的组安排参加三门劳动实践选修课,有种情况,
则有种报名方法.
故答案为:.
根据题意,分步进行分析:将人分为组,将分好的组安排参加三门劳动实践选修课,由分步计数原理计算可得答案.
本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:设实际比赛局数为,则的可能取值为,,,
则,
,
,
则,
所以,
因为的对称轴为,
当时,,当时,,所以,
所以令,则;令,则,
则函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,即的最大值为.
故答案为:.
设实际比赛局数为,分别计算出可能取值的概率,进而求出期望值,再利用导数求得的最大值,由此得解.
本题考查了概率和导数的综合应用,属于中档题.
17.【答案】解:Ⅰ根据题意,一只口袋中装有形状、大小都相同的个小球,其中有红球个,白球个,黑球个,
在第次摸到白球的条件下,袋中有个球,其中有红球个,白球个,黑球个,
则在第次摸到白球的条件下,第饮摸到白球的概率;
Ⅱ根据题意,可取的值为、、、,
,,,,
则的分布列为
【解析】Ⅰ根据题意,分析在第次摸到白球的条件下,袋中球的数目和白球的数目,进而计算可得答案;
Ⅱ根据题意,分析可取的值,分别求出的值所对应的概率,进而可得的分布列.
本题考查随机变量的分布列,涉及条件概率的计算,属于基础题.
18.【答案】解:Ⅰ证明:,
当时,,即,解得,
故,
又,
则,
数列是首项为,公比为的等比数列.
又,
则数列是等比数列;
Ⅱ由得,则,
数列是以为首项,以为公差的等差数列,
,
.
【解析】Ⅰ由已知推导出数列是首项为,公比为的等比数列,即可证明结论;
Ⅱ由,得到数列是以为首项,以为公差的等差数列,可得,即可得出答案.
本题考查等差数列和等比数列的综合,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
19.【答案】解:Ⅰ由表格易得:水库的平均水位,
号渗压计管内平均水位,
又,
同理可得:,
,
;
Ⅱ,
,
号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为,
当时,预测值,
即水库的水位为时,号渗压计管内水位的估计值为.
【解析】Ⅰ根据相关系数公式计算即可;
Ⅱ根据最小二乘法计算可得回归方程,再代入可得预测数据.
本题考查了相关系数和回归方程的计算,属于中档题.
20.【答案】解:的定义域为,,
若,则,所以在上是单调递减.
若,则由得,.
当时,;当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
若,至多有一个零点,不符合题意;
若,当时,取得最小值.
当时,,只有一个零点;
当时,,没有零点;
当时,又,故在有一个零点.
设整数满足,则,故在有一个零点.
综上,的取值范围是.
【解析】求出的导数表达式容易发现,当时,导数恒小于零,依此对函数的单调性根据的值进行分类讨论.
由中的分类讨论结果易知该函数有一个最小值,利用最小值与的关系,根据函数零点的判定定理可以求出的取值范围.
本题主要考察了导数与单调性的关系,以及函数零点问题,分类讨论是本体的解题关键.
21.【答案】解:由题可知,单件产品为次品的概率为,所以,
所以,
,
所以,
由可知,如果生产状态正常,一天内抽取的个零件中,
至少出现个次品的概率约为,该事件是小概率事件,
因此一旦发生这种状况,就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况,
需对设备进行检测和修理,可见上述监控生产过程的规定是合理的.
若先检测甲部件,设检测费和修理费之和为元,则的所有可能值为,,
则,,
所以;
若先检测乙部件,设检测费和修理费之和为元,则的所有可能值为,,
则,,
所以,
所以,
则当时,,应先检测乙部件;
则当时,,应先检测甲部件或乙部件;
则当时,,应先检测甲部件.
【解析】由题可得,再由二项分布的概率公式求解即可;
求出两种情况的费用均值,比较即可得出.
本题主要考查了二项分布的概率公式,还考查了期望公式,以及期望的实际意义,属于中档题.
22.【答案】解:Ⅰ的定义域为,
令得,令得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以的最小值为;
证明:Ⅱ,
,,
,即在上单调递减,
,
由知,的最小值为,
所以,即当且仅当时,等号成立,
,故.
【解析】Ⅰ求导后根据单调性求极值即是最值;
Ⅱ利用已知条件得到,得到,根据的结论可得.
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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