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14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式
运用平方差公式分解因式
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.-x2+4y2 B.25x2-4xy
C.x2+(-2y)2 D.-x2-y2
2.将多项式x2-1分解因式正确的是( )
A.x(x2-1) B.x(1-x2)
C.(x+1)(x-1) D.x(1+x)(1-x)
A
C
3.下列单项式中,使多项式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是( )
A.a B.b2 C.-16a D.-b2
4.计算:5.352-4.652= .
5.在实数范围内因式分解:
x2-6= .
D
7
解:(1)36-x2
=(6+x)(6-x).
(2)x2-16y2
=(x+4y)(x-4y).
6.用平方差公式因式分解:
(1)36-x2;
(2)x2-16y2;
(3)(x-8)(x+2)+6x.
(3)(x-8)(x+2)+6x
=x2-6x-16+6x
=x2-16
=(x+4)(x-4).
平方差公式的综合运用
7.因式分解a4-1的结果为( )
A.(a2-1)(a2+1)
B.(a+1)2(a-1)2
C.(a-1)(a+1)(a2+1)
D.(a-1)(a+1)3
8.若mn=3,a+b=4,a-b=5,则mna2-nmb2的值是( )
A. 60 B.50 C.40 D.30
9.因式分解:2 0222-2 0232= .
C
A
-4 045
10.如图所示,在一块长为2x米,宽为x米的长方形广场中心,留一块长为2y米,宽为y米的活动场地,剩余的地方做花坛.
(1)求花坛的面积;
(2)当x=45,y=35,且修建花坛每平方米需花费50元时,修建整个花坛需要多少元
解:(1)根据题意,知长方形广场的面积为2x2平方米,活动场地的面积为2y2平方米,
故花坛的面积为(2x2-2y2)平方米.
(2)当x=45,y=35时,
2x2-2y2=2(x+y)(x-y)
=2(45+35)(45-35)
=2×80×10
=1 600(平方米),
50×1 600=80 000(元).答:修建整个花坛需要80 000元.
11.若a,b,c是一个三角形的三边长,则代数式(a-b)2-c2的值是( )
A.正数 B.负数
C.零 D.不能确定
12.若a-b=2,则a2-b2-4b的值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
13.若m为正整数,且(m+17)2-m2总能被大于1的整数n整除,则n的值为( )
A.17 B.34
C.17或34 D.17的偶数倍
14.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8,则x-y-z= .
15.已知248-1被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是 .
B
C
A
4
65,63
16.将下列各式分解因式:
(1)25(a+b)2-4(a-b)2;
(2)a2(a-b)+4(b-a).
解:(1)25(a+b)2-4(a-b)2
=[5(a+b)+2(a-b)][5(a+b)-2(a-b)]
=(7a+3b)(3a+7b).
(2)a2(a-b)+4(b-a)
=a2(a-b)-4(a-b)
=(a-b)(a2-4)
=(a-b)(a+2)(a-2).
17.已知a,b,c是△ABC的三边长且满足a2-b2+ac-bc=0,请判断△ABC的形状.
解:a2-b2+ac-bc=0,
(a+b)(a-b)+c(a-b)=0,
(a-b)(a+b+c)=0.
∵a,b,c是三角形的三边长,
∴a,b,c都大于0,
∴a-b=0,
即a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
18.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为奇特数.
例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52.
则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)填空:
32 奇特数,2 018 奇特数.(填“是”或者“不是”)
解:(1)是 不是
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
解:(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由如下:
∵(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n·2
=8n,
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
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14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
平方差公式
1.计算(y-x)(y+x)的结果是( )
A.x2-y2 B.y2-x2
C.x2+y2 D.-x2-y2
2.如果(x+3)(x-k)=x2-9成立,那么k的值为( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
B
D
3.下列算式不能用平方差公式计算的是( )
A.(2a+b)(2a-b)
B.(-3a+b)(b-3a)
C.(x+y)(-x+y)
D.(-m+3n)(-m-3n)
4.(a+2b)( )=a2-4b2.
B
a-2b
5.计算:
(1)(2y+1)(-2y+1);
(2)(-1+2a)(-1-2a).
解:(1)原式=-(2y+1)(2y-1)
=-(4y2-1)
=-4y2+1.
(2)原式=(-1)2-(2a)2
=1-4a2.
平方差公式的应用
7.计算:2 0212-2 025×2 017= .
