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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
三角形的高、中线与角平分线
1.(易错题)在下列△ABC中,正确画出AC边上的高的图形是( )
D
A B C D
2.下列说法正确的是( )
A.三角形的角平分线是射线
B.过三角形的顶点,且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C.三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
D.锐角三角形的三条高交于一点
3.如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,如果DE=3 cm,那么EC= cm.
D
9
4.对下面每个三角形,过顶点A画出其中线、角平分线和高.
解:分别用刻度尺、量角器、三角板等画出即可.如图所示,AE为中线,AF为角平分线,AD 为高.
三角形的稳定性
5.在日常生活中,有很多东西都会用到几何图形的特殊性质,在下列图形中,具有稳定性的是( )
C
A B C D
6.如图所示,王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形,他至少要再钉上木条的根数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
B
7.工人师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示的那样钉上两条斜拉的木条(即图中的AB,CD),这样做的依据是 .
三角形的稳定性
8.如图所示,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E.F为AB上的一点,且CF⊥ AD于点H.下列判断正确的是( )
A.线段AD是△ABE的角平分线
B.线段CH是△ACD的边AD上的高
C.线段BE是△ABD的边AD上的中线
D.线段AH是△ABC的角平分线
9. 如果线段AM和线段AN分别是△ABC的边BC上的中线和高,那么下列判断正确的是( )
A.AM>AN B.AM≥AN
C.AM
B
B
10.下面图中具有稳定性的是 .(填序号)
11.如图所示,在△ABC中,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,AB=3,AC=4,DF= 1.5,则DE= .
①④⑥
2
12.如图所示,已知BE=CE,ED为△EBC的中线,BD=8,△AEC的周长为24,则△ABC的周长为
.
40
14.△ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长度也为整数,求第三条高的长度.
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11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
11.3.2 多边形的内角和
多边形的有关概念
1.如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.下列图形为正多边形的是( )
D
A B C D
3.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引3条对角线,则它是( )
A.四边形 B.五边形
C.六边形 D.七边形
C
4.从四边形的一个顶点出发,可作1条对角线,把四边形分成2个三角形,共有2条对角线;从五边形的一个顶点出发,可作2条对角线,把五边形分成3个三角形,共有5条对角线.那你能猜想一下n边形的吗
多边形的内角和与外角和
5.一个五边形的内角和为( )
A.540° B.450° C.360° D.180°
6.一个正方形水池的四周恰好被4个完全相同的正n边形地砖铺满,其部分示意图如图所示,则n的值为( )
A.6
B.8
C.10
D.12
7.若正多边形的每一个内角均为135°,则这个正多边形的边数是 .
8.小明从点A出发,前进50 m后向右转40°,再前进50 m后又向右转40°,按照这样的方式一直走下去,当他第一次回到出发点A时,共走了 m.
A
B
8
450S
9.一个多边形,它的内角和比外角和的4倍多180°,求这个多边形的边数及内角和.
解:设这个多边形的边数是n,
根据题意,得(n-2)×180°=360°×4+180°,解得n=11,
∴(n-2)×180°=1 620°,
即这个多边形的边数是11,内角和是1 620°.
10.如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB,∠CBA的平分线交于点E,若∠AEB=105°,求∠C+∠D的度数.
解:∵∠DAB,∠CBA的平分线交于点E,
∴∠DAB=2∠EAB,∠CBA=2∠EBA.
在△EAB中,∠EAB+∠EBA=180°-∠AEB=180°-105°=75°,
∴∠DAB+∠CBA=2(∠EAB+∠EBA)=2×75°=150°,
∴∠C+∠D=360°-(∠DAB+∠CBA)=360°-150°=210°.
11.(2022烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是
( )
A.正方形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十边形
12.如图所示,在五边形ABCDE中,AB∥CD,则图中x的值是( )
A.75 B.65
C.60 D.55
C
A
13.如图所示,在六边形ABCDEF中,∠A,∠B,∠C,∠D的外角都相等,即∠1=∠2=∠3=∠4= 62°,分别作∠DEF和∠EFA的平分线交于点P,则∠P的度数是( )
A.55° B.56°
C.57° D.60°
14.将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )
A.360° B.540°
C.720° D.730°
B
D
15.如图所示,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠C=110°,它的一个外角∠ADE=60°,则∠B的大小是 .
16.如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是
.
40°
540°或360°或180°
17.如图所示,将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后,得到∠1+∠2+∠3+∠4+ ∠5=460°.求:
(1)六边形ABCDEF的内角和;
(2)∠BGD的度数.
