2022-2023学年浙江省湖州市高二（下）质检数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省湖州市高二（下）质检数学试卷（6月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线过点，且其方向向量，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，，为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有( )
A. ，，共线 B. ，，，中至少有三点共线
C. 与共线 D. ，，，四点共面
3. 经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应如果政府增加某项支出亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过轮影响之后，最后的国内消费总额是最初政府支出也算是国内消费( )
A. B. C. D.
4. 第届亚运会将于年月日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者甲、乙等人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需名志愿者，每人至多参加一个项目若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. “点在圆内”是“直线与圆相离”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. A、两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹共同记录到粒子的个位置的坐标信息如表：
小组根据表中数据，直接对，作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数；
小组先将数据依变换，进行整理，再对，作线性回归分析，得到：
回归方程为，相关指数．
根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是( )
A. B.
C. D.
7. 设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于( )
A. B. C. D.
8. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当，各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数的图象经过点，且在上有且仅有个零点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在上有或个极大值点
C. 将的图象向右平移个单位长度，可得的图象
D. 存在，使在区间上为单调函数
10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春除夕夜里小光用投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”个环节小光按照以上个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C. 表演成功的环节个数的期望为
D. 在表演成功的环节恰为个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11. 关于函数，，下列说法正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为
B. 当时，存在唯一极小值点，且
C. 对任意，在上均存在零点
D. 存在，在上有且只有两个零点
12. 设双曲线：，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C. 若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D. 若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在的展开式中，含项的系数为______ ．
14. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在上的“新驻点”为______ ．
15. 在数列中，，等比数列的前项和为当时，使得恒成立的实数的最小值是______ ．
16. 设函数，则使得成立的的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在平行六面体中，，，，，若，，
用基底表示向量；
求向量的长度．
18. 本小题分
已知等差数列和等比数列满足，，，．
求数列，的通项公式；
设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段上的动点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的最小值．
20. 本小题分
年月日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到次及以上者称为“航天达人”，未达到次者称为“非航天达人”现从该校随机抽取人进行分析，得到数据如表所示：
航天达人 非航天达人 合计
男 _____
女 _____ _____
合计 _____ _____ _____
补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？
现从抽取的“航天达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取人，然后从这人中随机抽取人，记这人中女“航天达人”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：
21. 本小题分
已知点在抛物线：的准线上，过点作直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点．
求抛物线的标准方程；
求证：直线过定点；
(ⅱ)记中的定点为，设的面积为，且满足，求直线的斜率的取值范围．
22. 本小题分
已知函数，．
若，证明：当时，；
讨论函数在上零点个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线过点，且其方向向量，
故直线的方程为，
整理得．
故选：．
直接利用点斜式的应用求出直线的方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于向量不能构成空间的一个基底知共面，
所以，，，四点共面，
故选：．
根据空间向量基本定理即可判断．
本题考查了空间向量基本定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：轮影响后，国内消费总额为，
轮影响后，国内消费总额为，
轮影响后，国内消费总额为．
故选：．
根据题意写出轮影响后，国内消费总额，利用等比数列求和公式求出答案．
本题主要考查的等比数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：先从除甲外的人中选人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，
若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有种．
故选：．
先从除甲外的人中选人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点与圆、直线与圆位置关系的判定及应用，考查充分、必要条件的判定，是基础题．
由点在圆内，得到圆的圆心到直线的距离大于圆的半径，可得直线与圆相离；反之成立．得到“点在圆内”是“直线与圆相离”的充分必要条件．
【解答】
解：若点在圆内，则，
圆的圆心到直线的距离，
则直线与圆相离；
反之，若直线与圆相离，
则圆的圆心到直线的距离，
即，点在圆内．
“点在圆内”是“直线与圆相离”的充分必要条件．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论．
本题考查回归方程的求法与相关指数的应用，考查统计学中的基础知识，是中档题．
【解答】
解：由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，
又小组的相关指数，小组的相关指数，
组的拟合效果好，则回归方程为，
又，，，
即．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：因为，
且，所以，
而，当且仅当，，同时时，等号成立，
而，，，在球面上，不可能共线，即，，不同向，
所以，
且，，均小于直径长，即，
综上，，
根据选项可知不符合．
故选：．
根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值．
本题主要考查了向量模长的性质，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知与的长度不变，已知，
设，则，
当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，
故离心率为．
故选：．
设，则，由题意可得，，根据离心率公式即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，函数的图象经过点，
，又，，
在上，，
在上有且仅有个零点，，解得，故选项A错误；
对于，当时，，描绘其图象
可以得出在上有个极大值，
当时，，描绘其图象，
可以得出在上有个极大值，故选项B正确；
对于，将的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，故选项C错误；
对于，当时，，