8.一个三角形的一条边长为(2a+4)cm,这条边上的高为(2a-4)cm,则这个三角形的面积为
cm2.
B
16
(2a2-8)
9.用简便方法计算(要写出运算过程):
(1)102×98;
(2)30.1×29.9;
(3)2 019×2 021-2 0202.
解:(1)原式=(100+2)×(100-2)
=10 000-4
=9 996.
(2)原式=(30+0.1)(30-0.1)
=302-0.12
=899.99.
(3)原式=(2 020-1)×(2 020+1)-2 0202
=2 0202-1-2 0202
=-1.
10.某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2(第三步).
(1)该同学的解答过程从第 步开始出错,出错的原因是 .
(2)写出此题正确的解答过程.
解:(1)二 去括号时没有变号
(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)
=a2+2ab-a2+b2
=2ab+b2.
11.计算(1-a)(1+a)(1+a2)的结果是( )
A.1-a4 B.1+a4
C.1-2a2+a4 D.1+2a2+a4
12.若a2-2a-1=0,则代数式(a+2)(a-2)-2a的值为( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
13.若(x-ay)(x+ay)=x2-16y2,则a= .
14.若点(-3,4)与点(a2,b2)关于y轴对称,则(a+b)(a-b)= .
A
B
±4
-1
15.计算:
(1)(x+3)(x-3)-x(x-1);
(2)(2a+b)(2a-b);
解:(1)原式=x2-9-x2+x
=x-9.
(2)原式=(2a)2-b2
=4a2-b2.
(3)(m+1)(m-1)(m2+1);
(4)(a-3b)(a+3b)-(-a-2b)(a-2b).
解:(3)原式=(m2-1)(m2+1)
=m4-1.
(4)原式=a2-9b2-(4b2-a2)
=a2-9b2-4b2+a2
=2a2-13b2.
16.在整式(x-2)■(x+2)+▲中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式.
(1)化简:(x-2)-(x+2)+(-2+y);
(2)若(x-2)(x+2)+▲=3x2+4,求出整式▲;
解:(1)原式=x-2-x-2-2+y=y-6.
(2)根据题意,得
▲=3x2+4-(x-2)(x+2)
=3x2+4-(x2-4)
=3x2+4-x2+4
=2x2+8.
(3)已知(x-2)■(x+2)+▲的计算结果是二次单项式,当▲是常数项时,写出■表示的运算符号及▲的值.
解:(3)∵计算结果是二次单项式,
∴■表示的运算符号是“×”,
∴原式=(x-2)(x+2)+▲
=x2-4+▲,
∴▲的值为4.
17.观察下面的解题过程:
化简(2+1)×(22+1)×(24+1).
解:(2+1)×(22+1)×(24+1)
=(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)
=(22-1)×(22+1)×(24+1)
=(24-1)×(24+1)
=28-1.
解答问题:
化简:(3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)×…×(364+1).
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第3课时 同底数幂的除法与零指数幂
同底数幂的除法
1.计算a5÷a3结果正确的是( )
A.a B.a2 C.a3 D.a4
2.计算x8÷(-x)2结果正确的是( )
A.x10 B.x6
C.-x6 D.x4
3.(1)(a3)2÷a7= .
(2)(-a)3÷(-a2)= .
B
B
a
4.已知am=3,an=2,则a2m-n的值为 .
5.计算:(1)x9÷x6;(2)(-a)7÷(-a)3;
(3)1811÷(-18)3;(4)(a-b)m+2÷(b-a)2.
解:(1)x9÷x6=x9-6=x3;
(2)(-a)7÷(-a)3=(-a)7-3=(-a)4=a4;
4.5
(3)1811÷(-18)3=1811÷(-183)=-188;
(4)(a-b)m+2÷(b-a)2=(a-b)m+2÷(a-b)2=(a-b)m+2-2=(a-b)m.
零指数幂
D
B
0
9.计算:
(1)(-1)×(-3)+20+15÷(-5);
(2)6÷(-3)+|-1|-2 0190.
解:(1)(-1)×(-3)+20+15÷(-5)
=3+1-3=1.
(2)6÷(-3)+|-1|-2 0190
=-2+1-1
=-2.
C
B
B
-4或-2
14.我们约定:a b=10a÷10b.
如4 3=104÷103=10.
(1)求12 3和10 4的值;
(2)求21 5×103的值.
