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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
11.1.3 三角形的稳定性
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画 ,顶点和垂足之间的 叫做这个三角形的高.
2.连接三角形的一个顶点和它的对边的 的线段,叫做这个三角形的中线;三角形的三条中线的交点叫做三角形的 .
3.三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的 之间的线段叫做这个三角形的角平分线;三角形的三条角平分线的交点在三角形的 .
4.三角形具有 .
垂线
线段
中点
重心
顶点和对边交点
内部
稳定性
三角形的高、中线与角平分线
[典例1]如图所示,AE⊥BC交BC的延长线于E,BF⊥AC交AC的延长线于F,CD⊥AB于D,则△ABC中AC边上的高是垂线段( )
A.BF B.CD
C.AE D.AF
[变式1]如图所示,AD⊥BC于点D,则以AD为高的三角形有 个.
A
6
[典例2]如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC边上的一点,若△ABD的周长比△ACD的周长大2,则AD是( )
A.△ABC的高
B.△ABC的角平分线
C.△ABC的中线
D.都有可能
C
对三角形的中线、角平分线理解有误而出错.
[典例3]如图所示,在△ABC中,AD为中线,BE为角平分线,有以下结论:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE=EC.其中正确的是( )
A.①② B.③④
C.①④ D.②③
D
[变式2]如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长大2,且AB与AC的和为10.
(1)求AB,AC的长;
(2)求BC边的取值范围.
解:(1)∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
∴△ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2,即AB-AC=2①.
又AB+AC=10②,
①+②,得2AB=12,解得AB=6.
②-①,得2AC=8,解得AC=4.
∴AB和AC的长分别为6,4.
(2)∵AB=6,AC=4,∴2三角形的稳定性
[典例4]港珠澳大桥是目前世界最长的跨海大桥,主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥,斜拉式大桥采用三角形结构,使其不易变形,这种做法的依据是 .
[变式3](2022永州)下列多边形具有稳定性的是( )
三角形具有稳定性
D
A B C D
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11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
11.3.2 多边形的内角和
1.在平面内,由一些线段 相接组成的 叫做多边形.
2.如果一个多边形由 线段组成,那么这个多边形就叫做n边形;多边形 _ 组成的角叫做它的内角;多边形的边与它的 组成的角叫做多边形的外角.
3.连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的 .
4.画出多边形的任何一条边所在的直线,整个多边形都在这条直线的 ,这样的多边形叫做凸多边形.
5.各个角都 ,各条边都 的多边形叫做正多边形.
首尾顺次
封闭图形
n条
相邻两边
邻边的延长线
对角线
同一侧
相等
相等
6.n边形的内角和等于 ;多边形的外角和等于 .
(n-2)×180°
360°
多边形的有关概念
[典例1]从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成 个三角形.( )
A.6 B.5
C.8 D.7
[变式1]从一个多边形的顶点出发,分别连接这个点与其余各个顶点,得到分割成的十个三角形,那么这个多边形为 边形.
B
十二
由对角线条数确定多边形边数的两种方法
(1)已知过一个顶点的对角线条数m,可根据n-3=m求得多边形的边数;
[典例2]下列说法不正确的是( )
A.正多边形的各边都相等
B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形就是等边三角形
D.六条边都相等且六个角都相等的六边形是正六边形
B
多边形的内角和与外角和
[典例3]一个凸多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°,则这个多边形是( )
A.九边形 B.八边形
C.七边形 D.六边形
A
解:设外角为x°,则内角为3x°.
由题意得x+3x=180,
解得x=45,
360°÷45°=8.
答:这个正多边形是八边形.
[典例4]如图所示,多边形ABCDEF和多边形ABGH分别为正六边形和正方形,连接CG,则∠CBG=
.
150°
[变式3]若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图所示方式叠放在一起,求∠BAF的度数.
解:∵正五边形内角和为540°,
∴其每个内角为540°÷5=108°,
∴∠ABC=108°,
∴∠ABF=180°-∠ABC=180°-108°=72°.
∵长方形每个内角为90°,
∴∠F=90°,
∴∠BAF=180°-∠F-∠ABF
=180°-90°-72°=18°.
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11.2.2 三角形的外角
1.三角形的一边与另一边的 组成的角,叫做三角形的外角.
2.三角形的外角等于与它 的两个内角的 .
延长线
不相邻
和
三角形的外角及外角的性质
[典例1]将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的度数为( )
A.60° B.65°
C.75° D.85°
[变式1]将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上,则∠1的度数为 .
