2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市强基联盟高一（下）联考数学试卷（5月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数满足为虚数单位，则在复平面内复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在某中学高一年级的名学生中，男生有名，女生有名学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中按性别用分层随机抽样的方法选取人，则应抽取的女生人数为( )
A. B. C. D.
3. 已知正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
4. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班名学生到图书馆借书数量统计如下表．
借书数量单位：本
频数单位：人
则这名学生的借书数量的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5. 在中，，，若平面，，则点到的距离是( )
A. B. C. D.
6. 设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7. 紫金山位于江苏省南京市玄武区境内，是江南四大名山之一，三峰相连形如巨龙，山、水、城浑然一体，古有“钟山龙蟠，石城虎踞”之称建筑师在高度接近米的峰顶测得一建筑物顶部的仰角为，底部的俯角为，那么该建筑的高度接近
( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8. 已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，若有唯一解，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式并将收集的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图根据图中信息，下列说法正确的是( )
A. 扇形统计图中的占比最小
B. 条形统计图中和一样高
C. 无法计算扇形统计图中的占比
D. 估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送
11. 从装有个红球和个黑球的口袋中任取个小球，则下列结论正确的是( )
A. “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
D. “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
12. 如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点不包括端点，则( )
A.
B. 平面
C. 二面角的大小为定值
D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在中，，若，则 ______ ．
14. 某厂有，两条生产线制造同一型号可充电电池现采用分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取件成品，测试产品可充电次数的均值及方差，结果如下表：
项目 抽取成品数 样本均值 样本方差
生产线产品
生产线产品
则个产品组成的总样本的方差为______ ．
15. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有位，另外一个小组有位，则甲和乙分在不同小组的概率为______ ．
16. 已知等腰直角三角形的三个顶点都在球的球面上，，若球上的点到平面的最大距离为，则球的体积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，．
求向量；
若向量与互相垂直，求的值．
18. 本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，且的面积为，求，．
19. 本小题分
学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，成绩单位：分如下表所示．
学习态度 考试成绩 活动参与
甲
乙
如果以学习态度、考试成绩及活动参与三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？
如果以，，依次作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？
20. 本小题分
如图，所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，，，，为的中点．
求证：平面；
求证：平面．
21. 本小题分
青年大学习是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，年已开展到第期某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长单位：分钟，根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；
市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在和的青年中共抽取人，且从参会的人中又随机抽取人发言，求学习时长在中至少有人被抽中发言的概率．
22. 本小题分
如图，四棱锥中，底面，为等边三角形，，，是上一点，且，是的中点．
求证：；
若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
在复平面内复数对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：男生有名，女生有名．
设抽取的女生人数为，
则，得．
故选：．
根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：连接，，，如图所示：
根据正方体的结构特征，可得
，，
则即为异面直线和所成的角
，
为等边三角形
故
故选C
连接，，，根据正方体的几何特征，我们能得到即为异面直线和所成的角，判断三角形的形状，即可得到异面直线和所成的角．
本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，构造为异面直线和所成的角，是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由，故第百分位数在借书数量从小到大排序后的第人，
又，
故第百分位数是．
故选：．
根据百分位数的定义，结合统计表求第百分位数即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：过作于，连接，
因为，，所以，
又平面，，
，
点到的距离是，
在中，，，，
在中，．
故选：．
过作于，连接，说明，点到的距离是，在直角三角形中求出即可．
本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离，其中利用三角形的性质，作出即为点到的垂线段是解答本题的关键，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：若，，，则或与相交或与异面，故A错误；
若，，则，又，则，故B正确；
若，，，则与平行、相交或异面，故CD错误．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：作出示意图，过点作，
其中，，，可得，
在中，，，，
在中，，，可得，
米，
该建筑的高度接近米．
故选：．
由题意作出示意图，再在中和中解三角形求出即可．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，是单位向量，
所以，即，
所以，解得，
又，
所以的取值范围为．
故选：．
将平方，结合题意可得，由此可得的范围．
本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由正弦定理可得，所以，
