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第3课时 ASA与AAS
1.两角和它们的 分别相等的两个三角形全等,简写成“ ”或“ ”.
2.两角分别 且其中一组等角的对边 的两个三角形全等,简写成“ ”或“ ”.
夹边
角边角
ASA
相等
相等
角角边
AAS
运用“ASA”证明三角形全等
[典例1]如图所示,AD,BE是△ABC的高,AD与BE相交于点F.若AD=BD,则可以作为判定△ACD≌ △BFD的依据的是( )
A.SSA B.SAS
C.ASA D.SSS
[变式1]如图所示,已知AD=AE,请你添加一个条件,使得△ADC≌△AEB,你添加的条件是
.(不添加任何字母和辅助线)
C
∠ADC=∠AEB(答案不唯一)
[典例2]如图所示,AB∥CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别是E,F,且BF=DE.求证:AE=CF.
运用“AAS”证明三角形全等
[典例3]如图所示,在△ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,F是CD与BE的交点,若AD=FD, ∠ABE=26°,则∠ACB的度数为( )
A.76° B.71°
C.81° D.86°
B
[变式2]如图所示,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
求证:△ADE≌△ADF.
证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
∴∠DEA=∠DFA=90°.
又∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(AAS).
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12.3 角的平分线的性质
1.角的平分线上的点到角的两边的距离 .
2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的 上.
相等
平分线
角平分线的性质
[典例1]如图所示,已知△ABC的周长是18,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是 .
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[变式1]如图所示,在△ABC中,O为∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F.
(1)OD与OE是否相等 请说明理由.
(2)若△ABC的面积是45,且OF=3,求△ABC的周长.
解:(1)OD=OE.理由如下:
∵O为∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,
∴OD=OF,OF=OE,∴OD=OE.
利用角平分线的性质的方法技巧
(1)利用角平分线的性质时,辅助线的作法:遇见角平分线且已知角平分线上的某点,要过该点向角的两边作垂线;
(2)三角形的三条角平分线的交点与三角形的三个顶点的连线把三角形分割成了三个小三角形,三个小三角形的高相等,可以利用三个小三角形的面积之和求得原三角形的面积.
角平分线的判定及应用
[典例2]如图所示,某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN,OA,OB,拟在MN上建造一个大型超市,使得它到OA,OB的距离相等,请确定该超市的位置P.
解:如图所示,作∠AOB的平分线交MN于点P,点P即为该超市的位置.
[变式2]随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入千家万户,某地有三条相互交叉的公路(如图所示),小红的爸爸想建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有 处.
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[典例3]如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE,BD交于点C.试说明:AC=BC.
对角平分线的性质理解不准确而出错.
[典例4]如图所示,Q是∠AOB的平分线OP上的一点,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,QE⊥OA于点E,QF⊥OB于点F,则下列结论正确的是( )
A.PA=PB B.PC=PD
C.PC=QE D.QE=QP
B
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第2课时 SAS
和它们的 分别相等的两个三角形全等,简称“ ”或“ ”.
两边
夹角
边角边
SAS
运用“SAS”证明三角形全等
[典例1]如图所示,点P在直线AB外,点C,D在直线AB上,AC=BD,请你补充一个条件 _
(写出一个即可),使△APC≌△BPD.
[变式1]如图所示,已知AB=CD,BF=EC,只需再补充一个条件,就能使△ABE≌△DCF,则下列条件中,符合题意的有 .(只填序号)
①AE=DF;②AE∥DF;
③AB∥CD;④∠A=∠D.
PA=PB
①③
(答案不唯一)
“SAS”与“SSA”
(1)在“边角边”这个判定方法中,包含了边和角两种元素,要记住角是两边的夹角,而不是其中一边的对角;
(2)为了避免混淆“SAS”与“SSA”(角是一边的对角而不是夹角),在应用该方法时,要观察图形确定三个条件,按“边→角→边”的顺序排列,并按此顺序书写.
三角形全等的判定与性质的综合
[典例2]如图所示,点C,D在线段BF上,AB∥DE,AB=DF,BC=DE.求证:∠A=∠F.
[变式2]如图所示,BC∥EF,BC=EF,AB=DE.
求证:(1)△ABC≌△DEF;
(2)AC∥DF.
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE,∴AC∥DF.
“SAS”的实际应用
[典例3]如图所示,小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度.已知OA=OD,OB=OC, AB=6 cm,EF=8 cm,则该容器壁的厚度为 cm.
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[变式3]如图所示,AB=5 cm,AC=BD=4 cm,∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.设运动时间为t s,则当点Q的运动速度为 cm/s时,△ACP与△BPQ有可能全等.
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12.2 三角形全等的判定
第1课时 SSS
1. 的两个三角形全等,简写成“ ”或“ ”.
