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北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》1.菱形的性质与判定（2）
一、选择题
1．（2022九上·大田期中）以下条件中能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·顺庆月考）如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（ ）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
3．（2023九上·榆林期末）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·双柏期中）下列关于菱形的说法中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．菱形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线相等且互相平分
D．对角线互相平分的四边形是菱形
5．（2022九上·青岛期中）要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ）
A．度量四个内角是否相等
B．测量两条对角线是否相等
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
6．（2022九上·岳阳楼月考）张师傅应客户要求加工 4 个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对 4 个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·碑林月考）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
8．（2022九上·灞桥开学考）如图，在中，点、、分别在边，，上，且，下列结论：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，平分，那么四边形是正方形你认为正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
9．（2021九上·贵阳月考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是 （只填写一个条件）.
10．（2022九上·鄞州开学考）从，，，四个关系中，任选个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是 ．
11．（2021九上·科尔沁期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④；⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率是 ．
12．（2021九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③.其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
13．（2021九上·陈仓期中）如图， ， ， ， ，那么 时，四边形 是菱形.
14．（2021九上·西安月考）如图，在四边形 中， ，E，F，G，H分别是 ， ， ， 的中点，要使四边形 是菱形，四边形 还应满足的一个条件是 .
三、解答题
15．（2023九上·武功期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作，且DE=BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．
16．（2022九上·西安月考）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.
17．（2022九上·高陵期中）如图，在中，．求证：是菱形．
18．（2022九上·利辛月考）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．
19．（2023九上·中卫期末）如图所示，在梯形中，，E是中点，，， ，，点P是边上一动点，设的长为x.
（1）当x的值为 时，以点为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为 时，以点为顶点的四边形是平行四边形；
（3）点P在上运动的过程中，以点为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
A、当AB⊥BC时，∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、当AB=CD时，由于平行四边形的对边本来就是相等的，故不能说明平行四边形ABCD是什么特殊的平行四边形，故此选项不符合题意；
C、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意；
D、当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AE∥FC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形.
故答案为：C
【分析】利用平行四边形的性质可证得AE∥CF，利用平行线的性质可知∠AEO=∠CFO，利用线段中点的定义可证得OA=OC，利用AAS可证得△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF；再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形，观察各选项可知利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=BC（一组邻边相等即可），四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，故A，B不符合题意；
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD是菱形，故C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，观察各选项中的条件，可得答案.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A不符合题意；
B、C.菱形的对角线互相垂直且平分，故B符合题意，C不符合题意；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定和性质逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形或正方形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
B、对角线相等的四边形可能是矩形、正方形，也可能是等腰梯形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
C、两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，即对角线互相平分且相等，可以判定四边形是矩形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
D、分别沿两条对角线对折，如果对角线两侧的部分每次都完全重合，说明对角形互相垂直且平分，可以证明四边形是菱形，故此方案可行；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故不能判定形状，符合题意；
D、两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用四边相等的四边形是菱形，可对A作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对B作出判断；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因此不能判断此四边形是菱形，可对C作出判断；利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF为△BCD的中位线，则EH∥GF∥BD，HG∥EF∥AC，EH=GF=BD，HG=EF=AC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB ，
四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
四边形AEDF是平行四边形， ∠BAC=90° ，
四边形AEDF是矩形，故②正确；
平分 ，
，
∵DF∥AB
，
，
，
又 四边形AEDF是平行四边形，
四边形AEDF是菱形，故③正确；
若AD平分∠BAC ，则平行四边形AEDF是菱形，
若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可判断①；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断②；根据角平分线的概念可得∠EAD=∠DAF，由平行线的性质可得∠EAD=∠ADF，推出AF=DF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断③；根据根据有一个角是直角的菱形是正方可判断④.
9．【答案】AB=BC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法，在平行四边形的基础上添加一个菱形具有的特殊性质：一组邻边相等或对角线互相垂直即可判断出该平行四边形是菱形。
10．【答案】
【知识点】菱形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的有①AB=BC、③AC⊥BD这2种结果，
选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是，
故答案为：.
【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得出能判断平行四边形是菱形可以添加的条件，然后根据概率公式进行计算.
11．【答案】
【知识点】菱形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形ABCD是菱形，
∴能判定是菱形的概率是，
故答案为：．
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可。
12．【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD=AB=FE，AF=AC=FC，DF=BC=EC.
在△ADF和△FEC中，
，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形.
∵AB=AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，结论③正确.
故答案为：①②③.
