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北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》1.菱形的性质与判定（1）
一、选择题
1．（2023·红桥模拟）如图，四边形为菱形，点，点，点在轴的正半轴上，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形为菱形，点，点，
∴AO=3，DO=4，∠AOD=900 ， CD∥AB
∴AD=CD==5，
∴ 点C 的坐标为（5，4），
∴选项A符合题意，选项B、C、D都不符合题意。
故答案为：A。
【分析】此题考察菱形基本性质、勾股定理的简单运用，属于“双基”题型，难度不大。
2．（2023八下·泗阳期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对边平行
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，A不符合题意；
B、对边相等，菱形和平行四边形都具有，B不符合题意；
C、邻边相等，菱形具有，而平行四边形不一定具有，C符合题意；
D、对边平行，菱形和平行四边形都具有，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的性质菱形都具有，而菱形的性质平行四边形不一定具有。
3．（2023八下·江夏期中）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵一条对角线长是6cm，
∴这条对角线的一半长是3cm，
由勾股定理得，另一条对角线的一半长4cm，
∴另一条对角线的长为8cm，
故答案为：A.
【分析】根据菱形的对角互相垂直平分及勾股定理即可解决此题.
4．（2023·乐山）如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为菱形，，
∴AC⊥BD，OB=4，OC=3，
∴由勾股定理得，
∵E为边BC的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据菱形的性质结合题意即可得到AC⊥BD，OB=4，OC=3，再根据勾股定理即可求出BC的长，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
5．（2023八下·海南期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC=16，BD=8，
∴AC⊥BD，AO=AC=8，BO=BD=4，
∴AB===.
故答案为：.
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=8，BO=BD=4，然后利用勾股定理进行计算.
6．（2023·丽水）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD，
∴∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA
∴∠AOB=90°，
∴AO=ABcos30°=
∴AC=2OA=
故答案为：D
【分析】连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA；再利用解直角三角形求出AO的长，即可得到AC的长.
7．（2023·武功模拟）如图，四边形是菱形，E，F分别是两边上的点，连接，添加下列条件，仍不能判定和全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
A、添加∠BAE=∠DAF，利用ASA可判断△ABE≌△ADF，故此选项不符合题意；
B、添加EC=CF，则BC-CE=CD=CF，即BE=DF，利用SAS可判断△ABE≌△ADF，故此选项不符合题意；
C、添加AE=AF，△ABE与△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，故此选项符合题意；
D、添加BE=DF，利用SAS可判断△ABE≌△ADF，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先由菱形的性质得AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，再由全等三角形的判定方法“ASA”及“SAS”对各个选项进行判断即可.
8．（2023·南海模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，旋转后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是菱形，点A坐标为（6，0），
∴OA=OC=BC=6，
又∵∠AOC=60°，
∴点C坐标为，
∴点B坐标为
绕原点O旋转180°后，点B关于原点对称，
∴旋转后点B的坐标为.
故答案为：B.
【分析】先根据菱形的性质和∠AOC=60°，分别求出点C和点B的坐标，再根据绕原点旋转180°，即求坐标关于原点对称的坐标，即可求出旋转后点B的坐标.
二、填空题
9．（2023·陕西）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ．
【答案】62°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是菱形，，
，，
，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了菱形的性质，先求出和的度数，再通过三角形内角和得到 的度数.
10．（2023·福建）如图，在菱形中，，则的长为 ．
【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC.
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=10.
故答案为：10.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，结合∠B=60°可推出△ABC为等边三角形，据此解答.
11．（2023八下·拱墅期中）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；关于原点对称的坐标特征；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，对角线相交于原点O，
∴点B与D、点A与点C关于原点O中心对称.
∵B（10，m），D（n，6），A（-3，-5），
∴n=-10，m=-6，C（3，5），
∴D（-10，6）.
∴CD=.
故答案为：.
【分析】由题意可得点B与D、点A与点C关于原点O中心对称，据此可得点C、D的坐标，然后结合两点间距离公式进行计算.
12．（2023·绍兴）如图，在菱形中，，连结，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是 .
