北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》2.矩形的性质与判定（2）
一、选择题
1．（2020·十堰）已知 中，下列条件：① ；② ；③ ；④ 平分 ，其中能说明 是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2023八下·防城期末）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（ ）
A．有两个角是直角的四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是矩形.
3．（2023九下·锡山期中）已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．（2023八下·大化期中）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·兰溪期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．CE⊥DE C．∠ADB=90° D．BE⊥AB
6．（2023·浦东新模拟）顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（ ）
A．菱形
B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
7．（2023·开原模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·路南模拟）问题背景：如图，AD是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流：
小明说：“若，则四边形是矩形．”
小强说：“若，则四边形是菱形．”
下列说法中正确的是（ ）
A．小明不对，小强对 B．小明对，小强不对
C．小明和小强都对 D．小明和小强都不对
二、填空题
9．（2023·泽州模拟）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
10．（2022·门头沟模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，只需添加一个条件，即可证明平行四边形ABCD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
11．（2021·鹤岗）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形 是矩形．
12．（2013·宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 度时，两条对角线长度相等．
13．（2022·前进模拟）如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是 ．
14．（2021九上·黑山期中）M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足 时，四边形PEMF为矩形.
三、解答题
15．（2023九上·凤翔期末）如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形；
16．（2022九上·西安月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是矩形．
17．（2022九上·岳阳楼月考）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．
18．（2022九下·利通期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形
19．（2021九上·泰和期末）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
20．（2021九上·阳山期末）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D. 平分 ，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定进行分析即可.
2．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：依据为有三个角是直角的四边形是矩形.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理进行判断.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：画出示意图：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AE=EC，DE=BC.
∵EF=DE，AE=EC，
∴四边形AFCD为平行四边形.
∵DE=BC，DE=EF，
∴DF=BC.
∵AC=BC，
∴AC=DF，
∴四边形AFCD一定是矩形.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由中点的概念可得AE=EC，根据已知条件可知EF=DE，推出四边形AFCD为平行四边形，根据中位线的性质可得DE=BC，则DF=BC，结合AC=BC可得AC=DF，据此解答.
4．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、在平行四边形ABCD中，AD⊥AB，∴四边形ABCD是矩形，故符合题意；
B、在平行四边形ABCD中，BC=AB，∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，不能判定四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
【分析】根据矩形的判定法法逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
A、当AB=BE时，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
∴平行四边形BDEC是矩形，故此选项不符合题意；
B、当CE⊥DE时，∠CED=90°，∴平行四边形BDEC是矩形，故此选项不符合题意；
C、当∠ADB=90°时，∠BDE=90°，∴平行四边形BDEC是矩形，故此选项不符合题意；
D、当BE⊥AB时，∵AB∥CD，∴BE⊥CD，∴平行四边形BDEC是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先根据平行四边形的对边平行且相等得AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD，结合DE=AD，得DE=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BDEC是平行四边形；当AB=BE时，可推出BE=CD，从而根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断A选项；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断B、C选项；由BE⊥AB可推出BE⊥CD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】矩形的判定；中点四边形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥AC∥GH，EH∥BD∥GF，
∴AC⊥BD，
∴ 四边形的对角线互相垂直；
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得EH⊥GH，根据三角形中位线定理可得EF∥AC∥GH，EH∥BD∥GF，利用平行线的性质得出AC⊥BD，据此判断即可.
7．【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出四边形EFGH是平行四边形，再求出，最后证明求解即可。
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：对于小明的说法，
∵，AD是的中线，
∴，即．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形．
故小明的说法符合题意．
对于小强的说法，
∵，AD是的中线，
∴．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
故小强的说法符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形和菱形的判定方法求解即可。
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，对角线与相交于点，
∴，
又∵，
∴
即
∴四边形是平行四边形，
添加条件：，可得四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，DO=BO，由AE=CF可得OE=OF，可证四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此添加即可.
10．【答案】AC=BD（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴添加的条件是AC=BD，
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
11．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当 时，四边形ABCD为矩形．
故答案为： ．
【分析】根据矩形是特殊的平行四边形，再根据矩形的性质来添加条件。
12．【答案】90
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°．
故答案是：90°．
【分析】根据矩形的判定方法即可求解．
13．【答案】AB=BE（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，AB=DC，
又∵AD=DE，
∴，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，则DC=BE，
∴ DBCE为矩形；
添加∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形；
添加CE⊥DE， ∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形．
故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE．
【分析】根据矩形的判定方法求解即可。
14．【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．故答案为AB= BC.
【分析】利用矩形的性质和判定方法求解即可。
15．【答案】证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，由邻补角的性质可得∠ACB+∠ACD=180°，推出∠ECF=90°，根据垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，然后根据矩形的判定定理进行证明.
16．【答案】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得∠BOC=90°，OC=OA=AC，结合BE=AC得BE=OC，然后结合矩形的判定定理进行证明.
17．【答案】解：是矩形．
理由：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形OCED是平行四边形；再利用菱形的对角线互相垂直，可证得∠DOC=90°；然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，
又∵点E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG ＝90°，
∴四边形OEFG是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相平分得OD=OB，由三角形中位线定理得OE∥FG，结合OG∥EF，可以推出四边形OEFG是平行四边形，结合EF⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB-BM＝OD-DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AMCN是平行四边形，再结合MN=AC，可得四边形AMCN是矩形。
20．【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及矩形的判定定理即可得出结论。
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》2.矩形的性质与判定（2）
一、选择题
1．（2020·十堰）已知 中，下列条件：① ；② ；③ ；④ 平分 ，其中能说明 是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D. 平分 ，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定进行分析即可.
2．（2023八下·防城期末）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形的踏板，这样做最直接的道理是（ ）
A．有两个角是直角的四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是矩形.
