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15.2.3 整数指数幂
第1课时 整数指数幂
1.任何不等于 的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数n次幂的倒数,即a-n= (a≠0,
n为正整数).
2.am·an= (m,n是整数).
3.(am)n= (m,n是整数).
4.(ab)n= (n是整数).
0
am+n
amn
anbn
负整数指数幂
C
B
-3
零指数幂、负整数指数幂巧计算
(1)遇到零指数幂,关键看底数是否为零,若底数不为零,则无论底数是何值,其结果都是1,不必再考虑计算底数的最简结果;
(2)若负整数指数幂的底数是分数,将负整数指数幂转化为正整数指数幂时,把底数的分子与分母的位置颠倒即可.
整数指数幂的运算
[典例3]若实数a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,求a2-b2+(cd)-1÷(1-2m+m2)
的值.
负整数指数幂的计算方法
(1)利用负整数指数幂的意义,首先把负整数指数幂转化为正整数指数幂,然后用分式的乘除法法则计算;
(2)先直接运用整数指数幂的性质计算到最后一步,再写成正整数指数幂的形式.
对负整数指数幂的计算不理解导致错误.
C
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第2课时 科学记数法
小于1的正数可以用科学记数法表示为 (1≤a<10)的形式,n是正整数.
a×10-n
科学记数法的表示方法
[典例1]1 nm=0.000 000 001 m,则7 nm用科学记数法表示为( )
A.7×10-9 m B.0.7×10-9 m
C.0.7×10-8 m D.7×10-8 m
[变式1]0.000 000 12用科学记数法表示为 .
A
1.2×10-7
用科学记数法表示数的方法
(1)底数a的确定方法:整数部分只保留一位;
(2)指数n的确定方法:n等于原数从左起第一个非0数字前面零的个数(包括小数点前面的0).
科学记数法的应用
[典例2]2022年中国举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会,冬奥会火炬外壳采用了重量轻、耐高温的碳纤维及其复合材料制造而成,具有“轻、固、美”的特点.已知某种成型的碳纤维直径约6微米(1微米=10-6米),这种碳纤维的横截面的面积约为 平方米.(π≈3.14,结果用科学记数法表示)
2.826×10-11
[变式2]某银行去年新增加居民存款10亿元人民币.(结果用科学记数法表示)
(1)经测量,100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米,如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来,大约有多高
解:(1)10亿=1 000 000 000=109,
∴10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为109÷100=107(张),
107÷100×0.9=9×104(厘米).
∴大约有9×104厘米高.
(2)一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时,按每天点钞5小时计算,如果让点钞机点一遍
10亿元面值为100元的新版人民币,点钞机大约要点多少天
解:(2)107÷(5×8×104)
=(1÷40)×(107÷104)
=0.025×103
=25=2.5×10(天).
∴点钞机大约要点2.5×10天.
[典例3]世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂,体长仅0.021厘米,其质量也只有0.000 005克.
(1)用科学记数法表示上述两个数据;
(2)一个鸡蛋的质量大约是50克,多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等
解:(1)0.021厘米用科学记数法表示为
2.1×10-2厘米,
0.000 005克用科学记数法表示为5×10-6克.
(2)设x只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等,根据题意,得0.000 005x=50,
解得x=10 000 000=1×107.
答:1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等.
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第2课时 分式方程的应用
列分式方程解实际应用题的步骤
(1)审:审清题意,找出 ;
(2)设:设 ;
(3)列:根据 列分式方程;
(4)解:解 ;
(5)验:检验所求得的解是否为分式方程的解,并检验分式方程的解是否符合 ;
(6)答:写出所得答案.
等量关系
未知数
等量关系
分式方程
实际意义
列方程解决工程问题
[典例1]某市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测,结果甲厂有48件合格产品,乙厂有45件合格产品,甲厂产品的合格率比乙厂高5%,则甲厂产品的合格率为 .
[变式1]某服装加工厂计划加工5 000套运动服,在加工完2 000套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高20%,结果共用了15天完成全部任务,求原计划每天加工多少套运动服.
