2022-2023学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市乌江新高考协作体高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的值等于( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，那么( )
A. B.
C. D.
3. 实验测得六组成对数据的值为，，，，，，由此可得与之间的回归方程为，则可预测当时，的值为( )
A. B. C. D.
4. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
5. “”是“属于函数单调递增区间”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知定义在上的函数对任意区间和，若存在开区间，使得，且对任意都成立，则称为在上的一个“点”有以下两个命题：
若是在区间上的最大值，则是在区间上的一个点；
若对任意，都是在区间上的一个点，则在上严格增．
那么( )
A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题
C. 、都是真命题 D. 、都是假命题
8. 已知函数，则函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某企业对目前销售的，，，四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是( )
A. 产品升级后，产品的营收是升级前的倍
B. 产品升级后，产品的营收是升级前的倍
C. 产品升级后，产品的营收减少
D. 产品升级后，产品、营收的总和占总营收的比例不变
10. 已知函数的最小正周期为，且图象经过点，则( )
A.
B. 点为函数图象的对称中心
C. 直线为函数图象的对称轴
D. 函数的单调增区间为
11. 已知函数，下列说法正确的为( )
A. 若，则函数与的图象有两个公共点
B. 若函数与的图象有两个公共点，则
C. 若，则函数有且仅有两个零点
D. 若在和处的切线相互垂直，则
12. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程已知大衍数列满足，，则( )
A.
B.
C.
D. 数列的前项和为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校高二班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有人用时为分钟，有人用时分钟，有人用时为分钟，还有人用时为分钟，则高二班全体同学用餐平均用时为______分钟．
14. 已知向量，满足，若，则，夹角的余弦值为______．
15. 如图所示，制作某回旋飞梭的飞行翅膀时，需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且对角为的三角形图中的阴影部分再加工而成为游戏者安全考虑，具体制作尺寸为，，，则 ______ ．
16. 已知圆：，，是圆上两点，点且，则最大值是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
如图，直四棱柱，底面是边长为的菱形，，，点在平面上，且平面D.
求的长；
若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
19. 本小题分
已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
Ⅰ若时，求证：平面平面；
Ⅱ若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
20. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，的面积为，求，．
21. 本小题分
设函数，其中，曲线在点处的切线经过点．
求函数的极值；
证明：．
22. 本小题分
已知函数．
若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
若函数有两个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用指数与对数的运算法则即可得出．
本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用并集定义、不等式性质直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由表中数据可得，，，
线性回归方程为，则，解得，
故，当时，．
故选：．
先求出样本中心点，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，得或．
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为．
则函数的单调增区间为，
而外层函数是定义域内的增函数，
函数的单调递增区间是．
由，不能得到；反之，由，能够得到，
“”是“属于函数单调递增区间”的必要不充分条件．
故选：．
求出函数的单调递增区间，再由充分必要条件的判定得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查充分必要条件的判定，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：，若与同向共线，
则，，
则，得，
当时，满足，但此时两个向量关系，夹角为，则与夹角为锐角不成立，
若与夹角为锐角，则，则，成立，
即“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，
故选：．
根据向量夹角与向量数量积的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量夹角与数量积的关系是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：对于，设，满足是在区间上的最大值，但不是在区间上的一个点，错误；
对于，设，对于区间，令为有理数，满足对任意都成立，
故为区间上的一个点，但在上不是严格增函数，错误．
故选：．
举出反例，得到错误．
本题考查了函数新定义的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，则，
令，即，
转化为与的交点，画出图像如图所示：
由图像可知，，，所以函数有一个解，
有两个解，
故的零点个数是个．
故选：．
通过换元，，则可以转化为与的交点的个数，画出图像既可以解决．
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设产品升级前的营收为，升级后的营收为．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，故升级后的产品的营收是升级前的倍，A正确．
同理可得B正确，C错误．
产品升级后，产品，营收的总和占总营收的比例不变，D正确．
故选：．
设产品升级前的营收为，升级后的营收为，根据饼图，得到升级后的产品的营收是升级前的倍，逐项判断即可．
