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14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式
两个数的平方差,等于这两个数的 与这两个数的 的积,即a2-b2= .
和
差
(a+b)(a-b)
运用平方差公式分解因式
B
[变式1]运用平方差公式分解因式:
(1)(3m)2-n2;
解:(1)原式=(3m+n)(3m-n).
(3)(a-b)2-9b2.
解:(3)原式=(a-b)2-(3b)2
=(a-b+3b)(a-b-3b)
=(a+2b)(a-4b).
平方差公式的综合运用
[典例2]分解因式:
(1)x2y-y3; (2)(a-b)b2+4(b-a).
解:(1)x2y-y3
=y(x2-y2)
=y(x-y)(x+y).
(2)(a-b)b2+4(b-a)
=(a-b)(b2-4)
=(a-b)(b-2)(b+2).
解:当x+2y=3,x-2y=5时,
原式=(x+2y)(x-2y)-8
=3×5-8
=15-8
=7.
[典例3]若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2的值为( )
A.200 B.-200 C.100 D.-100
[变式2]已知x+2y=3,x-2y=5,求x2-4y2-8的值.
B
运用平方差公式分解因式的方法
(1)只有符合平方差公式特点的二项式,才可以运用平方差公式分解因式;
(2)如果多项式有公因式,先提出公因式,再看看是否能用平方差公式继续分解;
(3)分解结果要彻底.
[典例4]把20 cm长的一根铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形,如果这两个正方形的面积之差是5 cm2,求这两段铁丝的长.
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14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 ,用式子表示:(a+b)(a-b)=
,这个公式叫做平方差公式.
平方差
a2-b2
平方差公式
B
[变式1]计算:
(1)(2y-1)(4y2+1)(2y+1);
解:(1)(2y-1)(4y2+1)(2y+1)
=(2y-1)(2y+1)(4y2+1)
=(4y2-1)(4y2+1)
=16y4-1.
[典例2]在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b,如图①所示),把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图②所示),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证公式( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.a(a-b)=a2-ab
① ②
C
变化形式 应用举例
①位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
②符号变化 (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=b2-a2
③系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
④指数变化 (a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
⑤增项变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
⑥连用公式变化 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
平方差公式的变形
平方差公式的应用
解:(2)99×101×10 001
=(100-1)×(100+1)×(10 000+1)
=(10 000-1)×(10 000+1)
=10 0002-1
=108-1
=99 999 999.
[典例4]若m+n=5,则m2-n2+10n的值为 .
[变式2]若4x2-9y2=10,4x+6y=4,求2x-3y的值.
25
解:∵4x2-9y2=10,
∴(2x+3y)(2x-3y)=10.
∵4x+6y=4,∴2x+3y=2,
∴2x-3y=10÷2=5.
巧用平方差公式化简求值
求一个代数式的值时,先根据平方差公式进行化简,再代入求值.
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第3课时 同底数幂的除法与零指数幂
1.同底数幂相除,底数 ,指数 ,用式子表示:am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).
2.任何 的数的0次幂都等于 ,即a0= (a≠0).
不变
相减
am-n
不等于0
1
1
同底数幂的除法
[典例1]计算:
(1)(-a)·(-a)7÷(a2)3;
解:(1)(-a)·(-a)7÷(a2)3
=(-a)·(-a)7÷a6
=(-a)1+7÷a6
=a8÷a6
=a2.
(2)(a4)3÷a6÷(-a)3.
解:(2)(a4)3÷a6÷(-a)3
=a12÷a6÷(-a)3
=a6÷(-a)3
=-a3.
[变式1]计算:
(1)(m-n)9·(n-m)8÷(m-n)2;
(2)(x-2y)4÷(2y-x)2÷(x-2y).
解:(1)原式=(m-n)9·(m-n)8÷(m-n)2=(m-n)9+8-2=(m-n)15.
(2)原式=(x-2y)4÷(x-2y)2÷(x-2y)
=(x-2y)4-2-1
=x-2y.
[典例2]已知m-n=3,则2m÷2n的值为( )
A.8 B.-8 C. D.1
[变式2]已知9b=6,3a=2,求33a-2b的值.
A
同底数幂除法的运算
(1)同底数幂的除法运算与同底数幂的乘法运算互为逆运算,同底数幂除法运算的结果可用乘法来验证;
零指数幂
[典例3]-2 0220的相反数是( )
A.-2 022 B.2 022 C.1 D.-1
[变式3]计算:
(2)原式=-20-1-6=-27.
