(共9张PPT)
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫做轴对称图形,这条 就是它的对称轴.
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形 ,那么就说这两个图形关于这条直线 ,这条直线叫做 ,折叠后重合的点是对应点,叫做
.
3.经过线段 并且 于这条线段的 ,叫做这条线段的垂直平分线.
互相重合
直线
重合
(成轴)对称
对称轴
对称点
中点
垂直
直线
4.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
5.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的 .
垂直平分线
垂直平分线
轴对称图形
[典例1]下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是( )
C
A B C D
[变式1]如图所示,在3×3的方格图中,有两个小方格已经画上了圆,在剩下的小方格中任选一个画上半径相等的圆,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形共有 个.
3
成轴对称
[典例2]视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( )
C
A B C D
两个图形关于某条直线成轴对称必须满足两个条件
(1)两个图形的大小、形状相同;
(2)能找到一条直线,沿这条直线折叠后两个图形能够互相重合.
轴对称(图形)的性质
[典例3]如图所示,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.
(1)若DE=5,BF=2,则CF的长为 ;
(2)若∠BAC=108°,∠BAE=30°,求∠EAF的度数.
解:(1)3
[变式2]P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OA,OB的对称点P1,P2,连接OP1,OP2,则下列结论正确的是( )
A.OP1⊥OP2
B.OP1=OP2
C.OP1⊥OP2且OP1=OP2
D.OP1≠OP2
B
谢谢观赏！(共6张PPT)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .
2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上.
相等
垂直平分线
线段垂直平分线的性质及判定
[典例1]如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
B
[变式]如图所示,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3,△ABC的周长
为14,求△BCD的周长.
解:∵DE是AC的垂直平分线,AE=3,
∴AD=CD,AC=2AE=6.
∵△ABC的周长为14,
∴AB+BC=14-AC=8,
∴△BCD的周长为BC+(BD+CD)=BC+AB=8.
[典例2]如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过点A.求证:点A在CD的垂直平分线上.
证明:如图所示,连接AC.
∵MN垂直平分BC,∴AB=AC.
∵AB=AD,∴AC=AD,
∴点A在CD的垂直平分线上.
线段垂直平分线(对称轴)的尺规作图
[典例3]如图所示,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.要求:尺规作图,并保留作图痕迹.
解:如图所示,画出∠A的平分线AD,画出线段AB的垂直平分线GH,AD与GH相交于点P,则点P即为所求.
谢谢观赏！(共9张PPT)
13.3.2 等边三角形
1.等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 .
2.三个角 的三角形是等边三角形.
3.有一个角是 的 三角形是等边三角形.
4.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .
相等
60°
都相等
60°
等腰
一半
等边三角形的性质与判定
[典例1]如图所示,将一等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2的度数等于( )
A.140° B.240°
C.280° D.360°
B
[典例2]如图所示,∠B=∠C,AB∥DE,EC=ED.求证:△DEC为等边三角形.
证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC.
∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠C.
∵EC=ED,∴∠C=∠EDC,
∴∠DEC=∠C=∠EDC,
∴△DEC为等边三角形.
等边三角形判定方法的选择
(1)若已知三边关系,一般选用定义判定;
(2)若已知三角关系,一般选用证明三个角都相等;
(3)若已知三角形是等腰三角形,一般选用找一个角等于60°.
[典例3]如图所示,在等边三角形ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,BO,OC的垂直平分线分别交BC于E,F两点.求证:△OEF是等边三角形.
证明:∵E为BO垂直平分线上的点,且∠OBC=30°,
∴BE=OE,∴∠EBO=∠EOB=30°,
∴∠OEF=∠EBO+∠EOB=60°.
同理,∠OFE=∠FCO+∠FOC=60°,
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°,
∴△OEF是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质
[典例4]某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少元
利用含30°角的直角三角形的性质解决问题的方法
(1)含30°角的直角三角形的性质是求线段长和证明线段间倍分关系的重要工具;
(2)解题时,一般是先寻找30°角所在的直角三角形,得到斜边与直角边的关系,当30°角不在一个直角三角形中时,可考虑作垂线得到含30°角的直角三角形,或作等腰三角形构造顶角的邻补角为60°.
C
谢谢观赏！(共7张PPT)
13.2 画轴对称图形
1.几何图形都可以看作由 组成.对于某些图形,只要画出图形中的一些 (如线段端点)的对称点,连接这些 ,就可以得到原图形的轴对称图形.
2.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为( , );点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( , ).
点
特殊点
对称点
x
-y
-x
y
作轴对称图形
[典例1]如图所示,在10×10的正方形网格中作图(每个小正方形的边长为1):
(1)作出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
用坐标表示轴对称
[典例2]已知点M(a-1,5)和N(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2 022的值为( )
A.1 B.-1
C.2 022 D.-2 022
[变式]已知点A(a-2,-2),B(-2,b+1),根据以下条件确定a,b的值.
(1)点A在y轴上,点B关于x轴对称的点为(-2,3);
(2)A,B两点在第一、三象限的角平分线上.
A
解:(1)依题意,得a-2=0,b+1=-3,
∴a=2,b=-4.
(2)依题意,得a-2=-2,b+1=-2,
∴a=0,b=-3.
根据平面直角坐标系中点关于x轴、y轴对称的特点求字母的值的方法
(1)熟记关于坐标轴对称的点的坐标特点;
(2)根据特点列出等式,求出字母的值.
[典例3]如图所示,在由单位正方形(每个小正方形边长都为1)组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上.