【答案】10°或80°
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=40°，
∴∠DAC=∠DAB=20°，
∴∠CAE1=160°，
在△CAE中，∵AC=AE，
∴∠AEC=（180°-∠DAC）=80°，
在△ACE1中，∵AC=AE1，
∴∠AE1C=（180°-∠E1AC）=10°.
故答案为：10°或80°.
【分析】根据菱形的每条对角线平分一组对角，可得∠DAC=∠DAB=20°，由邻补角定理得∠CAE1=160°，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理计算即可.
13．（2023八下·大化期中）如图，在菱形中，点P在对角线上，，垂足为E，，则点P到的距离是 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠CAB，
∵PE⊥AB，PE=5，
∴ 点P到的距离 =PE=5；
故答案为：5.
【分析】由菱形的性质可得∠DAC=∠CAB，根据角平分线的性质即可求解.
三、解答题
14．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
15．（2023·济阳模拟）已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证出，再证出，可得，最后利用角的运算和等量代换可得。
16．（2023·泽州模拟）如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，根据ASA证明△ABE≌△CBF，可得BE=BF，利用等边对等角即得结论.
17．（2023九上·临渭期末）已知：如图，在菱形中，E.F分别是边和上的点，且，求证：.
【答案】证明：四边形是菱形，
，
又，
，
，
.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AD=CD，AB=BC，∠A=∠C，由已知条件可知∠ADE=∠CDF，利用ASA证明△ADE≌△CDF，得到AE=CF，然后根据线段的和差关系进行证明.
18．（2022九上·历城期中）如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
【答案】证明：菱形，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由菱形的性质可得，利用平行线的性质可得∠A=∠CBF，根据SAS证明△AEB≌△BFC，可得∠AEB=∠F.
19．（2022九上·五华期中）如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：．
【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
在与中
，
，
，
，即．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
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北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》1.菱形的性质与判定（1）
一、选择题
1．（2023·红桥模拟）如图，四边形为菱形，点，点，点在轴的正半轴上，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023八下·泗阳期中）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对边平行
3．（2023八下·江夏期中）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
4．（2023·乐山）如图2，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
5．（2023八下·海南期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C．8 D．10
6．（2023·丽水）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为( )
A． B．1 C． D．
7．（2023·武功模拟）如图，四边形是菱形，E，F分别是两边上的点，连接，添加下列条件，仍不能判定和全等的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·南海模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，旋转后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·陕西）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为 ．
10．（2023·福建）如图，在菱形中，，则的长为 ．
11．（2023八下·拱墅期中）如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
12．（2023·绍兴）如图，在菱形中，，连结，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是 .
13．（2023八下·大化期中）如图，在菱形中，点P在对角线上，，垂足为E，，则点P到的距离是 ．
三、解答题
14．（2023·凤庆模拟）如图，为菱形的对角线，点E在的延长线上，且．求证：．
15．（2023·济阳模拟）已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接．求证：．
16．（2023·泽州模拟）如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，连接，，，且．求证：．
17．（2023九上·临渭期末）已知：如图，在菱形中，E.F分别是边和上的点，且，求证：.
18．（2022九上·历城期中）如图，在菱形中，点E是边上一点，延长至点F，使，连接．求证：．
19．（2022九上·五华期中）如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形为菱形，点，点，
∴AO=3，DO=4，∠AOD=900 ， CD∥AB
∴AD=CD==5，
∴ 点C 的坐标为（5，4），
∴选项A符合题意，选项B、C、D都不符合题意。
故答案为：A。
【分析】此题考察菱形基本性质、勾股定理的简单运用，属于“双基”题型，难度不大。
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，A不符合题意；
B、对边相等，菱形和平行四边形都具有，B不符合题意；
C、邻边相等，菱形具有，而平行四边形不一定具有，C符合题意；
D、对边平行，菱形和平行四边形都具有，D不符合题意。
故答案为：C
【分析】菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的性质菱形都具有，而菱形的性质平行四边形不一定具有。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵一条对角线长是6cm，
∴这条对角线的一半长是3cm，
由勾股定理得，另一条对角线的一半长4cm，
∴另一条对角线的长为8cm，
故答案为：A.