【分析】 ①根据三角形中位线定理和中点的定义求出AD=FE，AF=FC，DF=EC，再利用SSS证明△ADF≌△FEC即可；②先根据三角形中位线定理证明四边形ADEF为平行四边形，结合AB=AC，求出AD=AF，则可四边形ADEF为菱形；③根据三角形中位线定理DF∥BC，DF=BC，进而根据平行于三角形一边的直线，解其它两边，所截的三角形与原三角形相似求出△ADF∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算即可.
13．【答案】120
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：当 时，四边形 是菱形，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴∠ADB=30°，
∵ ，
∴∠ABD=30°=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形 是菱形.
故答案为：120 .
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形易得四边形ABCD是平行四边形，由邻补角的性质得∠ADB=30°，结合∠A的度数以及三角形内角和定理得∠ABD=30°=∠ADB，则AB=AD，此时四边形ABCD是菱形.
14．【答案】
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：还应满足 .
理由如下： ，F分别是 ， 的中点，
且 ，
同理可得： 且 ， 且 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
即 ，
是菱形.
故答案是： .
【分析】利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，由此可推出四边形EFGH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此添加AD=BC即可.
15．【答案】解：∵DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴．
∵∠ABC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BCDE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=BD，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BCD为等边三角形，再根据等边三角形的三边相等得BC=CD，最后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
16．【答案】证明：在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
又∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD＝DC，由平行线的性质可得∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，利用AAS证明△AFD≌△CED，得到AF＝EC，由已知条件可知AF∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，然后利用菱形的判定定理进行证明.
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等，可证得∠A=∠C，利用垂直的定义可得到∠DEA=∠DFC=90°，利用AAS证明△DAE≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可证得AD=DC，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
18．【答案】（1）证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，
在△BDE和△BCE中，
，
∴△BDE≌△BCE．（SAS）．
（2）解：结论：四边形ABDE是菱形．
理由：∵△BDE≌△BCE，
∴DE＝CE，
∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，
∴AB＝EB＝DE＝AD，
∴四边形ABED是菱形．
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 由旋转可知AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°， 从而推出∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°， 根据SAS证明△BDE≌△BCE ；
（2）四边形ABDE是菱形．理由：根据四边相等的四边形是菱形可证.
19．【答案】（1）3或8
（2）1或11
（3）解：点P在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形，
理由如下：
①当点P在点E左侧时，如下图，过点作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即此时以为顶点的四边形不能构成菱形；
②当点P在点E右侧时，如下图，过点D作于点H，
由（1）可知，当时，四边形为平行四边形，
此时，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴四边形为菱形.
综上所述，点P在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）分别过A、D作于M，于N
∵
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，点为顶点的四边形为直角梯形，
当P与N点重合时，点为顶点的四边形为直角梯形，
，
故答案为：3或8；
（2）解：若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，
可有两种情况：
①当点P在点E左侧时，
∵E是的中点，，
∴，
∴；
②当点P在点E右侧时，
可有.
∴当x的值为1或11时，以点为顶点的四边形为平行四边形.
故答案为：1或11；
【分析】（1）过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DN⊥BC于点N，可证得AD∥BC，同时可证得四边形APND是矩形，利用矩形的性质可证得AD=PN，在Rt△DCN中，利用解直角三角形可求出CN，DN的长，从而可求出BP的长；可知当x=3时四边形APND是直角梯形；当点P和点N重合时，四边形AEPD是直角梯形；据此可求解.
（2）以点A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，分情况讨论：当点P在点E的右侧时，利用线段中点的定义求出BE的长根据BP=BE-PE，可求出BP的长；当点P在点E的右侧时，根据BP=BE+PE，可求出BP的长.
（3）利用菱形的性质，分情况讨论：当点P在点E左侧时，过点D作DH⊥BC于点H，利用已知可证得CH=DH，在Rt△CDH中，利用勾股定理求出CH，DH的长，利用线段中点的定义，可求出CE的长，同时可求出EH的长，利用勾股定理求出DE的长，由此可得到AD≠DE，可得到此时以点P，A，D，E为顶点的四边形不能构成菱形；当点P在点E右侧时，过点DH⊥BC于点H，由（1）可知BP=11时，四边形AEPD是平行四边形，同时可求出HP的长，利用勾股定理求出DP的长，可证得DP=AD，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可求解.
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北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》1.菱形的性质与判定（2）
一、选择题
1．（2022九上·大田期中）以下条件中能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：如图：
A、当AB⊥BC时，∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、当AB=CD时，由于平行四边形的对边本来就是相等的，故不能说明平行四边形ABCD是什么特殊的平行四边形，故此选项不符合题意；
C、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意；
D、当AC=BD时，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，一一判断得出答案.
2．（2022九上·顺庆月考）如图，在 ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（ ）
A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AE∥FC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形.
