2022-2023学年四川省凉山州安宁河联盟高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省凉山州安宁河联盟高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题：，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 水果收购商为了了解某种水果的品质，想用分层抽样的方法从个大果，个中果，个小果中抽取一部分送去质检部门检验，若抽取的小果为个，则他抽取的大果为个．( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，则的值是( )
A. B. C. D.
5. 已知抛物线上一点到轴的距离为，焦点为，则( )
A. B. C. D.
6. 若实数，满足不等式组，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 若如图所示的程序框图输出的是，则条件可以为( )
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
8. 已知函数，直线：与平行，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 已知：，过内一点的直线被所截得的最短弦的长度为，则( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的左，右两焦点为和，为椭圆上一点，且，则( )
A. B. C. D.
11. 正三棱锥各顶点在同一个球面中，侧棱长为，侧棱与底面所成角为，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
12. 若在上有解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知复数满足，则的模长为______ ．
14. 已知函数是上的奇函数，则点到直线：的距离为______ ．
15. 年月日凉山进入动车时代，由于客流高峰小李只买到站票，从西昌出发的动车除车头外有节车厢，小李随机上了其中一节车厢，并在车厢内任意位置原地等候据数据中心信息第节车厢最中间，有一位乘客下一站下车且该座位无人购买不考虑该座位被人抢占，求小李行走不超过节车厢能坐到该座位的概率______ ．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数在时取得极值．
求在处的切线方程；
求在区间上的最大值与最小值．
18. 本小题分
会理作为一座千年文化古城，气候四季如春，会理黑山羊更是当地深受人们喜爱的地方小吃羊肉是温性食物，具有很高的营养价值，体质虚寒的人，多吃羊肉可以保暖，特别是在冬天能起到一定的效果随着气温的连续升高，羊肉店生意也受到很大影响，一家羊肉馆特推出凡进店消费均可获赠冷饮一杯的活动，经过前一天的大力宣传后，第天的纯利润百元的数据散点图统计如下：
根据散点图，判断与是呈正相关还是负相关说出结论即可；
取图中前组数据，求关于的线性回归方程，为反馈新老客户，计划在第天，投入百元做顾客福利，请预测第天的纯利润；
从以上后天中任取天，求这两天恰有一天纯利润不低于千元的概率．
参考公式：，参考数据：，
19. 本小题分
如图，四棱锥的底面是菱形，，，．
求证：平面；
若为的中点，求二面角的余弦值．
20. 本小题分
已知椭圆，过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
求椭圆的方程；
若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．
21. 本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
22. 本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
求曲线的普通方程，的直角坐标方程；
已知为曲线的圆心，点为曲线上一动点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
进行交集的运算即可．
本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：，，
．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：命题：，，
则命题的否定为：，．
故选：．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设抽取的大果为个，则，
解得：．
故选：．
由分层抽样等比例抽样，列出等式，即可解出答案．
本题考查分层抽样，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由条件可得，
故选：．
由分段函数的概念计算即可．
本题考查分段函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的方程为，设其焦点为，
其准线的方程为：，
设点到其准线的距离为，则，
即
点到轴的距离是，
，
．
故选：．
利用抛物线的定义将到该抛物线焦点的距离转化为它到准线的距离即可求得答案．
本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，
联立方程，解得，所以，
所以得最大值为．
故选：．
作出不等式组对应的平面区域，由，得，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，，
开始程序，，
，继续执行；
，
，继续执行；
，
，输出，
此时．
故选：．
根据该程序框图按步骤直到输出的是为止，得出此时的值．
本题考查程序框图，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数，，．
直线：与平行，直线即：，
，求得．
故选：．
由题意利用两条直线平行的性质，求得的值．
本题主要考查求函数的导数，两条直线平行的性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由：，整理得，
故圆心为，半径为，
当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，
其中，由垂径定理得，
即，解得．
故选：．
求出圆心和半径，由几何关系得到当过圆内一点的直线与垂直时，被圆所截得的弦长最短，由垂径定理列出方程，可求答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求角能力，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：作出图形如图所示：