解:(1)六边形ABCDEF的内角和为
180°×(6-2)=720°.
(2)∵六边形ABCDEF的内角和为720°,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°,
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°-460°=260°,
∴∠BGD=360°-(∠GBC+∠C+∠CDG)=100°,
即∠BGD的度数是100°.
18.看对话答题:小梅说:“这个多边形的内角和等于1 125°.”小红说:“不对,你少加了一个角.”问题:
(1)她们在求几边形的内角和
(2)少加的那个内角是多少度
解:(1)设少加的这个内角为x°,这个多边形的边数为n,
则1 125+x=(n-2)×180,∴x=(n-2)×180-1 125.
∵0∵n为整数,∴n=9.
(2)由(1)知x=(9-2)×180-1 125=135,
∴少加的那个内角是135°.
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11.2.2 三角形的外角
三角形的外角及外角的性质
1.如图所示,∠1、∠2、∠3中是△ABC外角的是( )
A.∠1、∠2 B.∠2、∠3
C.∠1、∠3 D.∠1、∠2、∠3
C
2. 如图所示,在△ABC中,若∠A=85°,∠B=38°,则∠ACD的度数为( )
A.67° B.95°
C.123° D.142°
3.如图所示,直线AB∥CD,连接BC,点E是BC上一点,∠A=15°,∠C=27°,则∠AEC的度数为
( )
A.27° B.42°
C.45° D.70°
C
B
120
5.如图所示,BC∥DF,∠B=45°,∠A=25°,求∠D的度数.
解:∵∠A=25°,∠B=45°,
∴∠AEC=∠A+∠B=70°.
又∵BC∥DF,∴∠D=∠AEC=70°.
三角形外角性质的应用
6.如图所示,一艘轮船按箭头所示方向行驶,C处有一灯塔,当轮船从A点行驶到B点时, ∠ACB= .
40°
7.一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠C应分别是21°和32°,现测得∠BDC=148°,你认为这个零件合格吗 为什么
解:不合格.理由如下:
假设该零件合格.
如图所示,延长CD与AB相交于点F.
∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°,
∴∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°.
但实际测得∠BDC=148°,
∴这个零件不合格.
8.如图所示,∠1,∠2,∠3,∠4的关系为( )
A.∠1+∠2=∠4-∠3
B.∠1+∠2=∠3+∠4
C.∠1-∠2=∠4-∠3
D.∠1-∠2=∠3-∠4
9.将一副三角板按如图所示的位置放在直尺上,则∠1的度数是( )
A.115° B.105°
C.110° D.95°
A
B
10.如图所示,已知∠A=80°,∠B=20°,∠C=40°,则∠BOC等于( )
A.95° B.120°
C.135° D.140°
11.如图所示,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,则∠BDE=
°.
D
15
12.如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
13.如图所示是可调躺椅示意图(数据如图所示),AE与BD的交点为点C,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=140°,则图中∠D应 (填“增加”或“减少”) 度.
360°
增加
20
14.如图所示,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=35°,∠E=25°,求∠CAE的度数;
(1)解:∵∠DCE是△BCE的外角,∠B=35°,∠E=25°,
∴∠DCE=∠B+∠E=60°.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE=60°,
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.
(2)证明:∠BAC=∠B+2∠E.
(2)证明:∵∠DCE是△BCE的外角,
∠BAC是△ACE的外角,
∴∠DCE=∠B+∠E,
∠BAC=∠E+∠ACE.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE,
∴∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E.
15.(1)小明和小亮在研究一个数学问题:已知AB∥CD,AB和CD都不经过点P,探索∠P与∠A,∠C的数量关系.
发现:在图①中,小明和小亮都发现:∠APC=∠A+∠C.
应用:在图②中,若∠A=120°,∠C=140°,则∠P的度数为 ;
在图③中,若∠A=30°,∠C=70°,则∠P的度数为 .
解:(1)如图①所示,过点P作PE∥AB.
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PE,∴∠APE+∠A=180°,∠C+∠CPE=180°.
∵∠A=120°,∠C=140°,∴∠APE=60°,∠CPE=40°,∴∠APC=∠APE+∠CPE=100°.
如图②所示,∵AB∥CD,∠C=70°,∴∠BEP=∠C=70°.
∵∠BEP是△APE的外角,∠A=30°,∴∠BEP=∠A+∠P,
∴∠P=∠BEP-∠A=40°.故答案为100°,40°.