本题考查统计，考查数据分析的核心素养，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为函数的最小正周期为，
所以，故A正确；
，
图象经过点，
则，
故，
又因为，
所以，
所以．
因为，故B错误；
因为，
所以直线为函数图象的对称轴，故C正确；
由，得．
故函数的单调增区间为，故D正确．
故选：．
先求出的解析式，然后逐项分析验证即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，，则或，则，故仅有公共点，则A错误；
对于，，则或，
故，解得，则B正确；
对于，令，则，设，则，
又因为时，，
故有两解，则C正确；
对于，当和同时为正或为负时，不成立，
不妨设，则，，则，
则，则，则D正确．
故选：．
对于，将代入计算即可；对于，由或，再结合题意可得关于的不等式组，解出即可；对于，令，可得，进一步分析可判断选项C；对于，根据即可判断．
本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，，，A错误；
对于，当为奇数时，为偶数，则，，可得；
当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；
对于，当为奇数且时，，，，，，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，，，，，，
累加可得；则，C正确；
对于，设数列的前项和为，则，
又，，D正确．
故选：．
直接由递推公式求出即可判断选项；分为奇数或偶数即可判断选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断选项；由分组求和法即可判断选项．
本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前项和，使问题得以解决．
13.【答案】
【解析】解：因为：有人用时为分钟，有人用时分钟，有人用时为分钟，还有人用时为分钟；
所以：平均用时：，
故答案为：．
直接利用平均数的计算公式求解即可．
本题主要考查平均数的求法，属于基础题目．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
【解答】
解：设，的夹角为，
若，则，，
，，
即，解得．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：由题意可得，
又，，
所以，
设，则，
因为，且，
所以，
又，且，
所以，
在中，由正弦定理可得，即，
解得，
故．
故答案为：．
由题意利用勾股定理可求，设，可求，在中，由正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题考查三角形内角和定理、正弦定理、同角三角函数基本关系式以及两角和的正切公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图示：
设是线段的中点，则，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
整理得，
故的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
故，
由圆的弦长公式可得：
，
故答案为：．
根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得，即可求出的最大值．
本题考查了圆的性质，考查圆的弦，弦心距，半径的关系，考查数形结合思想，是一道中档题．
17.【答案】解：原式

【解析】根据指数幂的运算进行计算．
本题考查指数幂的运算，属于基础题．
18.【答案】解：建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，
故，
又，
所以；
由可知，平面的法向量为，
因为为的中点，所以，
设平面的法向量为，
因为，
则有，即，
令，则，
故，
所以，
故BE与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了点到面距离的求解以及线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出平面的法向量，然后求解即可；
求出平面的法向量，进行求解即可．
19.【答案】证明：Ⅰ因，则有，即有，
又，且，，平面，
于是得平面，而平面，
所以平面平面；
解：Ⅱ在平面内，过作直线垂直于，交直线于，有，，如图，
则为二面角的平面角，平面，，于是得，
中，，则，
在中，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面，在平面内过作，则平面，
以为原点，分别以射线，，为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
而，设与平面所成的角为，
，
所以与平面所成的角的正弦值为．
【解析】Ⅰ根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．
Ⅱ作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：，
则由正弦定理可得，，
则，，
所以，
因为，
所以，
所以，故，
因为，，
所以，即；
，
所以，
又由余弦定理，，即，
所以，所以，
所以．
【解析】结合三角恒等变换，根据正弦定理边化角求解即可；
由面积公式得，再根据余弦定理得，进而可求得．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：，则，
又，则在处的切线方程，
因为曲线在点处的切线经过点，
所以，可得，则，，
易得，当时，，当时，，
所以在上单的递减，在上单调递增，
故当时，函数取得极小值，无极大值．
证明：等价于，
由可得当且仅当时等号成立，
所以，
故只要证明即可，需验证等号不同时成立
设，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，
因为等号不同时成立，
所以当时，．
【解析】由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求，从而可得导函数，结合导数与极值的关系即可求解；
由于等价于，结合可得，故只要证明即可需验证等号不同时成立，结合导数可证．
本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
22.【答案】解：函数的定义域为，
，
在处取得极值，，
即．
，
是单调递增函数，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
仅有两个零点，
即有两个根，
整理得，
即，
设函数，则上式为：，
恒成立，单调递增，
，即，
令，，
则，
当时，；当时，．
在处取得极大值，也就是最大值，为，
要想有两个根，只需要，
即，
的取值范围为．
【解析】首先求出函数的定义域，求导并利用，即可求出的值；观察出是单调递增函数，进而得出函数的单调区间；对进行同构变形，然后构造新函数求出的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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