80%
列方程解决行程问题
[典例2]甲、乙两地相距360千米,一辆汽车计划从甲地开往乙地,但由于任务紧急,现行驶速度为原计划速度的1.5倍,可提前3小时到达,求汽车原计划的速度.
列方程解决行程问题
[典例3]某商场用4 000元购进一批“84”消毒液后,供不应求,商场又用6 750元购进第二批这种消毒液,所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍,但每瓶单价贵了1元,则该商场第一批购进“84”消毒液每瓶的单价为 元
8
[变式2]2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们的喜欢,为了抓住商机,某商店决定购进A,B两种“冰墩墩”纪念品进行销售.已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元,用1 000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同.A,B两种纪念品每件的进价分别是多少元
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15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
积
积
颠倒位置
相乘
乘方
分式的乘除
1
分式的乘方
分式的乘除、乘方混合运算
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15.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以) ,分式的值 .
同一个不等于0的整式
不变
分式的基本性质
C
C
1
分式基本性质的注意事项
(1)运用分式的基本性质将分式变形时,要注意限制条件——乘或除以同一个不为0的数,同时要注意隐含条件——分母不等于0;
(2)当分式的分子、分母是多项式时,不要把分子或分母的第一项的符号误认为是分子或分母的符号.
分式基本性质的应用
分式基本性质的应用注意事项
分式的基本性质是分式变形的理论依据,运用分式的基本性质进行的变形是恒等变形,即只是改变了分式的形式,不改变分式的值.
分式前面的符号变换时出错.
C
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15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
整式
字母
B≠0
B=0
A=0
分式的概念
A
分式有(无)意义的条件
D
1
C
分式的值为零的条件
根据分式的值为0求字母的值的方法
若分式的值为0,要先求出使分子的值为0的字母的值,再检验该字母的值是否使分母的值
为0,当它使分母的值不为0时,就是所求字母的值.注意使分母的值为0的值必须舍去.
因忽视分母不等于0而出错.
D
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第2课时 约分与通分
1.根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的 约去,叫做分式的约分.
2.分子与分母 的分式,叫做最简分式.
3.根据分式的基本性质,把几个 的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式,叫做分式的通分.
4.为通分,要先确定各分式的 ,一般取各分母的 的 次幂的
作公分母,它叫做最简公分母.
公因式
没有公因式
异分母
同分母
公分母
所有因式
最高
积
约分
D
①④
分式约分的思路
(1)分子、分母都是单项式,先确定分子、分母的公因式,再约分;
(2)分子或分母中有多项式,先分解因式,再确定公因式,最后约分.
通分
A
确定最简公分母的方法
(1)取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
(2)取各个分母因式的最高次幂作为最简公分母的因式;
(3)如果分母是多项式,那么应先把每个分母分解因式.
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15.2.2 分式的加减
不变
相加减
通分
同分母
加减
乘方
乘除
加减
分式的加减
(1)异分母分式加减运算的关键是通分,从而转化成同分母分式相加减,再根据同分母分式加减法的法则进行计算,通分时要注意最简公分母的确定;
(2)分式与整式相加减时,可把整式看作分母是“1”的分式,然后按异分母分式的加减法法则进行计算.
分式的混合运算
分式混合运算的顺序
分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式.
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15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
1. 中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,一般步骤是:
①去分母,即方程两边同乘最简公分母;
②解整式方程;
③检验,将整式方程的解代入 ,如果最简公分母的值不为 ,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解.
分母
最简公分母
0
分式方程的概念及解法
C
判断分式方程的方法
判断一个式子是否为分式方程时,不能对式子进行约分、通分变形,更不能利用等式的性质进行变形.
检验分式方程的解的方法
(1)直接检验法:将求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解,而且能检验求得的解是否正确.
(2)公分母检验法:把求得的解代入最简公分母中进行检验,若最简公分母为0,则不是原分式方程的解;若最简公分母不为0,则是原分式方程的解.公分母检验法比较简单.
-2
分式方程无解及其应用
-2
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