2.用直尺作一个角等于已知角的依据是“ ”.
三边分别相等
边边边
SSS
SSS
运用“SSS”证明三角形全等
[典例1]在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,则补充条件 ,可得到△ABC≌△A1B1C1.
[变式]如图所示,已知AB=AC,AE=AD,点B,D,E,C在同一条直线上,要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD,还可以添加的条件是( )
A.BD=DE B.BD=CE
C.DE=EC D.以上都不对
AC=A1C1
B
[典例2]如图所示,AD=BC,AE=CF,DF=BE,找出图中一对全等的三角形,并说明理由.
三角形全等书写三步骤
①写出在哪两个三角形中;②摆出三个条件用大括号括起来;③写出全等结论.
三角形全等的判定与性质的综合
[典例3]如图所示,已知AB=AD,BC=CD.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若∠1=30°,∠2=50°,求∠D的度数.
(2)解:∵∠1=30°,∠2=50°,
∴∠B=180°-∠1-∠2=180°-30°-50°=100°.
∵△ABC≌△ADC,
∴∠D=∠B=100°.
[典例4]如图所示,在△ABF和△CDE中,AB=CD,BF=DE,点A,E,F,C在同一条直线上,AF=CE.求证:AB∥CD.
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第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
1.能够 的两个图形叫做全等形.
2.能够 的两个三角形叫做全等三角形,全等用符号“ ”表示.
3.把两个全等的三角形 到一起,重合的顶点叫做 ,重合的边叫做
,重合的角叫做 .
4.全等三角形的对应边 ,全等三角形的对应角 .
完全重合
完全重合
≌
重合
对应顶点
对应边
对应角
相等
相等
全等形与全等三角形的概念
[典例1]下列选项中与如图所示的图形全等的是( )
B
A B C D
[变式1]下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是( )
A
A.等腰梯形 B.正方形
C.正六边形 D.正五角星
[典例2]如图所示,图中两个三角形能完全重合,下列写法正确的是( )
A.△ABE≌△AFB
B.△ABE≌△ABF
C.△ABE≌△FBA
D.△ABE≌△FAB
B
[变式2]如图所示,△ACB≌△DEF,其中A与D,C与E是对应顶点,请写出它们的对应边和对
应角.
解:由△ACB≌△DEF,得
AC的对应边是DE,BC的对应边是FE,AB的对应边是DF,∠ABC的对应角是∠DFE,∠A的对应角是∠D,∠ACB的对应角是∠DEF.
全等三角形的性质
[典例3]已知△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为12,若AB=3,EF=4,则AC= .
[变式3]如图所示,已知△ABC≌△DFE,AB=3,AC=2,EF=4,求△DFE的周长.
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解:∵△ABC≌△DFE,
∴AB=DF,AC=DE,BC=FE.
∵AB=3,AC=2,∴DE=2,DF=3,
∴△DFE的周长=DE+DF+FE=2+3+4=9.
寻找全等三角形对应元素的规律
(1)有公共边的,公共边一定是对应边;
(2)有公共角的,公共角一定是对应角;
(3)有对顶角的,对顶角一定是对应角;
(4)在两个全等三角形中,一对最长的边(或最大的角)是对应边(或对应角),一对最短的边
(或最小的角)是对应边(或对应角).
全等三角形对应元素找错.
[典例4]如图所示,△ABC≌△DCB,那么,对应边是 ;对应角是
.
AB与DC,AC与DB,BC与CB
∠A与∠D,∠ABC与∠DCB,∠ACB与∠DBC
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第4课时 HL
和一条 分别相等的两个直角三角形全等,简写成“ ”或“ ”.
斜边
直角边
斜边、直角边
HL
运用“HL”证明三角形全等
[典例1]如图所示,下列可作为用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件的是( )
A.AC=DF,BC=EF
B.∠A=∠D,AB=DE
C.AC=DF,AB=DE
D.∠B=∠E,BC=EF
[变式1]如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中选择一组,可以判定△ABE≌△DCF的是 .(填序号)
①AB=DC,∠B=∠C;②AB=DC,AB∥CD;
③AB=DC,BE=CF;④AB=DF,BE=CF.
C
①②③
[典例2]如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.
直角三角形全等的判定方法
(1)用“HL”:当两个三角形是直角三角形时,首先考虑“HL”;
(2)可以作为一般三角形,应用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”进行判定.
直角三角形全等判定的综合
[典例3]如图所示,在△ABC中,D是边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DF=DE.求证:∠B=∠C.
[变式2]如图所示,∠C=90°,AC=10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从A点出发,分别在线段AC和射线AX上运动,且AB=PQ,当点P运动到AP= 时,△ABC与△APQ全等.
5或10
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