解:(1)∵a b=10a÷10b,
∴12 3=1012÷103=109,
10 4=1010÷104=106.
(2)21 5×103=1021÷105×103=1019.
15.已知(x-1)x+6=1,求x的值.
解:①当x-1=1时,x=2,
此时(2-1)2+6=1成立;
②当x-1=-1时,x=0,
此时(0-1)0+6=1成立;
③当x+6=0时,x=-6,
此时(-6-1)-6+6=1成立.
综上所述,x的值为2,0或-6.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
A
同底数幂的乘法
1.计算x2·x3的结果是( )
A.x5 B.x6 C.x8 D.5
2.下列各式结果等于x4的是 ( )
A.x2·x2 B.x2+x2
C.x3+x D.x4+3x
A
3.墨迹覆盖了等式“a3■a3=a6(a≠0)”中的运算符号,则覆盖的是( )
A.+ B.- C.× D.÷
4.计算:(-a2)·a3= .
C
-a5
同底数幂的乘法的灵活运用
6.已知xa=3,xb=2,那么xa+b的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.9
7.已知m+n-3=0,则2m·2n的值为 .
8.一个长方体的长、宽、高分别为a2,a,a3,则这个长方体的体积是 .
C
B
8
a6
9.有下列四个算式:①a6·a6=a6;②m3+m2=m5;③x2·x·x8=x10;④y2+y2=y4.其中计算正确的有
( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
10.下列各式中能用同底数幂的乘法进行运算的是 ( )
A.(x-y)2·(x+y)2
B.(-x-y)(x+y)2
C.(x+y)2+(x+y)2
D.-(x-y)2·(-x-y)2
A
B
11.已知2a=5,2b=10,2c=50,那么a,b,c之间满足的等量关系是( )
A.ab=c
B.a+b=c
C.a∶b∶c=1∶2∶10
D.a2b2=c2
12.计算:
(1)a4·an-1+2an+1·a2;
(2)(x-y)2·(y-x)5.
解:(1)原式=a4+n-1+2an+1+2=an+3+2an+3=3an+3.
B
(2)原式=-(x-y)2·(x-y)5=-(x-y)7.
13.规定a*b=2a×2b.
(1)求2*3;
(2)若2*(x+1)=16,求x的值.
解:(1)∵a*b=2a×2b,
∴2*3=22×23=4×8=32.
(2)∵2*(x+1)=16,
∴22×2x+1=24,
则2+x+1=4,
解得x=1.
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14.1.2 幂的乘方
幂的乘方
1.计算(x4)3等于( )
A.-x12 B.x7 C.-x7 D.x12
2.下列各式中结果等于x4n的是( )
A.x4+xn B.xn+x3n
C.(x2n)2 D.x4·xn
D
C
3.计算:
(1)(-t4)3+(-t2)6;
(2)(m4)2+(m3)2-m(m2)2·m3.
解:(1)原式=-t12+t12=0.
(2)原式=m8+m6-m8=m6.
幂的乘方的逆运算
4.已知10a=5,则100a的值是 ( )
A.25 B.50 C.250 D.500
5.小明认为下列括号内都可以填a4,你认为式子成立的是( )
A.a12=( )2 B.a12=( )3
C.a12=( )4 D.a12=( )8
6.若2x=3,4y=6,则2x+2y的值为 .
7.(1)已知2n=3,求4n+1的值;
(2)当3m+2n=4时,求8m×4n的值.
A
B
18
解:(1)4n+1=22(n+1)=22n+2=(2n)2·22=9×4=36.
(2)8m×4n=23m×22n=23m+2n=24=16.
8.与(a-b)3[(b-a)3]2相等的是( )
A.(a-b)8 B.-(b-a)8
C.(a-b)9 D.(b-a)9
9.若3·9m·27m=321,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
C
C
10.计算:
(1)(-2anb3n)2+(a2b6)n;
(2)(-3x3)2-(-x2)3+(-2x)2-(-x)3.
解:(1)原式=4a2nb6n+a2nb6n=5a2nb6n.
(2)原式=9x6-(-x6)+4x2-(-x3)
=9x6+x6+4x2+x3
=10x6+x3+4x2.
(2)∵2m=4,2n=8,
∴2m+n=2m×2n=4×8=32,
22m+3n=(2m)2×(2n)3=42×83=16×512=8 192.