故答案为：C
【分析】利用平行四边形的性质可证得AE∥CF，利用平行线的性质可知∠AEO=∠CFO，利用线段中点的定义可证得OA=OC，利用AAS可证得△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF；再利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形，观察各选项可知利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得答案.
3．（2023九上·榆林期末）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=BC（一组邻边相等即可），四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，故A，B不符合题意；
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD是菱形，故C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，观察各选项中的条件，可得答案.
4．（2022九上·双柏期中）下列关于菱形的说法中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．菱形的对角线互相垂直且平分
C．菱形的对角线相等且互相平分
D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A不符合题意；
B、C.菱形的对角线互相垂直且平分，故B符合题意，C不符合题意；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定和性质逐项判断即可。
5．（2022九上·青岛期中）要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ）
A．度量四个内角是否相等
B．测量两条对角线是否相等
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形或正方形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
B、对角线相等的四边形可能是矩形、正方形，也可能是等腰梯形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
C、两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，即对角线互相平分且相等，可以判定四边形是矩形，不能判定是菱形，故此方案不可行；
D、分别沿两条对角线对折，如果对角线两侧的部分每次都完全重合，说明对角形互相垂直且平分，可以证明四边形是菱形，故此方案可行；
故答案为：D．
【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。
6．（2022九上·岳阳楼月考）张师傅应客户要求加工 4 个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对 4 个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故不能判定形状，符合题意；
D、两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用四边相等的四边形是菱形，可对A作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对B作出判断；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因此不能判断此四边形是菱形，可对C作出判断；利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可对D作出判断.
7．（2022九上·碑林月考）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴，EH=BD， EF=AC，
∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意；
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意；
若AC⊥BD，则EF⊥EH，
∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得GH为△ACD的中位线，EF为△ABC的中位线，EH为△ABD的中位线，GF为△BCD的中位线，则EH∥GF∥BD，HG∥EF∥AC，EH=GF=BD，HG=EF=AC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形EFGH一定是平行四边形；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此即可一一判断得出答案.
8．（2022九上·灞桥开学考）如图，在中，点、、分别在边，，上，且，下列结论：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，平分，那么四边形是正方形你认为正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB ，
四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
四边形AEDF是平行四边形， ∠BAC=90° ，
四边形AEDF是矩形，故②正确；
平分 ，
，
∵DF∥AB
，
，
，
又 四边形AEDF是平行四边形，
四边形AEDF是菱形，故③正确；
若AD平分∠BAC ，则平行四边形AEDF是菱形，
若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可判断①；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断②；根据角平分线的概念可得∠EAD=∠DAF，由平行线的性质可得∠EAD=∠ADF，推出AF=DF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断③；根据根据有一个角是直角的菱形是正方可判断④.
二、填空题
9．（2021九上·贵阳月考）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且 ， ，要使得四边形ABCD是菱形，应添加的条件是 （只填写一个条件）.
【答案】AB=BC（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：应添加的条件是：AB=BC，理由如下：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法，在平行四边形的基础上添加一个菱形具有的特殊性质：一组邻边相等或对角线互相垂直即可判断出该平行四边形是菱形。
10．（2022九上·鄞州开学考）从，，，四个关系中，任选个作为条件，那么选到能够判定平行四边形是菱形的概率是 ．
【答案】
【知识点】菱形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的有①AB=BC、③AC⊥BD这2种结果，
选到能够判定平行四边形ABCD是菱形的概率是，
故答案为：.
【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得出能判断平行四边形是菱形可以添加的条件，然后根据概率公式进行计算.
11．（2021九上·科尔沁期末）小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①；②；③；④；⑤．从中随机抽取一张卡片，能判定是菱形的概率是 ．
【答案】
【知识点】菱形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形ABCD是菱形，
∴能判定是菱形的概率是，
故答案为：．
【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可。
12．（2021九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③.其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD=AB=FE，AF=AC=FC，DF=BC=EC.
在△ADF和△FEC中，
，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形.
∵AB=AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，结论③正确.
故答案为：①②③.
【分析】 ①根据三角形中位线定理和中点的定义求出AD=FE，AF=FC，DF=EC，再利用SSS证明△ADF≌△FEC即可；②先根据三角形中位线定理证明四边形ADEF为平行四边形，结合AB=AC，求出AD=AF，则可四边形ADEF为菱形；③根据三角形中位线定理DF∥BC，DF=BC，进而根据平行于三角形一边的直线，解其它两边，所截的三角形与原三角形相似求出△ADF∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方列式计算即可.
13．（2021九上·陈仓期中）如图， ， ， ， ，那么 时，四边形 是菱形.
【答案】120
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：当 时，四边形 是菱形，
证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴∠ADB=30°，
∵ ，
∴∠ABD=30°=∠ADB，
∴AB=AD，
∴四边形 是菱形.
