2022-2023学年湖北省武汉市新洲区部分学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市新洲区部分学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数满足，则在复平面上的对应点所在象限为( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
3. 某人射击一次击中的概率为，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )
A. B. C. D.
4. 设公比为的等比数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
5. 所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体，已知正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 甲、乙两人在相同条件下各打靶次，每次打靶的成绩情况如图所示：下列说法错误的是( )
A. 从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙相对比较稳定
B. 从折线统计图上两人射击命中环数走势看，甲更有潜力
C. 从平均数和命中环及环以上的次数相结合看，甲成绩较好
D. 从平均数和中位数相结合看，乙成绩较好
8. 气象学中，小时内降落在某面积上的雨水深度无渗漏、蒸发、流失等，单位：叫做日降雨量，等级如下划分：
降水量
等级 小雨、阵雨 中雨 大雨 暴雨
某同学用一个圆锥形容器接了小时的雨水，如图所示，则那天降雨属于哪个等级( )
A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨
9. 已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 图中的值为 B. 这组数据的极差为
C. 得分在分及以上的人数为 D. 这组数据的平均数的估计值为
11. 以下四个命题表述错误的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于
C. 曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为
12. 已知函数，则( )
A. 函数的递减区间是
B. 函数的最小值为
C. 函数在恒成立
D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为，用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则 ．
14. 已知的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为______ 用数字作答
15. 设经过点的等轴双曲线的焦点为，，此双曲线上一点满足，则的面积______．
16. 已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知各项均为正数的等比数列中，，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18. 本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，求的周长．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，点在上，．
求证：；
当二面角的正弦值为时，求的值．
20. 本小题分
某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：
支持 不支持 合计
中型企业
小型企业
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出家企业，然后从这家企业中随机选出家进行奖励，中型企业每家奖励万元，小型企业每家奖励万元设为所发奖励的总金额单位：万元，求的分布列和均值．
附：．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
若存在，使成立，求的取值范围．
22. 本小题分
如图，椭圆中，长半轴的长度与短轴的长度相等，焦距为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，，设与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，．
求椭圆的方程；
求的最小值及此时直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由可得：，
则，则在复平面上的对应点为，
故在复平面上的对应点所在象限为第四象限．
故选：．
先化简复数，再由复数的几何意义和共轭复数的定义求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由于，所以，
则，
所以．
故选：．
根据向量平行列方程，求得，进而求得．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，本题是一个次独立重复试验恰好发生次的概率，
射击一次击中的概率为，经过次射击，
至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，
至少有两次击中目标的概率为
故选A．
本题是一个次独立重复试验恰好发生次的概率，至少有两次击中目标包括两次击中目标或三次击中目标，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验概率公式和互斥事件的概率公式得到结果．
本题考查次独立重复试验恰好发生次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目可以作为选择和填空出现．
4.【答案】
【解析】
【分析】：
，，两式相减可得：，解出即可．
本题考查了等比数列的通项公式、前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】：
解：
，，，
，
两式相减可得：，
，解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：连接，，
因为正四面体的四个面是正三角形，
所以，即是等腰三角形，
所以，
在中，，
故选：．
连接，，得，进而可得，在中，，即可得出答案．
本题考查正四面体的几何特征，解题中需要理清思路，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题．
根据题意，可得，进而求得离心率．
【解答】
解：以线段为直径的圆与直线相切，
原点到直线的距离等于，
即，
化为，
椭圆的离心率．
故选A．

7.【答案】
【解析】解：由图可知，甲打靶的成绩为，，，，，，，，，，
所以甲的平均数为，
甲的方差为．
乙打靶的成绩分别为，，，，，，，，，，
乙的平均数为，
乙的方差为，
所以，从平均数和方差相结合看，甲波动比较大，乙波动比较小，故A正确，
从折线统计图看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，甲更有潜力，故B正确，
甲打靶的成绩为，，，，，，，，，，中位数为，
乙打靶的成绩为，，，，，，，，，，中位数为，
甲环以及环以上的次数为次，乙环以及环以上的次数为次，而二人的平均数相同，
故甲成绩更好点，故C正确，
甲乙的平均数相同，而甲的中位数大于乙的中位数，故甲的成绩比较好，故D错误，
故选：．
由图找出甲乙打靶的成绩，分别计算出甲乙的平均数，方差，中位数，结合折线图逐项分析可得答案．
本题考查了中位数，平均数以及方差的应用，涉及到折线统计图的应用，考查了学生的推理能力以及运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：作圆锥截面图如下，
由已知，，，，
设圆锥内积水部分的底面半径为，则，故，
由锥体体积公式可得积水的体积，
因为收集雨水的平地面积为圆锥的底面，故其面积，
所以对应的平地上的积水深度为，所以该天降雨的等级为中雨．
故选：．
利用圆锥内积水的高度，求出圆锥内积水部分的半径，求出积水的体积，再求出平面上积水的深度，由此确定降雨等级．
本题主要考查圆锥的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据等差数列的前项和公式可知，，
所以，得，
A.只有当公差为时，，其它情况不成立，故A错误；
B.，故B错误；
C.，则，故C正确；
D.，不一定等于，故D错误．
故选：．
首先求得，再根据等差数列的求和公式以及性质，判断选项．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由频率分布直方图，知：
对于，，
解得，故A正确；
对于，由频率分布图无法得到这组数据的最大值和最小值，
故这组数据的极差无法准确判断，故B错误；
对于，得分在分及以上的人数为：
人，故C正确；
对于，这组数据的平均数的估计值为：