12.规定a,b两数之间的一种运算,记作(a,b):如果ac=b,那么(a,b)=c.
例如:因为23=8,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定填空:
(3,27)= ,(5,1)= .
(1)解:3 0
(2)小明在研究这种运算时发现了一个规律:(3n,4n)=(3,4).
小明给出了如下的证明:
设(3n,4n)=x,则(3n)x=4n,即(3x)n=4n,
∴3x=4,即(3,4)=x,
∴(3n,4n)=(3,4).
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式:
(3,4)+(3,5)=(3,20).
(2)证明:设(3,4)=y,(3,5)=z,
则3y=4,3z=5,
∴3y+z=3y×3z=4×5=20,
∴(3,20)=y+z,
∴(3,4)+(3,5)=(3,20).
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14.1.3 积的乘方
积的乘方
B
D
3.(2022淄博)计算(-2a3b)2-3a6b2的结果是( )
A.-7a6b2 B.-5a6b2
C.a6b2 D.7a6b2
4.把(6×105)2的结果用科学记数法表示为 .
5.计算:
(1)(ab)6; (2)(2m)3;
(3)(-xy)5; (4)(5ab2)3.
解:(1)(ab)6=a6b6.
(2)(2m)3=8m3.
C
3.6×1011
(3)(-xy)5=-x5y5.
(4)(5ab2)3=125a3b6.
积的乘方的逆运算
解:(1)59×0.28=(5×0.2)8×5=1×5=5.
C
27
9.若xn=2,yn=3,则(xy)2n等于 ( )
A.6 B.12 C.24 D.36
10.已知25m×2×10n=57×26,则mn= .
11.计算:(1)x·x3·x2+(x2)3-(-2x3)2;
D
5
解:(1)x·x3·x2+(x2)3-(-2x3)2
=x6+x6-4x6
=-2x6.
12.基本事实:若am=an(a>0且a≠1,m,n是正整数),则m=n.
试利用上述基本事实求下列各方程中x的值:
(1)2×8x=27;
(2)2x+1×3x+1=36x-2;
解:(1)原方程可化为2×23x=27,
∴23x+1=27,3x+1=7,解得x=2.
(2)原方程可化为(2×3)x+1=36x-2,
∴6x+1=62(x-2),
∴x+1=2(x-2),解得x=5.
(3)2x+2+2x+1=24.
解:(3)原方程可化为2×2x+1+2x+1=24,
∴2x+1×(2+1)=24,∴2x+1=8=23,
∴x+1=3,解得x=2.
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14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
因式分解的意义及公因式
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2-2x-1=(x-1)2
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2-4x+4=(x-2)2
D.x2-1=(x-1)2
C
2.对于①(x+2)(x-1)=x2+x-2;②x-2xy=x(1-2y)从左到右的变形,表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解;②是乘法运算
D.①是乘法运算;②是因式分解
3.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中,各项的公因式是( )
A.a2b B.-4a2b2
C.4a2b D.-a2b
4.下列代数式中,没有公因式的是( )
A.ab与b B.a+b与a2+b2
C.a+b与a2-b2 D.x与6x2
D
C
B
解:(1)被墨水污染的一次式为
(x-2)(2x+5)-(2x2+3x-6)
=2x2+5x-4x-10-2x2-3x+6
=-2x-4.
(2)根据题意,得-2x-4≥2,
解得x≤-3,
即x的取值范围是x≤-3.
运用提公因式法分解因式
6.将多项式x-x2分解因式正确的是( )
A.x(1-x) B.x(x-1)
C.x(1-x2) D.x(x2-1)
7.多项式b2(x-3)+b(3-x)因式分解的结果应为( )
A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1)
C.(x-3)(b2-b) D.b(x-3)(b-1)
8.(-2)2 023+(-2)2 022等于( )
A.-22 021 B.-22 022
C.22 021 D.-2
9.长和宽分别是a,b的长方形的周长为16,面积为9,则a2b+ab2的值为 .
A
D
B
72
10.把下列各式分解因式:
(1)3x3+6x;
(2)15xy+10x2-5x;
(3)-8a2b+12ab2-4a3b3;
解:(1)3x3+6x
=3x(x2+2).
(2)15xy+10x2-5x
=5x(3y+2x-1).
(3)-8a2b+12ab2-4a3b3
=-4ab(2a-3b+a2b2).
(4)(x-2)2-x+2.