C
零指数幂的性质
(1)底数a可以是不等于0的数或式子;
(2)a0=1的前提是a≠0.
忽视零指数幂成立的条件而出错.
[典例4]下列计算正确的是( )
A.(2x-3)0=1
B.π0=0
C.(a2-1)0=1
D.(m2+1)0=1
D
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
1.同底数幂相乘,底数 ,指数 ,用式子表示:am·an= (m,n都是正整数).
2.同底数幂乘法的逆用:am+n= (m,n都是正整数).
不变
相加
am+n
am·an
D
同底数幂的乘法
[典例1]计算(-x)4·x2的结果是( )
A.-x6 B.-x8
C.x8 D.x6
[变式1]计算-a2·(-a)3的结果是( )
A.-a6 B.a6
C.-a5 D.a5
D
[典例2]计算:
(1)(-y)2·yn-1;
(2)x6·(-x)3-(-x)2·(-x)7;
(3)4×2n;
(4)(m-n)·(n-m)3·(n-m)4.
解:(1)原式=y2+n-1=y1+n.
(2)原式=-x6·x3+x2·x7=-x9+x9=0.
(3)原式=22×2n=22+n.
(4)原式=-(n-m)1+3+4=-(n-m)8.
同底数幂乘法的灵活运用
[典例3]已知am=6,an=2,则am+n等于( )
A.8 B.3 C.64 D.12
[变式2](1)已知ax=5,ax+y=25,求ax+ay的值;
(2)若3m+1=243,求3m+2的值.
D
解:(1)∵ax+y=25,
∴ax·ay=25.
∵ax=5,
∴ay=5,
∴ax+ay=5+5=10.
(2)3m+2=3m+1×3=243×3=729.
同底数幂乘法公式的用法
(1)当底数是多项式时,要把多项式看成一个整体.
(3)当底数互为相反数时,要转化为同底数的幂,注意符号问题.
(4)同底数幂的乘法公式可以逆用,即am+n =am·an (m,n都是正整数).
因忽视幂的底数的符号变化而出错.
C
[典例4]计算-(-m2)·(-m)3·(-m)的结果是( )
A.-m3 B.m5
C.m6 D.-m6
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14.1.2 幂的乘方
1.幂的乘方,底数 ,指数 ,用式子表示:(am)n= (m,n都是正整数).
2.幂的乘方的逆用:amn= = (m,n都是正整数).
不变
相乘
amn
(am)n
(an)m
幂的乘方
[典例1]下列各式计算正确的是( )
A.(x4)3=x7
B.(-a2)5=-a10
C.(am)2=am+2
D.(-a3)2=a5
[变式1]下列各式成立的是( )
A.(a3)x=(ax)3
B.(an)3= an+3
C.(a+b)2=a2+b2
D.(-a)m=-am
B
A
[典例2]计算:
(1)[(x2)3]7 ; (2)[(a-b)m]n;
(3)(x3)4·x2; (4)(a4)3-(a3)4;
(5)2(x2)n-(xn)2.
解:(1)原式=x2×3×7=x42.
(2)原式=(a-b)mn.
(3)原式=x3×4·x2 =x12+2=x14.
(4)原式=a4×3-a3×4=a12-a12=0.
(5)原式=2x2×n-xn×2=2x2n-x2n=x2n.
[典例3]已知10x=20,100y=50,则x+2y= .
[变式2]若3x+4y-3=0,求27x·81y的值.
解:由3x+4y-3=0,得3x+4y=3,
∴27x·81y=33x·34y
=33x+4y
=33
=27.
3
幂的运算方法——定符号,用法则
(1)当运用幂的有关运算法则计算时,要注意区别幂的乘方和同底数幂的乘法.
(2)若幂中含有负号,先确定符号,再利用法则进行计算;若式子中同时含有乘方与乘法运算,先算乘方,再算乘法.
幂的乘方的逆用
[典例4]已知10x=3,10y=4,则102x+3y= .
[变式3]已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
576
解:∵am=2,an=3,
∴a2m=(am)2=22=4,
a3n=(an)3=33=27,
∴a2m+3n=a2m·a3n=4×27=108.
[典例5]阅读下列解题过程:
试比较2100与375的大小.
解:∵2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725,且16<27,∴2100<375.
请根据上述解题过程解答:比较255,344,433的大小.
