2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列集合中表示同一集合的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 有名男医生、名女医生，从中选出名男医生、名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 从名女同学和名男同学中各选出人进行跳舞，唱歌表演，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
5. 设离散型随机变量的分布列为：
则的值为( )
A. B. C. D.
6. 文科设随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
7. 若，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A. B. C. D.
9. 已知，，则等于( )
A. B. C. D.
10. 下表是与之间的一组数据，则关于的回归直线必过( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
11. 如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是( )
A. 函数 在区间上是减函数 B. 函数 在区间上是减函数
C. 函数 在区间上是减函数 D. 函数 在区间上是增函数
12. 二项式的展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某盒中装有只乒乓球，其中只新球，只旧球，不放回地依次摸出个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为______ ．
14. 袋中有大小相同的个球，分别标有，，，，五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则的可能取值是______ 用集合表示
15. 在的展开式中，的系数为 ．
16. 曲线在点处的切线斜率为，则 ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
．
18. 本小题分
名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？
若已知集合，则集合的子集中有个元素的有多少？
19. 本小题分
已知随机变量的分布列为
若，
求的值；
若，求的值．
20. 本小题分
已知函数．
求这个函数的导数；
求这个函数的图像在点处的切线方程．
21. 本小题分
投资、两种股票，每股收益的分布列分别如表一和表二所示：
表一
收益元
概率
表二
收益元
概率
投资哪种股票的期望收益大？
投资哪种股票的风险较高？
22. 本小题分
已知函数．
的单调区间．
函数在区间上的最大、最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．
利用集合的三个性质及其定义，对、、、四个选项进行一一判断；
【解答】
解：、，，和表示两个不同的点，故不是同一集合，故A错误；
B、，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故B正确；
C、，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；
D、，集合的元素是数，的元素是点，故D错误，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：，解得：，
集合
．
故选：．
解不等式求集合，再根据集合的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
根据题意，分步分析，先从名男医生中选人，再从名女医生中选出人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，先从名男医生中选人，有种选法，
再从名女医生中选出人，有种选法，
则不同的选法共有种．
故选C．

4.【答案】
【解析】解：从名女同学和名男同学中各选出人进行跳舞，唱歌表演，
所有可能为种．
故选：．
男女各选一人出来跳舞和唱歌，有区别，产生顺序，先选人，后排序即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解．
．
故选：．
根据分布列概率和为求得．
考查分布列基本性质．属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是，把所有的概率表示出来相加等于，得到关于的方程，解方程求得的值，最后求出．
本题考查离散型随机变量的分布列和分布列的性质，本题解题的关键是熟练应用分布列的性质来解题，本题是一个基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，由组合数计算公式，
解得或舍去．
故选：．
根据组合数公式可解．
本题考查组合数公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
设随后一天的空气质量为优良的概率为，则由题意可得，由此解得的值．
【解答】
解：设随后一天的空气质量为优良的概率为，则由题意可得，
解得，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为，，
则．
故选：．
直接代入条件概率公式即可．
本题考查条件概率公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：回归直线方程必过样本中心点，
，
样本中心点是
与的回归直线方程必过定点
故选D．
根据回归直线方程一定过样本中心点，先求出这组数据的样本中心点，即横标和纵标的平均数分别作横标和纵标的一个点，得到结果．
本题考查线性回归方程的性质，本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据，本题是一个基础题．
11.【答案】
【解析】解；由题意得：
在区间，和上，，是减函数，
在区间上，，是增函数，
故选：．
通过读图得到函数的导数的取值范围，进而求出函数的单调区间，从而得到答案．
本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
12.【答案】
【解析】解：由二项式的展开式得通项得，
令，
解得，
即含项的系数为，
故选：．
由二项式定理及展开式通项得：，则含项的系数为，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
在第一次取出新球的条件下，盒子中还有个球，这个球中有个新球和个旧球，再利用古典概率及其计算公式求得第二次也取到新球的概率．
本题主要考查古典概率及其计算公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．
【解答】
解：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有个球，这个球中有个新球和个旧球，
故第二次也取到新球的概率为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：球是有放回的，
则两球号码和可出现同号相加，最小为，最大为．
故可能取值为．
故答案为：．
根据已知条件，结合随机变量的含义，即可求解．
本题主要考查随机事件的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
写出二项展开式的通项，由的幂为求得值，则答案可求．
【解答】
解：的二项展开式的通项为
．
由，得．
的系数为．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】解：由题意知，
曲线在点处的切线斜率为，
可知，解得．
故答案为：．
求出导函数，利用切线的斜率，列出方程求解即可．
本题考查函数导数的应用，切线的斜率的求解，是基础题．
17.【答案】解：；：
．
【解析】根据组合数可解；
根据排列数公式可解．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
18.【答案】解：先选后排，先从人选三人，然后安排三人获得三种奖项，
共种，
故共有种不同的获奖情况；
由于集合中元素是无序的，故为组合问题，
集合的子集中有个元素的有个．
【解析】根据排列与组合的知识，计算即可；
根据组合的知识，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得，
即，
又，
则，
即，
则；
，
，
．
【解析】先由已知条件求出、，然后求其方差即可；
根据方差的性质，即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差的求解，方差的性质，属基础题．
20.【答案】解：；
这个函数的图像在点处的切线的斜率为，
这个函数的图像在点处的切线方程为：即．
【解析】根据导数运算法则运算即可；
根据导数运算首先求得这个函数的图像在点处的切线的斜率，然后根据点斜式可写出切线方程．
本题考查导数运算及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：股票：，
股票：，
因为，
所以投资股票的期望收益大；
股票：，
股票：，
因为，
所以在期望收益相差不大的情况下，股票风险较高．
【解析】通过计算投资，两种股票收益的期望，确定哪种股票的期望收益大；
计算投资，两种股票收益的方差，确定哪种股票的风险高．
本题考查期望与方差的实际意义，属于中档题．
22.【答案】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
由知函数在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值，
当时，函数取得最大值，最大值，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】由题意，对函数进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数的单调区间；
结合中所得函数的单调区间，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
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