解:(4)(x-2)2-x+2
=(x-2)(x-2-1)
=(x-2)(x-3).
11.先因式分解,再求值:15x2(y+4)-30x(y+4),其中x=2,y=-2.
解:15x2(y+4)-30x(y+4)
=15x(y+4)(x-2).
∵x=2,y=-2,∴原式=0.
12.812-81肯定能被多少整除( )
A.79 B.80 C.82 D.83
13.把多项式a3b4-abnc分解因式时,提取的公因式是ab4,则n的值可能为( )
A.5 B.3 C.2 D.1
14.已知x2y+xy2=42,xy=7,则x+y= .
15.甲、乙两名同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9).那么a+b= .
B
A
6
15
16.利用因式分解计算:
(1)39×37-13×34;
(2)29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14.
解:(1)39×37-13×34
=39×37-39×33
=39×(37-27)
=390.
(2)29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14
=19.99×(29+72+13-14)
=19.99×100
=1 999.
17.(1)若xy=2,x+y=4,求x2y+xy2-x2y2的值;
(2)若3x-2y=a,x-3y=b,用含a,b的式子表示7x(x-3y)2-2(3y-x)3.
解:(1)x2y+xy2-x2y2
=xy(x+y-xy).
当xy=2,x+y=4时,
原式=2×(4-2)=4.
(2)7x(x-3y)2-2(3y-x)3
=7x(x-3y)2+2(x-3y)3
=(x-3y)2(7x+2x-6y)
=3(x-3y)2(3x-2y).
当3x-2y=a,x-3y=b时,
原式=3ab2.
18.阅读理解:
把多项式am+an+bm+bn分解因式.
解:am+an+bm+bn
=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b).
观察上述因式分解的过程,回答下列问题:
因式分解:mb-2mc+b2-2bc.
解:mb-2mc+b2-2bc
=(mb-2mc)+(b2-2bc)
=m(b-2c)+b(b-2c)
=(b-2c)(m+b).
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第2课时 运用完全平方公式
完全平方式
1.下列多项式中,是完全平方式的是( )
A.x2-x+1 B.1-2xy+x2y2
C.a2-a+ D.a2+2ab-b2
2.若x2+6x+m是一个完全平方式,则实数m的值为( )
A.36 B.9 C.-9 D.3
B
B
运用完全平方公式分解因式
3.运用公式a2+2ab+b2=(a+b)2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解,公式中的a可以是( )
A.2x2 B.4x2 C.2x D.4x
4.若x2+mx+9=(x-3)2,则m的值为( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
C
B
D
25
7.因式分解:
(1)-x2-4y2+4xy;
(2)6xy-x2-9y2;
(3)a4-2a2b2+b4.
解:(1)-x2-4y2+4xy
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
(2)6xy-x2-9y2
=-(x2-6xy+9y2)
=-(x-3y)2.
(3)a4-2a2b2+b4=(a2-b2)2
=[(a+b)(a-b)]2
=(a+b)2(a-b)2.
8.利用完全平方公式计算:
(1)482+48×24+122;
(2)2 0122-4 024×2 011+2 0112.
解:(1)482+48×24+122
=(48+12)2
=602
=3 600.
(2)2 0122-4 024×2 011+2 0112
=2 0122-2×2 012×2 011+2 0112
=(2 012-2 011)2
=1.
9.因式分解:m3+2m2n+mn2= .
10.因式分解:
提公因式后,用完全平方公式分 解因式
m(m+n) 2
11.已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
解:a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2.
由a+b=3,ab=2,得
原式=2×32=18.
12.1.22+2×1.2×6.7+6.72-2.12的值为( )
A.58 B.57 C.56 D.55
13.若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,则m的值为 ( )
A.6或-2 B.-2
C.6 D.-6或2
A
A
14.因式分解:
(1)x4-2x2+1;
(2)-x2y+6xy-9y;
(3)(a-b)(a-4b)+ab.
解:(1)原式=(x2-1)2
=(x+1)2(x-1)2;
(2)原式=-y(x2-6x+9)
=-y(x-3)2;
(3)原式=a2-4ab-ab+4b2+ab
=a2-4ab+4b2
=(a-2b)2.
15.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2,试判断△ABC的形状.
解:∵a2+c2=2ab+2bc-2b2,
∴a2+c2-2ab-2bc+2b2=0,
a2+b2-2ab+c2-2bc+b2=0,
即(a-b)2+(b-c)2=0,
∴a-b=0且b-c=0,
即a=b且b=c,
∴a=b=c.
