2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省双鸭山市饶河县高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 在空间直角坐标系中，，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的方程为，离心率，则下列选项中不满足条件的为( )
A. B. C. D.
5. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为( )
A. B. C. D.
6. 根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时的估计值是( )
A. B. C. D.
7. 由数字，，，，组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第个数为( )
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，且，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，则( )
A. B. C. D.
10. “苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种商业场合“苏州码子”的写法依次为、刂、川、、、亠、、、攵某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程，如某处里程碑上刻着的“”代表距离始发车站的里程为公里，刻着的“亠”代表距离始发车站的里程为公里已知每隔公里摆放一个里程碑，点处里程碑上刻着“川攵”，点处里程碑上刻着“”，则( )
A. 从始发车站到点的所有里程碑个数为
B. 从点到点的所有里程碑个数为
C. 从点到点的所有里程碑上所刻数之和为
D. 从点到点的所有里程碑上所刻数之和为
11. 如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，，则下列说法中正确的是( )
A. 该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B. 该平面图形的面积是
C. 该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是
D. 以该平面图形为底，高为的直棱柱的体对角线长为
12. 已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. 直线过定点
B. 若的面积取得最大值，则
C. 的最小值为
D. 线段的中点在定圆上
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 展开式中的系数为______ ．
14. 已知是奇函数，则实数 ______ ．
15. 如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为______ ．
16. 已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调递增区间；
求在区间上的值域．
18. 本小题分
设是等差数列，其前项和为，是各项都为正数的等比数列，其前项和为，且，，．
Ⅰ求，的通项公式；
Ⅱ求的最小值．
19. 本小题分
年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．
完成如表的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男
女
合计
若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取名学生，抽取次，记被抽取的名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．
附表：
参考公式：．
20. 本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，．
求证：平面；
求平面与平面的夹角余弦值；
求点到平面的距离．
21. 本小题分
在椭圆：，，过点与的直线的斜率为．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆的右焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于，两点，当取最大值时，求直线的方程．
22. 本小题分
设函数．
当时，求的单调区间；
若有两个极值点，
求的取值范围；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
．
故选B
利用余弦函数为偶函数将所求式子化简，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在空间直角坐标系中，，
，
解得．
故选：．
利用向量垂直的定义直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可得，，，故离心率，故A正确；
由，可得，，，故离心率，故B正确；
由，可得，，，故离心率，故C不正确；
由，可得，可得，，，故离心率，故D正确．
故选：．
根据椭圆的几何性质，求解即可判断每个选项的正确性．
本题考查椭圆的离心率，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，且，则，
由正态曲线得，所以．
故选：．
根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：自变量的平均数，自变量的平均数，
线性回归直线方程过样本中心点，其中，
，即，
当时，．
故选：．
根据线性回归直线方程过样本中心点，其中，求得，把代入即可求解．
本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：当万位是或时，共有个数，
当万位是，千位是，，，时，共有个数，
当万位是，千位是，时，共有个数，
当万位是，千位是，百位为，时，共有个数，
共有个数，
故第个数为．
故选：．
先讨论各个位置上的数字情况，然后利用分步乘法计数原理进行计算即可．
本题考查了排列、组合的运用，考查了分类讨论思想的运用，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：数列满足，且，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
数列的前项和为．
故选：．
由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由，得，
则，解得，B正确，不正确；
所以，
则，故C正确，不正确．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查了函数的求导，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意知，点处里程碑刻着数字，点处里程碑刻着数字，里程碑上的数字成等差数列，公差为，
对于选项A，从始发车站到点的所有里程碑个数为，即选项A正确；
对于选项B，从点到点的所有里程碑个数为，即选项B正确；
对于选项C，从点到点的所有里程碑上的数字之和为，即选项C错误；
对于选项D，从点到点的所有里程碑上的数字之和为，即选项D正确．
故选：．
先阅读题意，然后结合等差数列的通项公式及等差数列前项和公式逐一判断即可得解．
本题考查了等差数列的通项公式及等差数列前项和公式，重点考查了阅读理解能力，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示将直观图还原为平面图形，
由题意可得，，故该平面图形为正方形，即A错误；
面积，即B正确；
将平面图形绕直线旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为，
故体积，即C正确；
