2022~2023学年度第二学期期末考试
高 二 数 学（参考答案及评分标准）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
BADB BACD
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9. ABC . 10. ． 11. BCD． 12. ．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 6． 14. 9．
15 4 16 8 8092. . 3 ； 3 ．（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分 10分）
证明：(1)因为 +2 = 5 +1 6 ，
所以 +2 2 +1 = 3( +1 2 )，………………………………………………………………………………………（2）分
又 2 2 1 = 3，………………………………………………………………………………………………………………………（3）分
数列{ +1 2 }是首项为 3，公比为 3的等比数列．…………………………………………………………（4）分
(2) 存在两个等比数列{ }，{ }，使得 = + 成立.……………………………………………………（5）分
理由如下：由(1)知， +1 2 = 3 ．
所以 +1 +1 3 = 2( 3 )，………………………………………………………………………………………………（7）分
因为 1 31 = 2，
所以数列{ 3 }是首项为 2，公比为 2的等比数列，
所以 3 = 2 ．所以 = 3 2 ．………………………………………………………………………………（9）分
令 = 3 ， = 2 ，则 +1 = 3， +1 = 2，
所以，存在两个等比数列{ }，{ }，使得 = + 成立．……………………………………………（10）分
评卷说明：其它方法构造数列，参考评分标准给分.
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18.（本题满分 12分）
解：(1) '( ) = 2 = ( ),（ ∈ ) ………………………………………………………………………（2）分
令 '( ) = 0，得： 1 = 0， 2 = ，
由于 = 1 是函数 ( )的极小值点，所以 '(1) = 0，即 = 1，……………………………………………（4）分
此时因为 ∈ ( ∞,0)时， '( ) > 0， ( )在( ∞,0)上单调递增，
∈ (0,1)时， '( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，
∈ (1, + ∞)时， '( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 = 1 是函数 ( )的极小值点，故 = 1 满足题意．………………………………………………………（5）分
评卷说明：没有检验扣一分.
(2) '( ) = 0 时 = 0 或 = ，………………………………………………………………………………………………（6）分
< 0 时, '( ) > 0 的解为 < 或 > 0,此时 ( ) 在 ( ∞, ] 和 [0, + ∞) 上单调递增;
'( ) < 0的解为 < x < 0,此时 ( )在 [ , 0]上单调递减; ………………………………………………（8）分
> 0 时, '( ) > 0的解为 < 0 或 > ，此时 ( )在( ∞,0]和[ , + ∞)上单调递增;
'( ) < 0的解为 0 < < ,此时 ( )在[0, ]上单调递减；…………………………………………………（10）分
= 0 时， '( ) ≥ 0恒成立，此时 ( )在 R上单调递增. ……………………………………………………（12）分
19.（本题满分 12分）
解：(1)设事件 A为“任选 1名学生每天使用手机超过 1h”，事件 B为“任选 1名学生近视”，
则 P(A) = 0.2，P(A) = 0.8，P(B|A) = 0.5，P(B|A) = 0.375，……………………………………………（2）分
由全概率公式得 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) = 0.2 × 0.5 + 0.8 × 0.375 = 0.4，………（4）分
所以从该校学生中随机抽取一名学生其近视的概率为 0.4．
(2)2 × 2列联表为
每天使用手机时长
视力 合计
超过 1 h 不超过 1 h
近视 60 180 240
不近视 60 300 360
合计 120 480 600
………………………………………………………………………………………………………………………………… （8）分
600×(60×300 180×60)2 25
根据列联表中的数据，经计算得到χ2 = = = 6.25 > 3.841，…………（10）分
240×360×120×480 4
所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下．可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关联.
