2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 某小吃店的日盈利单位：百元与当天平均气温单位：之间有如下数据：
百元
经分析知，与之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则( )
A. B. C. D.
6. 函数在上的图像大致为( )
A. B.
C. D.
7. 已知，则( )
A. B. C. D.
8. 已知偶函数满足，，且当时，若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则( )
A.
B.
C.
D. 若越大，则越大
10. 某班准备举行一场小型班会，班会有个歌唱节目和个语言类节目，现要排出一个节目单，则下列说法正确的是( )
A. 若个歌唱节目排在一起，则有种不同的排法
B. 若歌唱节目与语言类节目相间排列，则有种不同的排法
C. 若个语言类节目不排在一起，则有种不同的排法
D. 若前个节目中必须要有语言类节目，则有种不同的排法
11. 下列命题中正确的是( )
A.
B. 函数在区间内是减函数
C. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是
D. 函数的图像经过点，当时，
12. 如图，设正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 当为的中点时，点到平面的距离为
B. 当为的中点时，记与平面的交点为，则
C. 存在，使得异面直线与所成的角为
D. 存在，使得点到直线的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为 ．
14. 已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，则 ______ ．
15. 现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取个作为样本，调查得到样本数据，其中、分别表示第个样本的植物覆盖面积单位：公顷和这种野生动物的数量，构造向量，其中，，并计算得，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数 ______ ．
16. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的步后所在位置对应数为随机变量，则 ______ ， ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，，其中．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分
在的展开式中，_____给出下列条件：
若前三项的二项式系数之和为；
若所有奇数项的二项式系数之和为；
若第项为常数项．
试在这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
求的值；
求展开式中所有的有理项．
19. 本小题分
在，，，，，，这个自然数中．
每次取一个数，取后放回，共取次，设为取到奇数的次数，求的数学期望；
任取个不同的数，设为其中奇数的个数，求的概率分布．
20. 本小题分
如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，分别为，上的点，且．
若，求证：平面；
若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
21. 本小题分
某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为：，现从中随机抽取名男性和名女性进行调查，抽取的男观众中有人给了“点赞”的评价，女观众中有人给了“一般”的评价．
把下面列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对该影片的评价与性别有关？
性别 评价结果 合计
点赞 一般
男
女
合计
用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取名参评观众．
若再从这名参评观众中随机抽取人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率；
若再从这名参评观众中随机抽取人进行访谈，求在抽取的人均给出“点赞”的条件下，这人是名男性和名女性的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
22. 本小题分
已知为实数，函数．
若函数在区间上存在极值点，求的取值范围，并说明是极大值点还是极小值点；
若对恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则集合，
集合中元素的个数为．
故选：．
求出集合，，由此能求出集合中元素的个数．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：命题“，”是假命题，
命题“，恒成立”为真命题，
，，
，
即实数的取值范围是．
故选：．
由题意可知，，恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，所以，即，；
所以，解得，，，所以．
故选：．
根据得出，由此列方程组求出、，再计算的值．
本题考查了空间向量的应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递增，
且，所以函数在上单调递增．
又因为，
所以，
解得，
所以的取值范围是．
故选：．
判断函数的单调性，把不等式化为，求解集即可．
本题考查了分段函数的单调性判断问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
样本点的中心的坐标为，
代入，可得，解得．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，即可求得值．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，则且，即函数为非奇非偶函数，图象不是对称函数，排除，，