以该平面图形为底，高为的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误．
故选：．
对于选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于根据几何体的体积公式和对角线计算即可．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：直线：即直线，
联立，解得，，
直线过定点，故A正确；
若的面积取得最大值，则，可得到直线：的距离为，
即，解得或，故B错误；
，
原点到点的距离为，此时，
则，可得的最小值为，故C正确；
联立，得，
设，，
则，，
设的中点坐标为，则，消去，可得．
线段的中点在定圆上，故D正确．
故选：．
由直线系方程求得直线所过定点坐标判断；由三角形面积取得最大值，可得原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求解值判断；求出向量数量积的最小值判断；联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系求出的中点的轨迹方程判断．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以含的项的系数为．
故答案为：．
根据二项式展开式的通项公式，令，解出即可求解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，所以，
解得．
故答案为：．
利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值．
本题主要考查了奇函数的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设双曲线的左焦点为，
连接、，，
则四边形为矩形，
设，，
由双曲线的性质可得：，，
为直角三角形，
，
，
，
又为直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，，
因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立，
又，所以在上恒成立，即，
设，原问题等价于求在上的最小值，
因为，
所以当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
采用参变分离法，可将原问题转化为在上恒成立，设，再利用导数求出在上的最小值，即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，理解函数的单调性与导数的正负性之间的关系，熟练掌握参变分离法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为
，
即
函数的最小正周期，
由，解得，
即在上单调递增，
所以函数的最小正周期为，单调递增区间是．
因为，则，所以，
所以，
所以在区间上的值域为．
【解析】利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数即可求解；
由的取值范围求出的范围，再借助正弦函数性质即可求解．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ设的公差为，数列的公比为，
则，解得，
所以；
由，
解得或舍，
所以．
Ⅱ由题可知，，
所以，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
所以 当时，递增，即，
所以的最小值为．
【解析】Ⅰ利用等差数列，等比数列的基本量计算即可求得，的通项公式；
Ⅱ由题可得，迸而可得当时，递增，即可求得的最小值．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差与等比数列的通项公式以及前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，列联表如下所示：
有兴趣 没有兴趣 合计
男
女
合计
根据列联表中的数据，得到，
，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，
将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，
的可能取值为，，，，，，且，
则，，，，，，，
从而的分布列为：
，．
【解析】根据题意完成列联表，并结合独立性检验公式判断即可；
的可能取值为，，，，，，且，计算的分布列、期望和方差即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：证明：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图
则，，，，
取的中点，作交于点
因为
所以又，，
所以，，
所以，四边形为平行四边形，
又，
所以，，，
由
所以，故D，
，，，
，，
即，，
，平面，平面，
平面；
设平面的法向量为，而，，
则，令，可得，
又由可知为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
，
即平面与平面的夹角的余弦值为；
，平面的法向量为，
设点到平面的距离为，
，
即点到平面的距离为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，，由线线垂直证明线面垂直，即得证；
由为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解；
由为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解
本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．
21.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
由题意可得，
当为与轴的交点时，则，
则直线的方程为，可得，
这时；
显然直线的斜率存在，当斜率不为时，设直线直线的方程为，令，可得，
则，
此时直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
显然，，，
所以，
这时，
当且仅当时取等号，解得，
因为，
综上所述的最大值为，此时直线的方程为，
即此时直线的方程为：．
【解析】由直线的斜率及的值和，，之间的关系，求出，的值，进而求出椭圆的标准方程；
分直线的斜率为和不为两种情况讨论，设直线的方程，由题意可得的坐标，进而求出的值，由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出的表达式，再求的表达式，由均值不等式，可得的最大值，进而求出此时直线的方程．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，均值不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，
故，
所以，
当时，；当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
，依据题意可知有两个不等实数根，
即有两个不等实数根，．
由，得，
所以有两个不等实数根可转化为
函数和的图象有两个不同的交点，
令，则，
由，解得；由，解得；
所以在单调递增，在单调递减，
所以．
又当时，，当时，，
因为与的图象有两个不同的交点，所以．
证明：由可知有两个不等实数根，，
联立可得，
所以不等式等价于．
令，则，且等价于．
所以只要不等式在时成立即可．
设函数，则，
设，则，
故在单调递增，得，
所以在单调递减，得．
综上，原不等式成立．
【解析】利用导函数与单调性的关系求解；
根据方程的根与函数的图象的关系，利用导数讨论单调性最值即可数形结合求解；
根据可得，再将要证不等式双变量转化为单变量问题证明求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于难题．
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