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：依据为有三个角是直角的四边形是矩形.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理进行判断.
3．（2023九下·锡山期中）已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】B
【知识点】矩形的判定；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：画出示意图：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AE=EC，DE=BC.
∵EF=DE，AE=EC，
∴四边形AFCD为平行四边形.
∵DE=BC，DE=EF，
∴DF=BC.
∵AC=BC，
∴AC=DF，
∴四边形AFCD一定是矩形.
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由中点的概念可得AE=EC，根据已知条件可知EF=DE，推出四边形AFCD为平行四边形，根据中位线的性质可得DE=BC，则DF=BC，结合AC=BC可得AC=DF，据此解答.
4．（2023八下·大化期中）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、在平行四边形ABCD中，AD⊥AB，∴四边形ABCD是矩形，故符合题意；
B、在平行四边形ABCD中，BC=AB，∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，不能判定四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，不能判定四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
【分析】根据矩形的判定法法逐一判断即可.
5．（2023八下·兰溪期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB=BE B．CE⊥DE C．∠ADB=90° D．BE⊥AB
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形BDEC是平行四边形，
A、当AB=BE时，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
∴平行四边形BDEC是矩形，故此选项不符合题意；
B、当CE⊥DE时，∠CED=90°，∴平行四边形BDEC是矩形，故此选项不符合题意；
C、当∠ADB=90°时，∠BDE=90°，∴平行四边形BDEC是矩形，故此选项不符合题意；
D、当BE⊥AB时，∵AB∥CD，∴BE⊥CD，∴平行四边形BDEC是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】首先根据平行四边形的对边平行且相等得AB=CD，BC=AD，BC∥AD，AB∥CD，结合DE=AD，得DE=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BDEC是平行四边形；当AB=BE时，可推出BE=CD，从而根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断A选项；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断B、C选项；由BE⊥AB可推出BE⊥CD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断D选项.
6．（2023·浦东新模拟）顺次联结四边形各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形一定是（ ）
A．菱形
B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
【答案】C
【知识点】矩形的判定；中点四边形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥AC∥GH，EH∥BD∥GF，
∴AC⊥BD，
∴ 四边形的对角线互相垂直；
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得EH⊥GH，根据三角形中位线定理可得EF∥AC∥GH，EH∥BD∥GF，利用平行线的性质得出AC⊥BD，据此判断即可.
7．（2023·开原模拟）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，CA的中点，
∴，且，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，即，
∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出四边形EFGH是平行四边形，再求出，最后证明求解即可。
8．（2022·路南模拟）问题背景：如图，AD是的中线，四边形是平行四边形．讨论交流：
小明说：“若，则四边形是矩形．”
小强说：“若，则四边形是菱形．”
下列说法中正确的是（ ）
A．小明不对，小强对 B．小明对，小强不对
C．小明和小强都对 D．小明和小强都不对
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：对于小明的说法，
∵，AD是的中线，
∴，即．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形．
故小明的说法符合题意．
对于小强的说法，
∵，AD是的中线，
∴．
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形．
故小强的说法符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用矩形和菱形的判定方法求解即可。
二、填空题
9．（2023·泽州模拟）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，对角线与相交于点，
∴，
又∵，
∴
即
∴四边形是平行四边形，
添加条件：，可得四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO，DO=BO，由AE=CF可得OE=OF，可证四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此添加即可.
10．（2022·门头沟模拟）在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，只需添加一个条件，即可证明平行四边形ABCD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】AC=BD（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴添加的条件是AC=BD，
故答案为：AC=BD（答案不唯一）．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
11．（2021·鹤岗）如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形 是矩形．
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当 时，四边形ABCD为矩形．
故答案为： ．
【分析】根据矩形是特殊的平行四边形，再根据矩形的性质来添加条件。
12．（2013·宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 度时，两条对角线长度相等．
【答案】90
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°．
故答案是：90°．
【分析】根据矩形的判定方法即可求解．
13．（2022·前进模拟）如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是 ．
【答案】AB=BE（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，AB=DC，
又∵AD=DE，
∴，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB=BE，则DC=BE，
∴ DBCE为矩形；
添加∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形；
添加CE⊥DE， ∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形．
故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE．
【分析】根据矩形的判定方法求解即可。
14．（2021九上·黑山期中）M为矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足 时，四边形PEMF为矩形.
【答案】
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB= BC，∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF是矩形．故答案为AB= BC.
【分析】利用矩形的性质和判定方法求解即可。
三、解答题
15．（2023九上·凤翔期末）如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形；
【答案】证明：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
【知识点】矩形的判定；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，由邻补角的性质可得∠ACB+∠ACD=180°，推出∠ECF=90°，根据垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，然后根据矩形的判定定理进行证明.
16．（2022九上·西安月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，过点B作，且，连接，求证：四边形是矩形．
【答案】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得∠BOC=90°，OC=OA=AC，结合BE=AC得BE=OC，然后结合矩形的判定定理进行证明.
17．（2022九上·岳阳楼月考）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗？说说你的理由．
【答案】解：是矩形．
理由：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形OCED是平行四边形；再利用菱形的对角线互相垂直，可证得∠DOC=90°；然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
18．（2022九下·利通期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，
又∵点E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG ＝90°，
∴四边形OEFG是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据菱形的对角线互相平分得OD=OB，由三角形中位线定理得OE∥FG，结合OG∥EF，可以推出四边形OEFG是平行四边形，结合EF⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得出答案.
19．（2021九上·泰和期末）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB-BM＝OD-DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AMCN是平行四边形，再结合MN=AC，可得四边形AMCN是矩形。
20．（2021九上·阳山期末）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质以及矩形的判定定理即可得出结论。
1 / 1