当时，，排除．
故选：．
先判断函数为非奇非偶函数，然后利用的值的符号进行排除即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数对称性和函数值是否对应，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
再令，可得．
故选：．
由题意，通过求导数，给变量赋值，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，求函数的导数，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：偶函数满足，
，
即，
即是周期为的周期函数，
当时，．
则，
当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
即当时，取得极大值，
，，
，即，
，
作出函数在一个周期内的图象如图：
是偶函数，
若不等式在上有且只有个整数解，
等价为在上有且只有个整数解，
等为在一个周期上有且只有个整数解即可．
，，
若，则在上有且只有个整数解，不满足条件．
若，则在上有且只有个整数解，不满足条件．
当，在上有且只有，，，，，个整数解，满足条件．
当时，在上有且只有，，个整数解，不满足条件．
则要使在一个周期上有且只有个整数解，
则，即实数的取值范围是
故选：．
根据函数的奇偶性和对称性，求出函数的周期，根据函数在上有且只有个整数解，转化为在一个周期上有且只有个整数解即可，作出函数图象，利用不等式与整数解的关系进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期性，作出函数在一个周期内的图象，利用函数与方程的关系进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
则，
，故A正确；B错误；
，即，故C正确；
根据正态分布曲线，越大，正态分布曲线约扁平，
故越小，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可依次求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，若个歌唱节目排在一起，则有种情况，
将个歌唱节目看为一个整体，和个语言类节目进行排列，则有种情况，
综上，共有种情况，A错误；
选项，歌唱节目与语言类节目相间排列，
则歌唱类节目在两端和最中间，语言类放在歌唱类节目的之间，则有种情况，B正确；
选项，若个语言类节目不排在一起，则采用插空法，先安排歌唱类节目，有种情况，
再将语言类节目插入到个节目形成的个空格中，有种，
综上，共有种情况，C正确；
选项，前个节目都是语言类节目，此时后个为歌唱类节目，有种情况，
前个节目中有个是语言类，有个是歌唱类，
则种情况，剩余的个节目进行全排列，则有种情况
则共有种情况，
综上，有种不同的排法，D正确．
故选：．
选项，采用捆绑法进行求解；选项，利用排列知识进行求解；选项，采用插空法进行求解；选项，分两种情况，前个节目都是语言类节目和前个节目中有个是语言类节目，分别求出排法后相加即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：当时，，而，即，故A正确．
B.，
则函数在内是增函数，故B错误．
C.由，得，作出函数的图象，
当时，与有两个不同的交点，
即实数的取值范围是，故C正确．
D.函数的图像经过点，则，即，
得，得，即，
则满足时，的函数为凸函数，
则由的图象知，当时，函数为凸函数，故D正确．
故选：．
A.根据指数函数和对数函数的性质进行求解即可．
B.利用分子常数化，进行化简，利用分式函数的单调性进行判断．
C.利用函数与零点的关系进行转化求解即可．
D.利用凸函数的定义进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，根据函数的性质，利用数形结合进行判断是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图，以点为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
，，，
当为的中点时，，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，
平面的法向量为，又，
则点到平面的距离为，故A正确；
对于选项B：设，则，
又点在平面内，则，所以，解得，
所以，，所以，故B正确；
设，，则，，
若异面直线与所成的角为，
则，，
平方化简得，解得，又，所以方程无解，故点不存在，故C错误；
，，，所以，
则点到直线的距离为，平方化简得，
解得或，又，所以，故点存在，故D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式判断，利用共线向量与共面向量基本定理判断，利用异面直线夹角的向量公式判断，利用点到直线距离的向量公式判断．
本题考查了正方体中的线线夹角，点到平面的距离，点到直线的距离，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中建立空间直角坐标系，将空间中的距离和夹角问题转为向量运算，是解题的关键，属中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，设出切点、求出导数和运用切线方程是解题的关键，属于基础题．
设切点为，分别代入切线的方程和曲线方程，求出曲线表示函数的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，可得，，．
【解答】
解：设切点为，
则，，
的导数为，
即有，
解得，，．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】解：平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，
因为，
则
，
．
故答案为：．
由，计算可求．