【分析】根据菱形的对角互相垂直平分及勾股定理即可解决此题.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为菱形，，
∴AC⊥BD，OB=4，OC=3，
∴由勾股定理得，
∵E为边BC的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据菱形的性质结合题意即可得到AC⊥BD，OB=4，OC=3，再根据勾股定理即可求出BC的长，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC=16，BD=8，
∴AC⊥BD，AO=AC=8，BO=BD=4，
∴AB===.
故答案为：.
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=8，BO=BD=4，然后利用勾股定理进行计算.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD，
∴∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA
∴∠AOB=90°，
∴AO=ABcos30°=
∴AC=2OA=
故答案为：D
【分析】连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得∠BAO=∠DAB=30°，AC⊥BD，AC=2OA；再利用解直角三角形求出AO的长，即可得到AC的长.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
A、添加∠BAE=∠DAF，利用ASA可判断△ABE≌△ADF，故此选项不符合题意；
B、添加EC=CF，则BC-CE=CD=CF，即BE=DF，利用SAS可判断△ABE≌△ADF，故此选项不符合题意；
C、添加AE=AF，△ABE与△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，故此选项符合题意；
D、添加BE=DF，利用SAS可判断△ABE≌△ADF，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先由菱形的性质得AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，再由全等三角形的判定方法“ASA”及“SAS”对各个选项进行判断即可.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是菱形，点A坐标为（6，0），
∴OA=OC=BC=6，
又∵∠AOC=60°，
∴点C坐标为，
∴点B坐标为
绕原点O旋转180°后，点B关于原点对称，
∴旋转后点B的坐标为.
故答案为：B.
【分析】先根据菱形的性质和∠AOC=60°，分别求出点C和点B的坐标，再根据绕原点旋转180°，即求坐标关于原点对称的坐标，即可求出旋转后点B的坐标.
9．【答案】62°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是菱形，，
，，
，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了菱形的性质，先求出和的度数，再通过三角形内角和得到 的度数.
10．【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC.
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=10.
故答案为：10.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，结合∠B=60°可推出△ABC为等边三角形，据此解答.
11．【答案】
【知识点】菱形的性质；关于原点对称的坐标特征；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，对角线相交于原点O，
∴点B与D、点A与点C关于原点O中心对称.
∵B（10，m），D（n，6），A（-3，-5），
∴n=-10，m=-6，C（3，5），
∴D（-10，6）.
∴CD=.
故答案为：.
【分析】由题意可得点B与D、点A与点C关于原点O中心对称，据此可得点C、D的坐标，然后结合两点间距离公式进行计算.
12．【答案】10°或80°
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=40°，
∴∠DAC=∠DAB=20°，
∴∠CAE1=160°，
在△CAE中，∵AC=AE，
∴∠AEC=（180°-∠DAC）=80°，
在△ACE1中，∵AC=AE1，
∴∠AE1C=（180°-∠E1AC）=10°.
故答案为：10°或80°.
【分析】根据菱形的每条对角线平分一组对角，可得∠DAC=∠DAB=20°，由邻补角定理得∠CAE1=160°，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理计算即可.
13．【答案】5
【知识点】角平分线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠CAB，
∵PE⊥AB，PE=5，
∴ 点P到的距离 =PE=5；
故答案为：5.
【分析】由菱形的性质可得∠DAC=∠CAB，根据角平分线的性质即可求解.
14．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】先运用菱形的性质即可得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
15．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先证出，再证出，可得，最后利用角的运算和等量代换可得。
16．【答案】证明：∵四边形为菱形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，根据ASA证明△ABE≌△CBF，可得BE=BF，利用等边对等角即得结论.
17．【答案】证明：四边形是菱形，
，
又，
，
，
.
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AD=CD，AB=BC，∠A=∠C，由已知条件可知∠ADE=∠CDF，利用ASA证明△ADE≌△CDF，得到AE=CF，然后根据线段的和差关系进行证明.
18．【答案】证明：菱形，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由菱形的性质可得，利用平行线的性质可得∠A=∠CBF，根据SAS证明△AEB≌△BFC，可得∠AEB=∠F.
19．【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
在与中
，
，
，
，即．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
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