由题意得，，，，
于是，即为的外心，
以为直径的圆经过，于是，
记，，
根据椭圆定义和勾股定理得，
于是．
故选：．
根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算即可．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图：设底面于，则为底面的外心，连接，则外接圆圆心在上，
且为侧棱与底面所成的角，即，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
该球的体积为．
故选：．
由题意画出图形，求出三棱锥的高，设出外接球半径为，在三角形中由勾股定理列式求解，则球的体积可求．
本题考查多面体外接球体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，可得，
设，则，
所以函数在上单调递增，
由于，则，
则，
设，则，
易知当时，，单调递增，
则，
又，
则．
故选：．
设，根据题意可得，再结合的单调性，转化可得，设，利用导数求得函数的最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查同构思想及分离变量思想，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为函数是上的奇函数，
所以，解得，
所以点到直线：的距离为
．
故答案为：．
根据函数是上的奇函数，得出的值，再求点到直线的距离．
本题考查了函数的奇偶性与点到直线的距离计算问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据作出图象，如图所示，
处有空座，则自和之间任何位置到处行走不超过节，
由几何概型得，小李行走不超过节车厢能坐到该座位的概率．
故答案为：．
利用几何概型计算即可．
本题考查几何概型的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为直线的斜率为，所以，
又因为，则，所以，
连接，因为，
由双曲线的性质可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理可得，即，解得或舍．
故答案为：．
由题意可得，，且，由双曲线的性质可得，在中，由余弦定理可得，的关系，进而求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为在处取得极值，
所以，
解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在时取得极值，
所以，
此时，
又，
所以在处的切线方程为，
即；
由知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，，
又，，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】由题意，对函数进行求导，根据在处取得极值，求出，再将代入导函数中进行检验，利用导数的几何意义以及切线方程即可求解；
利用中所得函数的单调性，结合端点值进行比较即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
18.【答案】解：由散点图可知，与呈正相关；
，，
又，，
，则．
关于的线性回归方程为，
取，得，
则预测第天的纯利润为百元元；
天中纯利润低于元的有天，记为，，，不低于元的有天，记为，．
从后天中任取天，基本事件为，，，，，，，，，，共种，
满足恰有一天纯利润不低于千元的事件为，，，，，，共种，
则这两天恰有一天纯利润不低于千元的概率为．
【解析】直接由散点图得结论；
由最小二乘法求得与的值，可得线性回归方程，取求得，减去顾客福利得结论；
利用枚举法求出基本事件总数，得到恰有一天纯利润不低于千元的事件数，再由古典概型概率公式得答案．
本题考查线性回归方程的求法，考查古典概型概率公式的应用，是基础题．
19.【答案】解：证明：与交于，连结，底面为菱形，为的中点，
又，，
又，，平面，，
平面．
解：连结，由知平面，
平面，，
是二面角的平面角，
底面是菱形，，，
，，
由题意，
在中，，
，
，，，
二面角的余弦值为．
【解析】连结，推导出，，从而平面．
连结，由知平面，进而是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．
本昰考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
20.【答案】解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
证明：由题意知直线，的斜率存在，设直线的斜率为，
因为平分，所以直线的斜率为，
则直线为：，直线为：，
联立直线与椭圆：
，消得：，
解得：，，
同理可得，，
所以，
，
所以，
即直线的斜率为定值．

【解析】由题意知，结合点在椭圆上，即可列出方程组解出答案；
由题意设直线的斜率为，则直线的斜率为，写出直线的方程，分别联立直线，直线与椭圆即可用表示出、的坐标，即可求出直线的斜率．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
21.【答案】解：，
，
时，，在递增，
时，令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
综上：时，在递增，
时，在递增，在递减．
结合时，时，，不恒成立，
时，在递增，在递减，
则，
故，
故，
令，
则，
令，解得，令，解得，
故在递减，在递增，
故，
，
故的取值范围是．
【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
根据函数的单调性，求出函数的最大值，问题转化为，令，结合函数的单调性求出的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式问题，考查转化思想，是中档题．
22.【答案】解：因为，所以，
两式平方相加得：，
因为，即，，
化简得：；
所以曲线的普通方程，的直角坐标方程；
由题意知，点在椭圆上，
则，即，且
且，所以，
所以当时，，
所以的最大值为．
【解析】利用，消元即可得出曲线的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程，即可得出的直角坐标方程；设点，由题意可用表示出，根据的取值范围，即可求出的最大值．
本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两点间距离的最大值的求法，属中档题．
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