……………………………………………………………………………………………………………………………（12）分
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20.（本题满分 12分）
解：(1)依题意，由 1 + 2 = 6 3， 4 = 4 23，可得
1 + 1 = 6 21
3 2 2，解得 =
1
2， 1 =
1
2， ………………………………………………………………………（2）分 1 = 4( 1 )
1 1 1
所以 = ( ) 1 = ( ) ， ∈ 2 2 2 ，……………………………………………………………………………………（3）分
因为数列{ } ( +1) 的前 项和 = 2 ，所以当 = 1时， 1 = 1 = 1，…………………………………（4）分
≥ 2 = = ( +1) ( 1)当 时， 1 2 2 = ，……………………………………………………………（5）分
1 = 1 也满足上式，
所以 = ， ∈ ．………………………………………………………………………………………………………………（6）分
(2)由题意及(1)，可知
3 +8
当 为奇数时， = =
3 +8 1 +2 1 1
+2
+2 ( +2)
× ( 2 ) = 2 ( +2) 2 +2，
1
当 为偶数时， = = ( 2 ) ，
令 = 1 + 3 + … + 2 1， = 2 + 4 + … + 2 ，则
= 1 + 3 + … + 2 1
1 1 1 1 1 1
= 1 3 + 3 5 + … + 1 × 2 3× 2 3 × 2 5× 2 (2 1) 22 1 (2 + 1) 22 +1
= 1 11×21 (2 +1) 22 +1
= 12
1
(2 +1) 22 +1， ………………………………………………………………………………………………………………（8）分
= 2 + 4 +
1 2
6 + … + 2 = 2 ( 2 ) + 4 (
1 )4 + 6 ( 1 6 1 2 2 2 ) + … + 2 ( 2 ) ，
1
所以 ( )22 = 2 (
1 4
2 ) + 4 (
1 6 1 2
2 ) + … + (2 2) ( 2 ) + 2 (
1 2 +2
2 ) ，
两式相减，可得：
3 = 2 ( 1 )2 + 2 ( 1 )4 + 2 ( 1 )6 + … + 2 ( 14 2 2 2 2 )
2 2 ( 1 )2 +22 ，
= ( 1 1 1 3 1 5 1 2 1 1 2 +22 ) + ( 2 ) + ( 2 ) + … + ( 2 ) 2 ( 2 ) ，
1 (1)2 +1
= 2 2 2 ( 1 )2 +2，
1 (1)2 22
= ( + 4 ) ( 1 )2 +13 2 +
2
3，
所以 = 3 +49 (
1 )2 12 +
8
9，……………………………………………………………………………………………（10）分
所以 2 = 1 + 2 + … + 2 = ( 1 + 3 + … + 2 1) + ( 2 + 4 + 6 + … + 2 ) = +
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= 1 1 3 +42 (2 +1) 22 +1 9 (
1 )2 1 + 82 9
= 25 [ 1 + 3 +4 ] ( 1 )2 118 4(2 +1) 9 2 ．………………………………………………………………………（12）分
21.（本题满分 12分）
解：(1)设事件 A为“甲 3次投篮，前两球投进”；事件 B为“甲 3次投篮，最后一次才投进第 2
球”，则甲得 3分为这两个事件的和事件，
所以 (A + B) = ( 1 )22 + 2(
1 2 1 1
2 ) ( 2 ) = 2，…………………………………………………………………………………（4）分
1
所以第一轮投篮结束时，甲得 3分的概率为2 ;
(2)选方案一，则 ∽ (9, )，选方案一得分的数学期望为 ( ) = 9 ，………………………………（5）分
选方案二，每一轮得分只有 0和 3，能得 3分的概率为
0 = 2 2(1 ) + 2 = 3 2 2 3， ………………………………………………………………………………………（6）分
进行三轮投篮，得 3分的次数 为随机变量，则 ∽ (3, 0)， ( ) = 3 0，
进行三轮总得分 = 3 ，则选择方案二得分的期望为
( ) = 3 ( ) = 9 = 9(3 2 2 30 )， …………………………………………………………………………………（8）分
所以 ( ) ( ) = 9 9(3 2 2 3) = 9 ( 1)(2 1)，……………………………………………（9）分
1
当 = 2， ( ) ( ) = 0，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以，…………………（10）分
1
当2 < < 1， ( ) < ( )，方案二期望大，所以甲应该选方案二，…………………………………（11）分
当 0 < < 12， ( ) > ( )，方案一期望大，所以甲应该选方案一．………………………………（12）分
22. （本题满分 12分）
(1)解：若 = 2，则 ( ) = 2 = ( 1 ) ，定义域为(0, + ∞)，
由 ( ) = 0，可得 1 = 0， ………………………………………………………………………………………（1）分
设 ( ) = 1 ，则 '( ) = 1 1 ，
由 '( ) < 0，可得 0 < < 1， ( )在(0,1)上单调递减，
由 '( ) > 0，可得 > 1， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = (1) = 0， ………………………………………………………………………………………………………（3）分
故方程 ( ) = 0 的解集为 1 ．…………………………………………………………………………………………………（4）分
(2)①解：令 ( ) = 0 ，得2 =
1+ ( ) = 1+ ，设 ， '( ) =
2，
由 '( ) > 0，可得 0 < < 1, 故 ( )在(0,1)单调递增；
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{#{QQABTYYAoggoAABAAAACQwGSCkAQkhCCCAgOBBAcsEAAiBNABCA=}#}
由 '( ) < 0，可得 > 1，故 ( )在(1, + ∞)单调递减，所以 ( ) = (1) = 1，
又当 ∈ (0,1)时， ( ) ∈ ( ∞,1)，当 ∈ (1, + ∞)时， ( ) ∈ (0,1)，