解:∵255=(25)11=3211,344=(34)11=8111,433=(43)11=6411,且32<64<81,
∴255<433<344.
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14.1.3 积的乘方
1.积的乘方,等于把积的每一个因式 ,再把所得的幂 ,用式子表示:(ab)n=
(n为正整数).
2.积的乘方的逆用:anbn= (n为正整数).
分别乘方
相乘
anbn
(ab)n
积的乘方
[典例1]化简:
(1)(-ab)3;
(2)(x2y3)3;
(4)(2×103)2.
解:(1)(-ab)3=(-1)3·a3·b3=-a3b3.
(2)(x2y3)3=(x2)3 (y3)3=x6y9.
(4)(2×103)2=22×(103)2=4×106.
[变式1]计算:
(1)(-2a2b3)4+(-a)8·(2b4)3;
(2)[(x-y)3]m·[(y-x)·(x-y)m]5.
解:(1)(-2a2b3)4+(-a)8·(2b4)3
=16a8b12+a8·8b12
=(16+8)a8b12
=24a8b12.
(2)[(x-y)3]m·[(y-x)·(x-y)m]5
=-(x-y)3m·(x-y)5·(x-y)5m
=-(x-y)8m+5.
积的乘方的逆运算
[变式2]解关于x的方程:33x+1×53x+1=152x+4.
解:∵33x+1×53x+1=152x+4,
∴(3×5)3x+1=152x+4,
即153x+1=152x+4,
∴3x+1=2x+4,
解得x=3.
[典例3]已知2n=a,3n=b,12n=c,那么a,b,c之间满足的等量关系是( )
A.c=ab
B.c=ab2
C.c=a2b
D.c=a3b
C
积的乘方运算中的注意事项
(1)当指数相同的两个或多个幂相乘时,如果底数的积容易求出,可先利用anbn=(ab)n把底数相乘,再进行乘方运算,从而使运算简便;
(2)当底数中含有“-”时,应将“-”看作“-1”作为一个因式进行乘方,防止遗漏;
(3)在积的乘方运算中,底数可以是单项式,也可以是多项式;
(4)在进行积的乘方运算时,要把底数中的每个因式分别乘方,不要漏掉任何一项.
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14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1.把一个多项式化成几个整式的 的形式,这样的式子变形叫做多项式的因式分解,也叫做把这个多项式 .
2.一个多项式的各项都有一个 的因式,叫做这个多项式各项的公因式.
3.一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个 提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的 的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
积
分解因式
公共
公因式
乘积
因式分解的意义及公因式
[典例1]下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.2a2-2a+1=2a(a-1)+1
B.(x+y)(x-y)=x2-y2
C.x2-4x+4=(x-2)2
D.x2+y2=(x-y)2+2xy
[典例2]在多项式8a3b2-4a3bc中,各项的公因式是( )
A.4ab2 B.4a2b2
C.4a3bc D.4a3b
[变式1]多项式ax2-a与多项式ax2-2ax+a的公因式是 .
C
D
a(x-1)
运用提公因式法分解因式
[典例3]把(a-b)+m(b-a)提取公因式(a-b)后,另一个因式是( )
A.1-m B.1+m
C.m D.-m
[变式2]若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为 .
[典例4]分解因式:
(1)(a-3)2+(3-a);
A
-3
解:(1)原式=(3-a)2+(3-a)
=(3-a)(3-a+1)
=(3-a)(4-a).
解:(2)原式=(2m-n)(2m+3n-n)
=(2m-n)(2m+2n)
=2(2m-n)(m+n).
(2)(2m+3n)(2m-n)-n(2m-n).
提公因式的技巧
(1)如果多项式第一项的系数是负的,那么一般提出“-”,同时多项式中的各项都变号;
(2)如果多项式中某些项的系数为小数(或分数),那么一般要提取小数(或分数),使多项式的各项的系数为整数;当一个式子的公因式是多项式时,可以把该多项式看作一个整体,提取公因式时比较简便;
(4)因式分解的结果是否正确,可以用整式的乘法进行验证.
[典例5]求证:32 022-4×32 021+10×32 020一定能被7整除.
证明:32 022-4×32 021+10×32 020
=32 020×(32-4×3+10)=32 020×7,
∴32 022-4×32 021+10×32 020一定能被7整除.
巧用平方差公式化简求值
求一个代数式的值时,先根据平方差公式进行化简,再代入求值.