①
②
③
②
①
(2)拓展:在图④中,探索∠P与∠A,∠C的数量关系,并说明理由.
解:(2)∠A=∠C+∠P.理由如下:如图③所示,
延长BA交PC于点E.
∵AB∥CD,∴∠BEP=∠C.
∵∠BAP是△APE的外角,
∴∠BAP=∠BEP+∠P,
∴∠BAP=∠C+∠P.
④
③
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11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
三角形内角和定理及应用
1.已知三角形三个内角的度数如图所示,则图中x的值为( )
A.25 B.30
C.35 D.40
B
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=40°,则∠B的度数为( )
A.40° B.60°
C.30° D.50°
3.如图所示,点B是△ADC的边AD的延长线上一点,DE平分∠CDB,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠A的度数等于( )
A.70° B.100°
C.110° D.120°
D
A
4.若在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为 .
5.如图所示,△ABC被撕去了一角,经测量得∠A=68°,∠B=21°,则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
40°
钝角
6.已知在△ABC中,∠B=∠A+10°,∠C=∠A+20°,求三角形各个内角的度数.
解:∵∠B=∠A+10°,∠C=∠A+20°,
∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°,
∴∠A=50°,
∴∠B=∠A+10°=60°,∠C=∠A+20°=70°,
∴三角形各个内角的度数分别为50°,60°,70°.
直角三角形的性质和判定
7.已知在△ABC中,∠A=∠B+∠C,则此三角形是( )
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.直角三角形
8.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个直角三角形中较小锐角的度数是( )
A.9° B.18°
C.27° D.36°
9.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∠CAD=35°,则∠B= .
D
B
35°
10.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC,若∠ADE=155°,求∠B的度数.
解:∵∠ADE=155°,∠ADE+∠CDE=180°,
∴∠CDE=25°.
∵DE∥BC,∴∠C=∠CDE=25°.
∵在△ABC中,∠A=90°,
∴∠B+∠C=90°,
∴∠B=90°-25°=65°.
11.如图所示,AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,若∠B=30°,∠C=50°,则∠DAE的度数为( )
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
12.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,沿CD折叠,使点A落在边BC上的点E处,若∠B=26°,则∠CDE的度数为( )
A.52° B.71°
C.72° D.81°
A
B
13.如图所示,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤气管道,为了不影响管道,准备在B和C处开工挖出“V”字形通道,如果∠DBA=120°,∠ECA=125°,则∠A的度数是
( )
A.65° B.80°
C.85° D.90°
14.如图所示,在△ABC中,∠BAC=50°,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC=
.
A
115°
15.如图所示,B处在A处的南偏西40°方向,C处在A处的南偏东10°方向,C处在B处的北偏东85°方向,求∠ABC和∠ACB的度数.
解:由题意,得DB∥AE,∠BAE=40°,∠CAE=10°,∠DBC=85°,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°.
∵DB∥AE,∴∠DBA=∠BAE=40°,
∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°,
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=85°,
∴∠ABC和∠ACB的度数分别为45°和85°.
16.如图所示,已知线段AD,BC相交于点O,∠B=32°,∠D=38°.
(1)如图①所示,若∠A=60°,求∠AOB和∠C的大小;
解:(1)∵∠B=32°,∠A=60°,
∴∠AOB=180°-32°-60°=88°.
∵∠A+∠B=∠C+∠D,
∴∠C=∠A+∠B-∠D=60°+32°-38°=54°.
(2)如图②所示,若∠BAO,∠DCO的平分线AM, CM相交于点M,求∠M的大小;
(3)若改变条件,设∠B=α,∠D=β,试用含α,β的代数式表示∠M的大小.
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第十一章 章末复习
与三角形有关的线段
1.(2022衢州)线段a,b,c首尾顺次相接组成三角形,若a=1,b=3,则c的长度可以是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(2021南京)下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是( )
A.1,1,1 B.1,1,8
C.1,2,2 D.2,2,2
3.(2021淮安)一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数,则第三边的长是 .
4.(2021大庆)三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为 .
A
D
4
-3与三角形有关的角
5.(2022贺州)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为( )
A.34°
B.44°
C.124°
D.134°
6.(2022岳阳)如图所示,已知l∥AB,CD⊥l于点D,若∠C=40°,则∠1的度数是( )
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A
C
7.(2021本溪)一副三角板如图所示摆放,若∠1=80°,则∠2的度数是( )
A.80° B.95°
C.100° D.110°
8.(2021宿迁)如图所示,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB交BC于点E,则∠BDE的度数是( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
B
B
9.(2021常州)如图所示,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,∠B=40°,∠C=60°.若DE∥AB,则∠AED= °.