，故D正确．
故选：．
利用频率分布直方图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，变形得到，
故，解得，所以恒过定点，故A正确；
选项，圆的圆心到直线：的距离，
因为圆的半径为，
故圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于，故B错误；
选项，曲线与恰有四条公切线，故圆与圆相离，
其中变形为，圆心为，半径为，
变形为，圆心为，半径为，
故，解得，
故圆心距为，所以，
解得，
则实数的取值范围为，故C正确；
选项，圆：的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故过点向圆引条切线，有，
所以当取得最小值时，取得最小值，
的最小值为，故最小值为，故D错误．
故选：．
选项，变形后得到，求出定点；选项，求出圆心到直线的距离，结合圆心和半径，数形结合得到有且仅有个点符合题意；选项，根据公切线条数得到两圆的位置关系，结合圆心距列出不等式，求出答案；选项，数形结合得到当取得最小值时，取得最小值，利用点到直线距离公式得到答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，直线恒过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数，其定义域为，可得，
令，解得，所以的递减区间是，所以A正确；
令，解得，所以的递减区间是，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以B正确；
令，可得，
所以函数单调递减，所以，
所以当时，可得成立，所以不正确；
对于项，不妨设，由，可得，
要证，需证，即证，
令，则证成立即可，
设，可得，
所以函数在上单调递增，所以，
所以当时，不等式恒成立，所以D正确．
故选：．
求得，求得函数的单调性与最小值，可判定、B正确；令，求得，得到，可判定不正确；不妨设，由，转化为，令，设，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了条件概率的求解，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，属于基础题．
由题意，先求出和，然后利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】
解：由事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，
因为连续答对两道题的概率为，所以，
又因为答对第一道题的概率为，所以，
故．
故答案为．

14.【答案】
【解析】解：因为的展开式中各项系数和为，则，解得．
所以，的展开式通项为：，
令，可得，所以，展开式中的常数项为．
故答案为：．
由的展开式中各项系数和为，可求得的值，然后写出的展开式通项，令的指数为零，求出参数，代入通项即可得解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意设双曲线的方程为，
代入点，可得，
双曲线的方程为，
即，
设，，
由双曲线的定义可得，
满足，可得，
可得，
可得，
的面积为．
故答案为：．
先求出双曲线的方程，再利用双曲线的定义，勾股定理，求出，即可求出的面积．
本题考查的面积，考查双曲线的定义，勾股定理，属于中档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的几何意义、直线与圆的位置关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
圆的圆心坐标为：对求导可得：设直线与曲线相切的切点为，且满足与切线垂直．
可得，解得，进而得出答案．
【答案】
解：圆的圆心坐标为：．
对求导可得：．
设直线与曲线相切的切点为，且满足与切线垂直．
则，
化为：，
令在上单调递增，且．
．
切点为：．
线段长度的最小值．
故答案为：．
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
因为，，
所以．
因为各项均为正数，所以解得，或．
又因为，所以是递增的等比数列，所以，．
所以数列的通项公式为．
由知．
则，
在式两边同时乘以得，，
得，即，
所以．
【解析】利用等比数列的基本量转化已知条件，解方程求得首项和公比，则问题得解；
根据中所求得到，再用错位相减法即可求得结果．
本题考查等比数列相关求和知识，属于中档题．
18.【答案】解：在中，由及正弦定理得，即，
又，则，即，
由余弦定理，得，且，
所以．
由知，，又，则，
于是，又，
因此，
所以周长为．
【解析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解作答．
利用三角形面积公式及中信息求出及作答．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：因为底面是正方形，
所以，
又因为底面，面，
所以，
又因为，，面，
故BA面，
又因为面，
所以，即．
由，取的三等分点，使得，连接，
因为底面，，平面，
所以，，
因为底面是边长为的正方形，，，
所以四边形为矩形，
所以，
所以，，两两互相垂直，
所以以为坐标原点，分别，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，
设，则，
由，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
由，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
由二面的正弦值为，
可得：，
整理得，即，
所以舍去，，
因为，
所以，
故当二面角的正弦值为时，．
【解析】由底面是正方形，得，再由底面，可得，从而由线面垂直的判定可得面，再由线面垂直的性质可证得结论；
取的三等分点，使得，连接，可得，，两两互相垂直，所以分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可．
本题考查空间中的垂直关系，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：根据列联表中的数据，计算得到，
即依据小概率值的独立性检验，可以认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
由可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为：，
所以按分层随机抽样的方法抽出的家企业中有家中型企业，家小型企业，
选出的家企业的样本点是，，，，前者为中型企业家数，后者为小型企业家数，
故的所有可能取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：
．
【解析】根据独立性检验计算卡方，比较其与临界值的大小，确定是否接受假设；
求随机变量的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可．
本题考查离散型随机变量的实际应用，独立性检验，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，，
所以曲线在处的切线的斜率，
又，
切线方程为．
与，轴的交点分别是，
切线与坐标轴围成的三角形的面积；
存在，使，即，即．
即存在，使成立．
令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可，
下面求函数在区间的最小值．
，
令，
因为，
所以为上的增函数，且．
在恒成立，
在递调递增，
则函数在区间的最小值为，
由，得．
故实数的取值范围为．
【解析】先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求出切线方程，由方程求出切线与，轴的交点即可求出三角形的面积．
令，则只要函数在区间的最小值小于即可．通过求导讨论函数的单调性，从而可求函数的最小值，最后求出的取值范围．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的能成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：长半轴的长度与短轴相等，
，
又焦距为，
故，，
联立，
解得，，
椭圆的标准方程为．
设直线的方程为，，，
由得，，
所以，
设，，
则
，
又
，
同理，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为，
此时直线的方程为或．
【解析】根据已知条件求得，，由此求得椭圆的方程．
设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得的表达式并利用基本不等式求得的最小值，同时求得直线的方程．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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