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14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式的乘法
1.单项式与单项式相乘,把它们的 、 分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的 作为积的一个因式.
2.单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的 ,再把所得的积 .
系数
同底数幂
指数
每一项
相加
单项式与单项式相乘
[典例1]计算:
解:(2)(0.3x3y4)2·(-0.2x4y3)2
=0.09x6y8·0.04x8y6
=(0.09×0.04)x6+8y8+6
=0.003 6x14y14.
(2)(0.3x3y4)2·(-0.2x4y3)2;
[典例2]若(-5am+1b2n-1)·(2anbm)=-10a4b4,则m-n的值为 .
[变式1]已知a3m=3,b3n=2,求(a2m)3+(bn)3-a2mbn·a4mb2n的值.
-1
解:(a2m)3+(bn)3-a2mbn·a4mb2n
=(a3m)2+b3n-a6mb3n
=(a3m)2+b3n-(a3m)2b3n,
当a3m=3,b3n=2时,
原式=32+2-32×2
=9+2-9×2
=11-18
=-7.
单项式与多项式相乘
[典例3]计算:
(1)a2(a-1)+2a(a2-2a+3);
(2)x2(x2-x+1)-x(x3-x2-1).
解:(1)a2(a-1)+2a(a2-2a+3)
=a2·a-a2·1+2a·a2-2a·2a+2a·3
=a3-a2+2a3-4a2+6a
=3a3-5a2+6a.
(2)x2(x2-x+1)-x(x3-x2-1)
=x2·x2-x2·x+x2·1-x·x3+x·x2+x·1
=x4-x3+x2-x4+x3+x
=x2+x.
单项式乘多项式的步骤
第一步:用单项式乘多项式的每一项,注意符号的变化;
第二步:把所得的积合并同类项,得到最简结果.
[典例4]若ab2=-6,则-ab(a2b5-ab3-b)的值为 .
[变式2]先化简,再求值:
(1)y2(y2+9y-12)-3(3y3-4y2),其中y=-3;
解:(1)y2(y2+9y-12)-3(3y3-4y2)
=y2·y2+y2·9y-y2·12-3·3y3+3·4y2
=y4+9y3-12y2-9y3+12y2
=y4,
把y=-3代入,得原式=(-3)4=81.
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第2课时 运用完全平方公式
1.我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
2.两个数的平方和 这两个数的积的 倍,等于这两个数的 的
平方.
3.如果把乘法公式的等号两边 ,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
加上(或减去)
2
和(或差)
互换位置
完全平方式
[典例1]如果多项式x2+mx+16是一个完全平方式,那么m的值为( )
A.8 B.10
C.8或-8 D.-8
[变式1]若x2+8x-m可以写成一个多项式的平方的形式,则m= .
C
-16
运用完全平方公式分解因式
[典例2]下列分解因式正确的是( )
A.4x3-x=x(4x+1)(4x-1)
B.-x2+xy+x=-x(x-y+1)
C.x3+2x2+x=x(x+1)2
D.x2-3x+9=(x+3)(x-3)
[典例3]分解因式:
(1)a2-2a(b+c)+(b+c)2;
解:(1)a2-2a(b+c)+(b+c)2
=[a-(b+c)]2
=(a-b-c)2.
C
解:(2)(x2+4)2-16x2
=(x2+4+4x)(x2+4-4x)
=(x+2)2(x-2)2.
(2)(x2+4)2-16x2.
运用完全平方公式分解因式的一般步骤
第一步:观察多项式特点,确定a,b;
第二步:把多项式写成a2±2ab+b2的形式;
第三步:因式分解成(a±b)2的形式;
第四步:因式分解结果能化简的要化简.
[典例4]把下列多项式分解因式:
(1)3a2-6ab+3b2;
提公因式后用完全平方公式分解因式
解:(1)3a2-6ab+3b2
=3(a2-2ab+b2)
=3(a-b)2.
[变式2]已知xy=2,x-3y=3,则2x3y-12x2y2+18xy3= .
36
[典例5]下列各式中,能用公式法分解因式的有( )
①-x2-y2;②-a2b2+1;③a2+ab+b2;④-x2+2x-y2;⑤-mn+m2n2.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
A
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14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
两个数的和(或差)的平方,等于它们的 ,加上(或减去)它们的 ,用式子表
示:(a+b)2= ;(a-b)2= ,这两个公式叫做完全平方公式.