10.(2022哈尔滨)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数是
.
100
80°或40°
11.(2022北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
证明:方法一:∵DE∥BC,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE.
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°,
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
方法二:∵CD∥AB,
∴∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°,
∴∠B+∠ACB+∠A=180°.
多边形及其内角和
12.(2022湘西)一个正六边形的内角和的度数为( )
A.1 080° B.720°
C.540° D.360°
13.(2022怀化)一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是( )
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
14.(2022河北)如图所示,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是( )
A.α-β=0 B.α-β<0
C.α-β>0 D.无法比较α与β的大小
B
A
A
15.(2021扬州)如图所示,点A,B,C,D,E在同一平面内,连接AB,BC,CD,DE,EA.若∠BCD=100°,则∠A+∠B+∠D+∠E等于( )
A.220° B.240°
C.260° D.280°
16.(2022攀枝花)同学们在探索“多边形的内角和”时,利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n-2)·180°”计算的条件下,利用“一个三角形的内角和等于180°”,结合图形说明:五边形ABCDE的内角和为 .
D
540°
17.(2022株洲)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO= 度.
48
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第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
三角形的有关概念及分类
1.观察下列图形,其中是三角形的是( )
B
A B C D
2.有下列说法:
①等边三角形是等腰三角形;
②等腰三角形也可能是直角三角形;
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图所示,一个三角形只剩下一个角,则这个三角形为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
C
D
4.如图所示,以CD为公共边的三角形是 ;∠EFB是 的内角;在△BCE中,BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;以∠A为公共角的三角形有
.
△CDF,△CBD
△BEF
∠BCE
CE
△ABC,△ABD,△ACE
5.如图所示,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.
(1)以AB为边画三角形,能画几个 写出各三角形的名称.
(2)分别指出(1)中所画三角形中的等腰三角形和钝角三角形.
解:(1)如图所示,以AB为边的三角形能画3个,有△EAB,△DAB,△CAB.
(2)△ABD是等腰三角形,△EAB,△CAB是钝角三角形.
三角形的三边关系
6.(2022淮安)下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A.3,3,6 B.3,5,10
C.4,6,9 D.4,5,9
7.(2022德阳)某学校九年级(2)班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5 km和
3 km.那么杨冲,李锐两家的直线距离不可能是( )
A.1 km B.2 km
C.3 km D.8 km
8.三角形的两边长分别为2 cm和7 cm,最长边长为a cm,则a的取值范围为 .
9.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有 种.
10.若一个三角形的两边长分别是4和2,且第三边长是偶数,则第三边长为 .
C
A
73
4
11.(易错题)已知a,b,c是△ABC的三边,a=4,b=6,若三角形的周长是小于18的偶数.
(1)求c的值;
(2)判断△ABC的形状.
解:(1)∵a,b,c是△ABC的三边,a=4,b=6,∴2∵三角形的周长是小于18的偶数,
∴2(2)当c=4或c=6时,△ABC都是等腰三角形.
12.已知n是正整数,若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n,则满足条件的n的值有( )
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
13.如图①所示,将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形,其中左、右两侧长方形的宽相等,若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
14.长度分别为8,6,6,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为 .
D
B
10
15.把一条长为18 cm的细绳围成一个三角形,其中两段长分别为x cm和4 cm.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.
解:(1)该三角形的周长是18 cm,其中两边长分别为x cm和4 cm.
则第三边长为18-4-x=14-x.故14-x-4(2)当等腰三角形的底为x cm时,x+4+4=18,解得x=10,
而10不在5当等腰三角形的底为4 cm时,x=14-x,解得x=7,符合题意.
当等腰三角形的底为(14-x)cm时,x=4,
而4不在5故若围成的三角形是等腰三角形,则x=7.
16.(1)如图①所示,图中共有三角形 个;
如图②所示,若增加一条线,则图中共有三角形 个;
(2)如图③所示,若增加到10条线,请你求出图中三角形的个数.
① ② ③
解:(1)10 24
(2)∵增加0条线时,三角形的个数为10个,
增加1条线时,三角形的个数为24个,24=2×10+4,
增加2条线时,三角形的个数为42个,42=3×10+4×(1+2),…,
∴增加10条线时,三角形的个数为11×10+4×(1+2+…+10)=330(个).
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