，
，又有唯一解，
或，
当时，，
当，，所以，
综上所述，或．
故选：．
由正弦定理可得，可得，再根据有唯一解，有或，可求的取值范围．
本题考查三角形的正弦定理以及三角形有唯一解的条件，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：由条形统计图知，自行乘车上学的有人，家人接送上学的有人，其他方式上学的有人，
采用，，三种方式上学的共人，
设结伴步行上学的有人，由扇形统计图知，结伴步行上学与自行乘车上学的学生占，
所以，解得，
故条形图中，一样高，扇形图中类占比与一样都为，和共占约，故D也正确．
的占比最小，A正确．
故选：．
利用条形统计图和扇形统计图的性质直接判断求解．
本题考查命题真假的判断，考查条形统计图和扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，“至少有一个红球”包含“两个红球”和“一红一黑”两种情况，“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况，两者不是互斥事件，A错误；
对于，“恰有一个黑球”即“一红一黑”，和“都是黑球”不会同时发生，是互斥事件，B正确；
对于，“恰有一个红球”即“一红一黑”，和“都是红球”不会同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，C错误；
对于，“至少有一个黑球”包含“两个黑球”和“一红一黑”两种情况，和“都是红球”是对立事件，D正确；
故选：．
根据题意，由互斥事件和对立事件的定义，依次分析选项，综合可得答案．
本题考查互斥事件和对立事件的定义，注意两者的区别，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，平面，平面，，
假设，又，，平面，
平面，又平面，，
而四边形为正方形，与矛盾，故AC不正确，故A不正确；
对于，设，连接，若平面，
又平面平面，则，
在中，因为为的中点，则必为的中点，
这与为线段上的动点矛盾，故B不正确；
对于，为线段上的动点，平面，
二面角的大小即为二面角的大小，
故二面角的大小为定值，故C正确；
对于，如图，将侧面和展开在一个平面内，
连接，当处在与的交点处时，取得最小值，
此时，在中，，
由余弦定理得
，，
故AE的最小值为，故D正确．
故选：．
对于：假设，可证，与四边形为正方形矛盾，可判断；对于：设，连接，若平面，可得必为的中点，可判断；对于；平面，可判断；对于：将侧面和展开在一个平面内，利用平面几何知识及余弦定理可求的最小值判断．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，解得．
故答案为：．
根据得出，然后根据共线向量基本定理即可求出的值．
本题考查了向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：将生产线的产品记为，，，，平均数为，方差为，生产线的产品记为，，，，平均数为，方差为，总体均值为，
，
则总样本方差，
易知，所以，同理，
所以
．
故答案为：．
先计算总体均值，再利用方差公式求出，进一步利用方差公式求出总体方差．
本题考查了方差、均值计算公式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，另位棋手分别记为丙、丁、戊，
则这位棋手的分组情况有甲乙丙，丁戊，甲乙丁，丙戊，甲乙戊，丙丁，甲丙丁，乙戊，
甲丙戊，乙丁，甲丁戊，乙丙，乙丙丁，甲戊，乙丙戊，甲丁，乙丁戊，甲丙，丙丁戊，甲乙，共种，
其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为甲丙丁，乙戊，甲丙戊，乙丁，甲丁戊，乙丙，乙丙丁，甲戊，
乙丙戊，甲丁，乙丁戊，甲丙，共有种，
所以甲和乙不在同一个小组的概率．
故答案为：．
利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：等腰直角三角形三个顶点都在球的球面上，
则球心在上的射影为的中点，
即平面，
球上的点到平面的最大距离为，
即，
得，
即球心到平面的距离为，
，
，，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
根据条件得到球心在上的射影为的中点，根据球上的点到平面的最大距离为，得到，然后建立方程进行求解即可．
本题主要考查球的体积的计算，根据条件求出球的半径，利用球的体积公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】解：因为，，
所以；
因为，，
所以，
又因为向量与互相垂直，且，
所以，
解得，
所以的值为．
【解析】利用向量数量积的坐标表示即可求解；
根据的结论及向量的模的坐标表示，利用两向量垂直的条件及数量积的运算即可求解．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
18.【答案】解：在中，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
由得，，
由余弦定理得，即，
又的面积为，
，即，
，
联立得，．
【解析】应用正弦定理结合两角和差公式计算求解，即可得出答案；
应用余弦定理及三角形面积公式，列方程求边，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：甲的平均分：分，
乙的平均分：分．
甲的平均分较高，甲被评为优秀．
甲的平均分：分．
乙的平均分：分．
乙的平均分较高，乙被评为优秀．
【解析】直接计算平均数即可；根据题目中的规定，直接计算即可．
本题考查平均数的算法，属于基础题．
20.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，且，
而，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
而面，面，
可证得：面；
因为为等腰梯形，且，
所以可得；
又因为面面，面面，面，
，
所以面，而面，
所以，
因为，
可证得面．
【解析】取的中点，由中位线的性质可得与平行且相等，可得与平行，再由线面平行的判定定理可证得线面平行；
由直角三角形的逆定理可得与垂直，再由面面垂直可得线线的垂直，再由直线的垂直可证得线面的垂直．
本题考查线面位置关系的证明方法，属于中档题．
21.【答案】解：由频率分布直方图得，
解得，的频率为：，
的频率为：，
所以被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数为；
由频率分布直方图知，学习时长在和的频率之比为：，
人中，学习时长在的有人，学习时长在的有人，
记学习时长在的人分别为，，学习时长在的人分别为，，，
样本空间，，，，，
，，，，，共含有个样本点，
设事件为“从这人中抽取人发言，且这人中至少有一人学习时长在中”，
则，，，，，，，
共个样本点，由古典概型的概率计算公式得．
【解析】中位数两侧对应频率为，由此可得中位数；按照分层抽样确定和中各抽取的人数，然后根据古典概型公式求概率即可．
本题考查频率分布直方图，属于基础题．
22.【答案】解：证明：因为为等边三角形，
所以，
又，，
所以≌，
所以，
由等腰三角形三线合一可得，
又因为面，
又面，
所以，
又，
所以面，
又面，
所以．
因为，
所以，
又面，面，
所以，
又，
所以面，
又面，
所以，
因为二面角的大小为，
所以，
所以，
因为，，
所以，
又，
所以，则，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为是的中点，
所以，
由于，
设点到平面的距离为，
所以，
所以，
所以点到平面的距离为，
又，
所以三棱锥的体积为．
【解析】只需证明垂直于在平面的投影，即可得出答案．
根据题意可得，，则，计算出，，由，得，由是的中点，得，由等体积法可得点到平面的距离为，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，四面体的体积，解题中需要理清思路，属于中档题．
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