C
75°
[典例2]如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D等于( )
A.15° B.25°
C.30° D.45°
B
[变式2]如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点E,且∠A=60°.
(1)①若∠ABC=40°,则∠E= ;
②若∠ABC=100°,则∠E= .
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠ABC的度数无关,你认为他说得对吗 请说明理由.
解:(1)①30° ②30°
三角形外角性质的应用
[典例3]如图所示的是跷跷板的示意图.支柱OC与地面垂直,点O是横板AB的中点,AB可以绕着点O上下转动,当A端落地时,∠OAC=20°,跷跷板上下可转动的最大角度(即∠A′OA)是
( )
A.80° B.60°
C.40° D.20°
C
三角形外角性质的三个应用
(1)求角的度数:在外角及与其不相邻的两个内角中,知道两角能求第三个角;
(2)证明角相等:一般把外角作为桥梁,通过等量代换证明角相等;
(3)判断角的大小:外角大于与它不相邻的任何一个内角.
对三角形外角相关性质理解不透彻而出错.
[典例4]下列说法正确的是( )
A.三角形的外角大于它的内角
B.三角形的一个外角等于它两个内角的和
C.三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D.三角形的外角和内角不可能相等
C
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11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
1.三角形三个内角的和等于 .
2.直角三角形的两个锐角 .
3.有两个角 的三角形是直角三角形.
4.直角三角形可以用符号“ ”表示,如直角三角形ABC可以表示为“ ”.
180°
互余
互余
Rt△
Rt△ABC
三角形内角和定理及应用
[典例1]若三角形三个内角的度数比为3∶3∶4,则这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
[变式1]在△ABC中,∠A=40°,∠B=30°,则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
[典例2]如图所示,在△ABC中,AD,BE分别是△ABC的高和角平分线,若∠C=70°,∠AEB= 95°,则∠BAD= °.
A
钝角
40
[变式2]如图所示,在△ABC中,BD是AC边上的高,∠A=70°.
(1)求∠ABD的度数;
(2)若CE平分∠ACB交BD于点E,∠BEC=120°,求∠ACB的度数.
解:(1)在△ABC中,
∵BD是AC边上的高,∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵∠A=70°,∴∠ABD=180°-∠BDA-∠A=20°.
(2)在△EDC中,
∵∠BEC=∠BDC+∠DCE,
且∠BEC=120°,∠BDC=90°,∴∠DCE=30°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠DCB=2∠DCE=60°,即∠ACB=60°.
直角三角形的性质与判定
[典例3]如图所示,已知AB∥CD,Rt△EFG的直角顶点在直线CD上,若∠FEC=35°,则∠GHB等于( )
A.35° B.45°
C.55° D.65°
C
[变式3]如图所示,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠EFH=20°,求∠EHB的度数.
直角三角形判定“两方法”
(1)定义法:有一个角是90°的三角形是直角三角形;
(2)判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.
[典例4]在下列条件中,不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A=90°-∠C
B.∠A=∠B-∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
C
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第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
1.由不在 上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形的分类
同一条直线
首尾顺次
钝角三角形
3.三角形两边的和 第三边,三角形两边的差 第三边.
底边和腰
大于
小于
三角形的有关概念及分类
[典例1]如图所示,以线段AB为边的三角形有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
[变式1]课堂上,老师把教学用的两块三角板叠放在一起,得到如图所示的图形,其中三角形的个数为( )
A.2 B.3
C.5 D.6
B
C
三角形的三边关系
[典例2]下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是( )
A.2 cm,3 cm,4 cm
B.1 cm,2 cm,3 cm
C.3 cm,4 cm,5 cm
D.4 cm,5 cm,6 cm
B
[变式2]某市木材市场上木棒规格与价格如下表:
规格 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m
价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的支架养鱼用,现有两根长度为3 m和5 m的木棒,还需要到该木材市场上购买一根.
(1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择
(2)在能做成三角形支架的情况下,选择哪一种规格的木棒最省钱
解:(1)设第三根木棒的长度为x m,
根据三角形的三边关系,得5-3∴ x=3,4,5,6,共4种,∴有4种规格的木棒可供小明的爷爷选择.
(2)根据木棒的价格可得选3 m的木棒最省钱.
忽视三角形三边关系出现错误.
[典例3]已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为( )
A.16 B.20或16
C.20 D.12
[变式3]用一条长为40 cm的细绳围成一个一边长为12 cm的等腰三角形,求这个三角形的三边长.
C
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