本题考查利用向量的线性运算求两点间的距离，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
根据夹角公式的定义，
可得，
所以
，
所以．
故答案为：．
由题意，根据题干中相关系数的定义进行计算即可．
本题考查相关系数，考查了运算能力．
16.【答案】
【解析】解：设表示向右移动的次数，则，
若运动步回到原点，则向左，右各移动次，
所以回到原点的概率．
因为机器人走完设定的步后所在位置对应数为随机变量，表示向右移动的次数则表示向左移动的次数，
则，
则，
所以．
故答案为：；．
表示向右移动的次数，则，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到与关系，得到，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．
17.【答案】解：若，则，
又集合，
；
集合，，
“”是“”的充分不必要条件，
，
，解得，
即实数的取值范围．
【解析】先求出集合，再利用集合的交集运算求解；
由题意可知，列出关于的不等式组，求出的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
18.【答案】解：选：由前三项的二项式系数之和为，
可得，即，解得或舍去．
选：由所有奇数项的二项式系数之和为，
可得，解得．
选：由二项展开式的通项为，
令，则，
因为展开式中第项为常数项，所以，所以．
因为，其中，，，，，
所以当或时，可得为整数，
所以有理项为和．
【解析】根据题意，分别选择，列出方程，即可求解；
求得展开式的通项，结合题意确定的值，代入即可求解．
本题考查二项式定理，属于基础题．
19.【答案】解：由题意得，，．
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
的分布列为：



【解析】由题意得，，利用二项分布的公式计算即可；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
20.【答案】解：证明：当时，，即点，分别为，的中点，
在直三棱柱，，，，，
所以四边形为平行四边形，所以，，
又，，所以，，
所以为平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面平面；
平面，又，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，．
由可得，
所以，，，，，
设平面的一个法向量，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量，
令直线与平面所成角为，则，，
所以得，所以或，
又因为，所以，
而，，，，
所以，
设平面的一个法向量为
取，
又平面的一个法向量为，
得，，
观察得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
【解析】，即点，分别为，的中点，可证四边形为平行四边形，进而证为平行四边形，则，可证结论；
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求，进而求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量法可求二面角的余弦值．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
21.【答案】解：填写列联表如下：
性别 评价结果 合计
点赞 一般
男
女
合计
假设：对该影片的评价与性别无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，且当成立时，，
所以有的把握认为对该影片的评价与性别有关．
由分层抽样知，随机抽取的名参评观众中，男性有人，女性有人．
根据频率估计概率知，男性观众给出“点赞”评价的概率为，给出“一般”评价的概率为；
女性观众给出“点赞”评价的概率为，给出“一般”评价的概率为．
从这名参评观众中随机抽取人进行访谈，记“这名学生给出“点赞”评价”为事件，
“这名观众是男性观众”为事件，“这名观众是女性观众”为事件．
则，
所以
．
从这名参评观众中随机抽取人进行访谈，
记“抽取的人均给出“点赞”的评价”为事件，“这两名观众均是男性”为事件，
“这两名观众均是女性”为事件，“这两名观众是名男性和名女性”为事件．
则，
，
所以，
所以，
即在抽取的人均给出“点赞”的条件下，这人是名男性和名女性的概率为．
【解析】由卡方的计算即可求解，
由分层抽样确定人数，即可由全概率公式以及贝叶斯公式进行求解．
本题考查了独立性检验以及条件概率的应用，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增，无极值；
当时，在上单调递增，
若，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即是极小值点，
需满足，
解得，
综上，的取值范围为，为极小值点；
若对恒成立，
即对恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，在定义域上单调递增，
又，
当，即时，，
即，在上单调递增，
又，
所以，
即，在上单调递增，
又，
所以当时，恒成立；
当，即时，
，，
由零点存在性定理可知，使得，
当时，，即，在上单调递减，
又，
所以当时，，即，单调递减，
又，
所以当时，，不满足条件，
综上所述，的取值范围为．
【解析】由题意，对进行求导，结合导数的几何意义分别讨论当和这两种情况下函数的单调性，进而即可求解；
将对恒成立，转化成对恒成立，构造函数，对函数进行求导，构造函数，对函数进行求导，构造函数，对进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性和极值，再分别讨论当和这两种情况，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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