平方和
积的2倍
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
运用完全平方公式计算
[典例1]计算:
(1)(x+4)(x-4)-(x-4)2;
解:(1)(x+4)(x-4)-(x-4)2
=x2-16-(x2-8x+16)
=x2-16-x2+8x-16
=8x-32.
(2)(2x+1)2-4(x+2)(x-2);
(3)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2).
解:(2)(2x+1)2-4(x+2)(x-2)
=(4x2+4x+1)-4(x2-4)
=4x2+4x+1-4x2+16
=4x+17.
(3)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)
=(x2-4y2)(x2-4y2)
=(x2-4y2)2
=x4-8x2y2+16y4.
[典例2]如图所示,能根据图形中的面积说明的乘法公式是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
B
[变式1]嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与矩形纸片若干张.
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形(如图②所示),根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式,这个乘法公式是 ;
(2)如果要拼成一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方形,那么需要3号纸片 张.
① ②
(a+b)2=a2+2ab+b2
3
运用完全平方公式计算的方法
(1)当所给二项式中两项的符号相同时,一般选用“和”的完全平方公式;
(2)当二项式中两项的符号相反时,一般选用“差”的完全平方公式.
完全平方公式的灵活运用
[典例3]若x-y=8,xy=10,求x2+y2的值.
解:将x-y=8两边平方,得
(x-y)2=x2-2xy+y2=64.
将xy=10代入,得x2-20+y2=64,
∴x2+y2=84.
解:(m+n)2=m2+n2+2mn=169,①
(m-n)2=m2+n2-2mn=9.②
(1)由①+②,得2(m2+n2)=178,
∴m2+n2=89.
[变式2]已知m,n满足(m+n)2=169,(m-n)2=9.
(1)求m2+n2的值;
(2)求mn的值.
忽略完全平方式中间积的2倍的符号是“±”而出错.
(2)由①-②,得4mn=160,
∴mn=40.
[典例4]如果x2+2ax+9是一个完全平方式,那么a的值是( )
A.3 B.-3
C.3或-3 D.9或-9
C
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第2课时 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ,再把所得的积
.
每一项
相加
多项式乘多项式
[典例1]若2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项,则m的值为( )
A.-6 B.-2 C.0 D.3
A
根据多项式乘多项式求字母的值的方法
当多项式的乘积中不含某一项时,说明将多项式的乘积化简合并后该项的系数为0,可以根据这个列出方程求解.
解:(x+3)(6x+2)-6x(x+4)+
4(x+1)
=6x2+2x+18x+6-6x2-24x+4x+4
=10.
故代数式的值与x无关.
[变式1]试说明:代数式(x+3)(6x+2)-6x(x+4)+4(x+1)的值与x无关.
整式乘法的应用
[典例2]某种植基地有一块长方形和一块正方形试验田,长方形试验田每排种植(3a-b)株豌豆幼苗,种植了(3a+b)排,正方形试验田每排种植(a+b)株豌豆幼苗,种植了(a+b)排,其中a>b>0.
(1)长方形试验田比正方形试验田多种植豌豆幼苗多少株
解:(1)由题意得(3a-b)(3a+b)-(a+b)2
=9a2-b2-a2-2ab-b2
=8a2-2ab-2b2.
答:长方形试验田比正方形试验田多种植豌豆幼苗(8a2-2ab-2b2)株.
(2)当a=4,b=3时,该种植基地这两块试验田一共种植了多少株豌豆幼苗
解:(2)由题意得(3a-b)(3a+b)+(a+b)2
=9a2-b2+a2+2ab+b2
=10a2+2ab,
当a=4,b=3时,
原式=10×42+2×4×3
=160+24
=184.
答:该种植基地这两块试验田一共种植了184株豌豆幼苗.
公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的应用
[典例3]计算(x+1)(x-2)-x2的结果是( )
A.-2 B.-x-2
C.x-1 D.x-2
[变式2]在计算(x+a)(x+b)时,甲把b错看成了6,得到结果是x2+8x+12.求a的值.
解:∵(x+a)(x+6)
=x2+6x+ax+6a
=x2+(6+a)x+6a,
∴6+a=8,6a=12,
∴a=2.
B
公式的特点
(1)相乘的两个因式都只含有一个相同的字母,都是一次二项式,并且一次项系数都是1;
(2)积是二次三项式,二次项的系数是1,一次项的系数等于两个因式中常数项之和,常数项等于两个因式中常数项之积.