，，此时在，为单调函数，
存在，使在区间上为单调函数，故选项D正确；
故选：．
本题通过整体换元思想求出的范围，再根据其范围结合图象平移知识等逐一判断即可．
本题主要考查函数的图象变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，故不互斥，A错误；
“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为，B正确；
记表演成功的环节个数为，则，期望为，C正确；
记事件：“表演成功的环节恰为个”，
事件：“迎新春环节表演成功”，，
由条件概率公式，D正确，
故选：．
根据互斥事件的概念判断；根据相互独立事件的乘法公式判断；根据二项分布的期望公式判断；根据条件概率的计算公式判断．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，条件概率公式的应用，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，，，
，，
由点斜式可得，所求切线方程为，即，故A正确；
对于，由选项A可知，此时，
令，得，
由与图像可得，存在唯一，
使得，即，
且当，，单调递减，
当，，单调递增，
存在唯一极小值点，
且，，
，故B正确；
对于，，令，
当时，可得，
设，，，
令，解得，，
作出，的图像，如下图所示，
当时，取极小值，也即上的最小值为，
当时，取极大值，也即上的最大值为，
由图像可知当时，在上没有零点，故C错误，
当时，在上有两个零点，故D正确．
故选：．
选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围；选项C、，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线的交点问题．
本题考查函数的切线、极值、零点问题，及参数的处理，数学运算，逻辑推理等学科素养，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由已知可得双曲线的离心率，
当且仅当即时取等号，则不正确；
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
设直线过点，倾斜角为，则直线的方程为
，其中参数为直线上的动点到定点的距离，
将上述，代入双曲线方程，若整理后得到的关于的二次方程为，
那么将，代入渐近线方程，整理后得到的关于的二次方程则为，
由解得、对应的，及的中点所对应的参数，
由解得、对应的，及的中点所对应的参数，
可见的中点与的中点重合，故 AC，故C正确；
离心率最小时，，这时双曲线的标准方程为：，
此时渐近线方程为，故B正确；
若，设，则，
两边便于求导可得：，
切线方程为，整理得，
切线方程也可表示为，
综合可得过的切线方程为，
与渐近线联立解得：，故，
将其代入渐近线中，得，
，故D正确，
故选：．
利用双曲线的几何性质，依据每项的条件逐项计算可判断其正确性．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项，
令，则，
所以含项的系数为．
故答案为：．
求出展开式的通项，再令的指数等于，即可得解．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，其导数，
若，即，则有，
又由，则
即在上的“新驻点”为．
故答案为：．
先求出，令，再结合的取值范围，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在数列中，，
易知是以为首项，以为公差的等差数列，
，
等比数列的前项和为，
当时，，
也适合，即，
，
对，恒成立，即恒成立，
，令，
则，
当时，，
当时，，
故，，
故最小值为．
故答案为：．
由题意得到，，即恒成立，令，利用恒成立知识即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由向右平移个单位，得为偶函数，
所以关于轴对称，
所以关于对称，
当时，，
当时，因为，所以，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由得，即，解得，
所以使得成立的的取值范围是．
故答案为：．
利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可得，
故-------分
由条件得，， ，-------分
------分
故------分
【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，把已知的条件代入化简可得结果．
利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由，运算求得结果．
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，，
则，，
所以，，．
由知，
即是数列中的第项，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
因为，，
所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，
所以．
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由条件分别求得，，可得，，进而得到所求通项公式；
推得数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：中，为的中点，所以．
在正方形中，．
因为平面，平面，即．
又因为，，平面，所以平面．
平面，即，又因为，，，平面．
所以平面，平面，
即平面平面．
因为平面，底面是正方形，所以易知，，两两垂直．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
有，，，，，
中点，设，．
，，，．
设平面的法向量，
则，取．
设平面的法向量，
由，得，取．
所以平面与平面的夹角的余弦值为：
．
令，则，
则，，
所以当即时，平面与平面的夹角的余弦值取得最大值，
此时平面与平面的夹角取得最小值．
【解析】根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面；
以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦公式，求余弦值的最大值．
本题考查面面平行的证明，面面角的最值的求解，函数思想，属中档题．
20.【答案】解：补全列联表如下表：
航天达人 非航天达人 合计
男
女
合计
所以，
查表可知，
因此可以认为成立，因此“航天达人”与性别无关；
在“航天达人”中按性别分层抽样抽取，男航天达人有人，女航天达人有人，
所有可能取值为：，，，
则，，，
所以的分布列如下：
的数学期望为．
【解析】由已知补全列联表，假设“航天达人”与性别无关，根据表中的数据计算得到，再根据小概率值的独立性检验可得答案；
在“航天达人”中按性别分层抽样抽取男航天达人有人，女航天达人有人，所有可能取值为：，，，求出所对应的概率可得分布列和期望．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
21.【答案】解：由题意可知：的准线方程为：，
即，所以．
抛物线的标准方程为；
设，，，
(ⅰ)由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，
联立，化简得：，
根据韦达定理可得：，即，
，
直线方程为，整理得：．
又因为，即．
将代入化简可得：，
故直线过定点．
(ⅱ)由(ⅰ)知与轴平行，直线的斜率一定存在，
又，，
由知，
所以，
又因为，即，化简得或
又由得：且，即或，
综上所述，直线的斜率的取值范围为
【解析】根据已知求得即可；
设，，，
(ⅰ)由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，联立，可得直线方程为又，可得，即可证明；
(ⅱ)由知，即可得，又利用及得线的斜率的取值范围．
本题主要考查抛物线方程、直线定点问题、斜率范围问题，考查了转化思想、计算能力，属于难题．
22.【答案】解：证明：若，则．
先证：当时，．
设，
则的导函数，
设，则的导函数，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
又，
所以，即，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，即．
再证：时，．
设，则，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，即．
由得，当时，，
所以当时，，即．
若，则，
由可知，当时，，所以，
又由可知，当时，，
所以，
所以，
所以在上无零点．
若，
当时，，则，
故在上无零点．
若，的导函数，
设，则的导函数，
设，则的导函数，
当时，，在上单调递增，
即在上单调递增，
又，
所以在上存在唯一零点，记作．
当时，，
则单调递减，即单调递减；
当时，，
则单调递增，即单调递增．
当时，，
则单调递增，即单调递增．
综合，可得当时，单调递减；
当时，单调递增．
又因为，，
所以存在唯一实数，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又因为，
所以时，；
由已证，
所以，
又，在上单调递增，
所以在上存在唯一零点．
综上，当时，在上无零点；
当时，在上存在唯一零点．
【解析】分别构造函数和，利用导数确定单调性，进而由不等式的性质即可求解．
对分情况讨论，时利用不等式的性质可得无零点，时，利用二阶求导确定函数的性质即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查函数的零点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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