(1)把△AOB向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度得到
△A1O1B1,请画出△A1O1B1,并写出点A1的坐标;
(2)请画出△AOB关于x轴对称的△A2OB2,并求出△A2OB2的面积.
解:(1)如图所示,△A1O1B1即为所求.
点A1的坐标为(-3,5).
作轴对称图形的步骤(一找二画三连)
第一步:找出图形中的特殊点;
第二步:逐个画出特殊点的对称点;
第三步:顺次连接对称点.
谢谢观赏！(共8张PPT)
第2课时 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也 (简写成“ ”).
相等
等角对等边
等腰三角形的判定
[典例1]如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,这样的点P共有 个.
[变式1]如图所示,直线a,b交于点O,∠α=40°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,且始终位于直线a的上方,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB=
.
6
40°或70°或100°
解析:如图所示,要使△OAB为等腰三角形,分三种情况讨论:
①当OB1=AB1时,∠OAB1=∠α=40°;
③当OA=AB3时,
∠OAB3=180°-2×40°=100°.
综上所述,∠OAB的度数是40°或70°或100°.
[典例2]如图所示,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.
求证:△BCO是等腰三角形.
证明:在△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BP,CQ分别是两腰AC,AB上的高,
∴∠BQC=∠CPB=90°,
∴∠OBC=90°-∠ACB,
∠OCB=90°-∠ABC,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,
∴△BCO是等腰三角形.
等腰三角形的判定与性质的综合
[典例3]如图所示,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,DE∥AB,交AC于点E.求证:△AED是等腰三角形.
证明:∵△ABC是等腰三角形,AD是底边BC上的中线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD,
∴∠ADE=∠CAD,∴AE=ED,
∴△AED是等腰三角形.
[典例4]如图所示,上午10时,一艘船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行,11时到达B处.从A处测得灯塔C在北偏西26°方向,从B处测得灯塔C在北偏西52°方向,求B处到灯塔C的距离.
解:根据题意,得AB=1×20=20(海里).
∵∠CBD=52°,∠A=26°,
∴∠C=∠CBD-∠A=52°-26=26°,
∴∠C=∠A,∴BC=AB=20海里.
答:B处到灯塔C的距离为20海里.
[变式2]如图所示,在△ABC中,∠A=90°,∠C=35°,点Q在△ABC的三边上运动,当△ABQ是等腰三角形时,顶角的度数为 .
90°或55°或70°
谢谢观赏！(共8张PPT)
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
1.等腰三角形的两个底角 .
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 .
相等
重合
等边对等角
[典例1]如图所示,∠A=m°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠EDF= .(用m表示)
[变式1]如图所示,∠MAN是一钢架,为了使钢架更加坚固,需在其内部添加一些钢管BC,CD,DE,…,添加的钢管长度都与AB相等.若当∠MAN=x时,最多能添4根这样的钢管,则x的取值范围是 .
4m°
18°≤x<22.5°
[典例2]如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE.
(1)若∠BAE=40°,则∠C= ;
(2)若△ABC的周长为13 cm,AC=6 cm,求CD的长.
解:(2)∵△ABC的周长是13 cm,AC=6 cm,
∴AB+BC=13-6=7(cm).
∵AB=AE=CE,BD=DE,
∴AB+BD+CD=2CD=7 cm,∴CD=3.5 cm.
证明两角相等的方法
(1)应用角平分线的定义;
(2)在同一个三角形中寻找相等的两边;
(3)构造全等三角形.
三线合一
[典例3]如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,则下列结论中不正确的是( )
A.AB=2BD B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
[变式2]如图所示,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是( )
A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
A
C
[典例4]等腰三角形一个角等于40°,则它的顶角的度数为 .
[变式3]等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为( )
A.65° B.105°
C.55°或105° D.65°或115°
100°或40°
D
谢谢观赏！(共8张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
1.两点的所有连线中, 最短.
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短.
线段
垂线段
最短路径问题及应用
[典例1]如图所示,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路径长是( )
A.750米 B.1 000米
C.1 500米 D.2 000米
B
[典例2]如图所示,已知∠AOB,点M和点N,试在OA,OB上分别找点P,Q,使四边形MNQP的周长最短.(尺规作图,不需写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,四边形MNQP为所作.
[典例3]如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M.
(1)若∠ABC=70°,求∠BAC的大小.
解:(1)∵AB=AC,∠ABC=70°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∴∠BAC=180°-70°×2=40°.
(2)连接MB,若AB=8 cm,△MBC的周长是14 cm.
①求BC的长.
②在直线MN上是否存在点P,使PB+CP的值最小 若存在,标出点P的位置并求PB+CP的最小值;若不存在,请说明理由.
解:(2)①∵MN垂直平分AB,∴MB=MA.
又∵△MBC的周长是14 cm,AB=8 cm,
∴AC+BC=14 cm,AC=8 cm,∴BC=6 cm.
②存在.当点P与点M重合时,PB+CP的值最小,为AC长,最小值是8 cm.
求最短路径中找点的方法
①如果两点在直线的异侧,那么直接连接两点交直线于一点,该点就是要求的点;
②如果两点在直线的同侧,那么先作一点关于直线的对称点,再连接对称点和另一点交直线于一点,则该点就是要求的点.
[典例4]如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使三角形AMN周长最小,求此时∠AMN+∠ANM的度数.
解:如图所示,分别作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,
则A′A″即为△AMN周长的最小值.
∵∠DAB=120°,∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=60°.
∵∠A′=∠MAA′,∠NAD=∠A″,
且∠A′+∠MAA′=∠AMN,
∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠A′+∠A″)=2×60°=120°.
谢谢观赏！