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第4课时 整式的除法
1.单项式相除,把 与 分别 作为商的因式,对于只在 里含有的字母,则连同它的 作为商的一个因式.
2.多项式除以单项式,先把这个多项式的 除以这个单项式,再把所得的商
.
系数
同底数幂
相除
被除式
指数
每一项
相加
单项式除以单项式
[典例1]下列运算正确的是( )
A.a6÷a2=a3
B.(-a)4÷(-a2)=a2
C.a3m÷a3=am
D.(-a2)2÷a=a3
[变式1]下列各式中,计算正确的有( )
①(-2a2b3)÷(-2ab)=a2b3;②(-2a2b3)÷(-2ab2)=a2b2;③2ab2c÷ab2=4c;④a2b3c2÷(-5abc)2=b.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
B
[典例2]计算:
(1)(3a2b3)·(-2ab4)÷(6a2b3);
(2)a2·a4-6a8÷2a2+(-3a3)2.
解:(1) (3a2b3)·(-2ab4)÷(6a2b3)
=-6a3b7÷(6a2b3)
=-ab4.
(2)a2·a4-6a8÷2a2+(-3a3)2
=a6-3a6+9a6
=7a6.
单项式除以单项式的步骤
(1)把系数相除,所得结果作为商的系数;
(2)把同底数幂分别相除,所得结果作为商的因式.
多项式除以单项式
[典例3]已知A=2x,B是多项式,在计算B+A时,小马同学把B+A看成了B÷A,结果得x2+x,则B+A=
.
[变式2]小明在进行两个多项式的乘法运算时,不小心把乘(x-2y)错抄成除以(x-2y),结果得到3x.如果小明没有抄错题目,并且计算依然正确,那么得到的结果应该是什么
解:3x(x-2y)=3x2-6xy,
(3x2-6xy)(x-2y)
=3x3-6x2y-6x2y+12xy2
=3x3-12x2y+12xy2.
故得到的结果应该是3x3-12x2y+12xy2.
2x3+2x2+2x
[典例4]教室的黑板是一个长方形,它的面积为6a2-9ab+3a,已知这个黑板的长为3a,求这个黑板的周长.
解:根据题意,宽为(6a2-9ab+3a)÷3a=2a-3b+1,
∴这个黑板的周长为2(3a+2a-3b+1)=10a-6b+2.
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第2课时 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 ;如果括号前面是负号,括到括号里的各项 .
都不变符号
都改变符号
添括号法则
[典例1]不改变式子a2-(2a+b+c)的值,把它括号前面的符号变为相反的符号,应为( )
A.a2+(-2a+b+c)
B.a2+(-2a-b-c)
C.a2+(-2a)+b+c
D.a2-(-2a-b-c)
[典例2]已知a-b=3,c+d=2,则(a-d)-2(b-c)+(b+3d)的值为( )
A.7 B.5 C.1 D.-5
B
A
添括号后利用乘法公式计算
[典例3]计算:
(1)(a+2b-c)2;
解:(1)原式=[(a+2b)-c]2
=(a+2b)2-2·(a+2b)·c+c2
=a2+4ab+4b2-2ac-4bc+c2
=a2+4b2+c2+4ab-2ac-4bc.
(2)(a+2b-c)(a-2b-c);
(3)(a+2b+c)(a+2b-c)-(a+b-c)(a-b+c).
解:(2)原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]
=(a-c)2-4b2
=a2-2ac+c2-4b2.
(3)原式=(a+2b)2-c2-a2+(b-c)2
=a2+4ab+4b2-c2-a2+b2-2bc+c2
=4ab+5b2-2bc.
[典例4]已知x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.
(1)求xy的值;
(2)求x3y+2x2y2+xy3的值.
解:(1)∵(x+2)(y+2)=12,
∴xy+2(x+y)+4=12.
∵x+y=3,
∴xy+6+4=12,
∴xy=2.
(2)原式=xy(x2+2xy+y2)
=xy(x+y)2
=2×32
=18.
解:a2+b2-4a-6b+13=0,
a2-4a+4+b2-6b+9=0,
(a-2)2+(b-3)2=0,
则(a-2)2=0,(b-3)2=0,
解得a=2,b=3.
由三角形三边关系得
3-2[变式]已知a,b,c是△ABC的三边长,且有a2+b2-4a-6b+13=0,试求c的取值范围.
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