故答案为：120 .
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形易得四边形ABCD是平行四边形，由邻补角的性质得∠ADB=30°，结合∠A的度数以及三角形内角和定理得∠ABD=30°=∠ADB，则AB=AD，此时四边形ABCD是菱形.
14．（2021九上·西安月考）如图，在四边形 中， ，E，F，G，H分别是 ， ， ， 的中点，要使四边形 是菱形，四边形 还应满足的一个条件是 .
【答案】
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：还应满足 .
理由如下： ，F分别是 ， 的中点，
且 ，
同理可得： 且 ， 且 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
即 ，
是菱形.
故答案是： .
【分析】利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，由此可推出四边形EFGH是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此添加AD=BC即可.
三、解答题
15．（2023九上·武功期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作，且DE=BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．
【答案】解：∵DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴．
∵∠ABC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BCDE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD=BD，进而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△BCD为等边三角形，再根据等边三角形的三边相等得BC=CD，最后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论.
16．（2022九上·西安月考）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.
【答案】证明：在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
又∵AF∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴EF⊥AC
∴平行四边形AECF是菱形.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据中点的概念可得AD＝DC，由平行线的性质可得∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，利用AAS证明△AFD≌△CED，得到AF＝EC，由已知条件可知AF∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，然后利用菱形的判定定理进行证明.
17．（2022九上·高陵期中）如图，在中，．求证：是菱形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的对角相等，可证得∠A=∠C，利用垂直的定义可得到∠DEA=∠DFC=90°，利用AAS证明△DAE≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可证得AD=DC，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
18．（2022九上·利辛月考）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状．并说明理由．
【答案】（1）证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，
在△BDE和△BCE中，
，
∴△BDE≌△BCE．（SAS）．
（2）解：结论：四边形ABDE是菱形．
理由：∵△BDE≌△BCE，
∴DE＝CE，
∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，
∴AB＝EB＝DE＝AD，
∴四边形ABED是菱形．
【知识点】菱形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 由旋转可知AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°， 从而推出∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°， 根据SAS证明△BDE≌△BCE ；
（2）四边形ABDE是菱形．理由：根据四边相等的四边形是菱形可证.
19．（2023九上·中卫期末）如图所示，在梯形中，，E是中点，，， ，，点P是边上一动点，设的长为x.
（1）当x的值为 时，以点为顶点的四边形为直角梯形；
（2）当x的值为 时，以点为顶点的四边形是平行四边形；
（3）点P在上运动的过程中，以点为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.
【答案】（1）3或8
（2）1或11
（3）解：点P在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形，
理由如下：
①当点P在点E左侧时，如下图，过点作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即此时以为顶点的四边形不能构成菱形；
②当点P在点E右侧时，如下图，过点D作于点H，
由（1）可知，当时，四边形为平行四边形，
此时，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴四边形为菱形.
综上所述，点P在边上运动的过程中，以为顶点的四边形能构成菱形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）分别过A、D作于M，于N
∵
∴是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，点为顶点的四边形为直角梯形，
当P与N点重合时，点为顶点的四边形为直角梯形，
，
故答案为：3或8；
（2）解：若以点为顶点的四边形为平行四边形，那么，
可有两种情况：
①当点P在点E左侧时，
∵E是的中点，，
∴，
∴；
②当点P在点E右侧时，
可有.
∴当x的值为1或11时，以点为顶点的四边形为平行四边形.
故答案为：1或11；
【分析】（1）过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DN⊥BC于点N，可证得AD∥BC，同时可证得四边形APND是矩形，利用矩形的性质可证得AD=PN，在Rt△DCN中，利用解直角三角形可求出CN，DN的长，从而可求出BP的长；可知当x=3时四边形APND是直角梯形；当点P和点N重合时，四边形AEPD是直角梯形；据此可求解.
（2）以点A，P，D，E为顶点的四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，分情况讨论：当点P在点E的右侧时，利用线段中点的定义求出BE的长根据BP=BE-PE，可求出BP的长；当点P在点E的右侧时，根据BP=BE+PE，可求出BP的长.
（3）利用菱形的性质，分情况讨论：当点P在点E左侧时，过点D作DH⊥BC于点H，利用已知可证得CH=DH，在Rt△CDH中，利用勾股定理求出CH，DH的长，利用线段中点的定义，可求出CE的长，同时可求出EH的长，利用勾股定理求出DE的长，由此可得到AD≠DE，可得到此时以点P，A，D，E为顶点的四边形不能构成菱形；当点P在点E右侧时，过点DH⊥BC于点H，由（1）可知BP=11时，四边形AEPD是平行四边形，同时可求出HP的长，利用勾股定理求出DP的长，可证得DP=AD，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可求解.
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