人教版数学八年级上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段垂直平分线的性质 导学案（含答案）

13.1 轴对称
13.1.2第1课时 线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.理解线段垂直平分线的性质,会利用线段垂直平分线的性质进行推理.
2.自己动手探究发现线段垂直平分线的性质,培养观察、猜想、归纳能力.
3.通过应用线段垂直平分线的性质进行推理,培养几何推理的严密性.
学习策略
1.结合图形理解线段的垂直平分线的性质；
2.牢记线段的垂直平分线的性质.
学习过程
一.复习回顾：
1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴.
2.如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，那么这两个图形有什么关系？
二.新课学习：
阅读课本本课时的内容，解决下列问题.
知识点一：线段垂直平分线的性质和判定
1.测量课本“图13.1-6”中的线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B，可以发现：P1A　　P1B、P2A 　P2B、P3A　　P3B.(填“=”“>”或“<”)
2.如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在直线l上，试补全以下证明：
证明：因为l⊥AB，所以∠PCA=∠PCB=　　.
又AC=CB，　 　，
所以△PCA≌△　 　(SAS)，
所以PA=　　.
3.将上述问题中的已知和结论进行交换，即如果PA=PB，求证点P在线段AB的垂直平分线上.试完成如下证明：
证明：取AB的中点C，连接PC.
因为AC=BC，PA=　　，PC=　　，
所以△PCA≌　　(SSS)，
所以∠PCA=∠PCB=　　.
即直线l垂直AB并且通过AB的中点C，所以点P在线段AB的垂直平分线上.
总结：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　　.
(2)与线段两个端点距离　　的点，在这条线段的　 　上.
(3)线段的垂直平分线可以看作是　 　的所有点的集合.
【答案】1.=；=；= 2.90°；PC=PC；PCB；PB 3.PB；PC；PCB；90°；(1)相等；(2)相等，垂直平分线；(3)到这条线段的两个端点距离相等
知识点二：过直线外一点画垂线
过直线AB外一点C作直线AB的垂线，作法如下：
(1).任取一点K，使点K和点C在AB的　　；
(2).以C为圆心，CK为半径作弧，交　　于点D和点E；
(3).分别以D和E为圆心，大于　 　的长为半径作弧，两弧交于点F；
(4).作直线CF，则直线CF就是所求的垂线.
【答案】(1)两旁；(2)AB；(3)DE
三.尝试应用：
例1. 如图，AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
证明：因为AB＝AC，
所以点A在线段BC的垂直平分线上，
因为MB＝MC，
所以点M在线段BC的垂直平分线上，
所以直线AM垂直平分线段BC．
例2 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长.
解：因为DE是AC的垂直平分线，
所以DA＝DC，
因为△ABD的周长为 13cm．
所以AB+BD+AD＝13cm，
因为AE＝3cm，
所以AC＝6cm，
所以△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝19cm．
四.自主总结：
1.线段的垂直平分线的判定与性质互为逆命题.
2.线段的垂直平分线的集合定义包含两层意思：(1)到线段两个端点的距离相等的点都在线段的垂直平分线上.(2)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
五.达标测试
一、选择题
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】B
2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
3. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（　　）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
5.△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为（　　）
A．24cm和12cm B．22cm和16cm
C．20cm和16cm D．16cm和22cm
填空题
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△BCE的周长等于　 　．
7.如图，已知AB垂直平分CD，AC=6cm，BD=4cm，则四边形ADBC的周长为____________.
8.如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线交BC于点D、E，已知△ADE的周长为12cm，则BC=_____cm．
9. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
参考答案
1.B
2.D 解析：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点．
3. A解析：因为AC＝AD，BC＝BD，所以AB垂直平分CD，故选：A．
4.A 解析：因为DE是AC的垂直平分线，所以AD=DC，AE=CE=AC，因为△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，所以AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，所以AC=6cm，
所以AE=3cm．
5.B 解析：已知AB=AC，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，故△ABC的周长为AB+AC+BC=60cm，△DBC的周长为BD+DC+BC=38cm，根据线段垂直平分线性质可得BD+DC=AD+DC=AC，所以AB=60-38=22，BC=60-22×2=16．
6. 解析：因为在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，DE是线段AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，
所以△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC＝5+3＝8．
7.20（cm） 解析：因为AB垂直平分CD，所以BC=BD，AC=AD．因为AC=6cm，BD=4cm，所以四边形ADBC的周长=AC+AD+BC+BD=2×6+2×4=12+8=20（cm）．
8.12 解析：因为DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，所以AD=BD，AE=CE，所以AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，因为△ADE的周长为12cm，即AD+DE+AE=12cm，所以BC=12cm．
9. 证明：因为OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
所以DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
因为点E是∠AOB的平分线上一点，
所以∠DOE＝∠COE，
因为EC⊥OA，ED⊥OB，所以∠ODE＝∠OCE＝90°，
所以△OED≌△OEC（AAS），所以OC＝OD；
所以 OE是CD的垂直平分线.