( ) 若 有两个零点，则2 ∈ (0,1)，故 ∈ (0,2)，……………………………………………………………………（5）分
'( ) = 2 2+ ，令 '( ) = 0，得 = ，
设 ( ) = 2+ 1 1 ，则 '( ) = 2 ，由 '( ) = 0，可得 = ，
由 '( ) > 0 0 < < 1 1，可得 ,故 H( )在(0, )上单调递增；
由 '( ) < 0，可得 > 1 ，故 H( )
1
在( , + ∞)上单调递减， ( ) = (
1
) = ，
当 ∈ (0, 1 )时， ( ) ∈ ( ∞, )，当 ∈ (
1
, + ∞)时， ( ) ∈ (0, )，
若 ( )有两个极值点，则 ∈ (0, )，………………………………………………………………………………………（6）分
综上， ∈ (0,2)，………………………………………………………………………………………………………………………（7）分
②证明：不妨令 1 < 2，因为 ∈ (0,2)且 (1) = 2，得 0 < <
1
1 < 1 < 2，
……………………………………………………………………………………………………………………………………（8）分
由 1， 2为 '( ) = 0 的两根得 1 2 1 = 0， 2 2 2 = 0，
两式分别乘 1， 2并整理得：
2 = 1 2 = 12 1 1 2 1 1，2 2 2 2 2 2，
所以 ( 2 + 22 1 2) ( 1 +
1
2) = 2 ( 1 1 + 2 2)，
要证： ( 1) + ( ) <
1
2 2 ，即证：2 (
2 + 21 2) ( 1 + 2) ( 1
1
1 + 2 2) < 2 ，
即证： 1 1 + 2 >
1
2 ，…………………………………………………………………………………………………（9）分
由于 2 > 1，所以 2 2 > 0，
所以只需证 1 1 >
1 1
(0 < 1 < )，…………………………………………………………………………………（10）分
令 ( ) = (0 < < 1 )，
'( ) = 1 + < 0，所以 ( ) = 在(0, 1 )上单调递减，
1 1 1
所以 ( ) > ( ) = ，故 1 1 > ，……………………………………………………………………………（11）分
所以 ( 1) + ( 2) <
1
2 . ……………………………………………………………………………………………………（12）分
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{#{QQABTYYAoggoAABAAAACQwGSCkAQkhCCCAgOBBAcsEAAiBNABCA=}#}学校
2022~2023学年度第二学期期末考试
年班
5.康托(Cantor)是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论莫定了现代数
高二数学
学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过
考号
注意事项：
程如下：将闭区心，川均分为三段，去掉中间的区间段行，子，记为第一次操作，再形
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。
姓名
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
下的两个区间0，宁，宁，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，
O装
3答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉
装
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，
中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。
超出答题区域或写在本试卷上无效。
○订
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
若使“质托三分集”的各区间长度之和小于分则需要操作的次数州的最小值为(“)
符合题目要求的。
(参考数据：1g2=0.3010,1g3=0.4771)
1.等差数列{an}中，a,=3,a,=27,则数列{an}的公差为()
A.6
B.8
C.10
D.12
O线
A.2
B.6
C.10
D.14
6.已知a=√互，b=log23,c=e2,设曲线y=nx3-x3在x=k(k>0)处的切线斜率为f(k),
2.一箱产品中有6件正品和2件次品.每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回，
则（一）
○内
己知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为(
A.f(c)4.2
B.3
C64
D、7
B.f(a)4
125
15
○不
3.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(
C.f(c)D.f(a)7.某班举行航空知识闯关活动，共设置A,B,C三个问题.答题者可自行决定答三道题的顺
○要
序.甲有60%的可能答对问题A,80%的可能答对问题B,50%的可能答对问题C.记答题者
第3题图
D
连续答对两题的概率为P,要使得p最大，他应该先回答()
○答
4.某商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4
A.问题A
B.问题B
C.问题C
D.问题A,B和C都可以
线
个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
8.若过点P(t,0)可以作曲线y=1-x)的两条切线，切点分别为A(任，)，B(2,y2),
○题
月平均气温x(℃)
1
13
8
2
则y必2的取值范围是()
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程)=bx+a中的b=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为
A.(0,4e3)
B.(-o,0)U(0,4e3)
8℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()件
C.（∞，4e-2)
D.(-o,0)U(0,4e2)
A.40
B.42
C.46
D.48
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第2页（共6页）