故△ABC是等边三角形.
16.某同学碰到这么一道题“因式分解:a4+4”,不会做,去问老师,老师说:“能否变成平方差的形式 在原式加上4a2,再减去4a2,这样原式化为(a4+4a2+4)-4a2……”老师话没讲完,此同学恍然大悟,马上就做好了此题.你会吗 请完成此题.
解:a4+4
=(a4+4a2+4)-4a2
=(a2+2)2-(2a)2
=(a2+2+2a)(a2+2-2a)
=(a2+2a+2)(a2-2a+2).
17.先阅读材料,再解答下列问题.
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将x+y看成整体,
令x+y=m,
则原式=m2+2m+1
=(m+1)2,
再将m还原,得到原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是整体思想,请根据上面的方法将下面的式子分解因式:
(1)(a+b)(a+b-2)+1;
(2)(x2-2x-1)(x2-2x+3)+4.
解:(1)设a+b=n,则原式=n(n-2)+1
=n2-2n+1
=(n-1)2
=(a+b-1)2.
(2)设x2-2x=c,则原式=(c-1)(c+3)+4
=c2+2c+1
=(c+1)2
=(x2-2x+1)2
=[(x-1)2]2
=(x-1)4.
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14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式的乘法
单项式与单项式相乘
1.计算x2·4x3的结果是( )
A.x5 B.5x5 C.4x6 D.4x5
2.计算2ab2·(-3a4b)2的结果为( )
A.12a9b4 B.-12a7b4
C.18a9b4 D.18a7b4
D
C
3.计算(7.2×103)×(2.5×104)的结果用科学记数法表示正确的是( )
A.180 000 000 B.18×107
C.1.8×107 D.1.8×108
D
C
3
8
6.计算:(1)(2x)3(-5xy2);
解:(1)原式=8x3·(-5xy2)
=-40x4y2.
(3)原式=9a4b2·a8·(-b10)
=-9a4b2·a8·b10
=-9a12b12.
单项式与多项式相乘
7.计算3x(2x-5)的结果为( )
A.6x2-15x B.6x2+5
C.6x2+15x D.6x2-5x
8.-5xy(2y+x-8)=-10xy2-5x2y□,□内应填写( )
A.-10xy B.-5x2y
C.+40 D.+40xy
9.若长方形的长为4a2-2a+1,宽为2a,则其面积为 ( )
A.8a3-4a2+2a-1
B.8a3+4a2-2a-1
C.8a3-1
D.8a3-4a2+2a
A
D
D
11.若x2+2x=-1,则代数式6+x(x+2)的值为 .
12.计算:
(1)(-4x)·(2x2+3x-1);
(2)(6xy2-4x2y)·3xy;
5
解:(1)(-4x)·(2x2+3x-1)
=-8x3-12x2+4x.
(2)(6xy2-4x2y)·3xy
=18x2y3-12x3y2.
(3)(-3x2y)(-2xy+3yz+1);
(4)(x2+3x)-2(4x-x2).
解:(3)(-3x2y)(-2xy+3yz+1)
=6x3y2-9x2y2z-3x2y.
(4)(x2+3x)-2(4x-x2)
=x2+3x-8x+2x2
=3x2-5x.
13.计算(x3)2(x2+2x+1)的结果是( )
A.x4+2x3+x2 B.x5+2x4+x3
C.x8+2x7+x6 D.x8+2x4+x3
14.若8xa+5··(-0.25ya+5xb)=-2x4y3,则a-b的值为( )
A.-1 B.5
C.1 D.-5
15.已知a+b=4,b-c=-3,那么代数式ac+b(c-a-b)的值是( )
A.12 B.-12
C.7 D.-7
C
D
A
-36m6n3
17.如果(x2-a)x+x的展开式中只含有x3这一项,那么a的值为 .
18.(1)计算:a·a5+(2a2)3-2a·(3a5-4a3+a)-(-2a3)2;
1
解:(1)原式=a6+8a6-6a6+8a4-2a2-4a6
=-a6+8a4-2a2.
(2)已知n是正整数,且x3n=2,求(3x3n)3+(-2x2n)3的值.
解:(2)∵x3n=2,
∴(3x3n)3+(-2x2n)3
=33×(x3n)3+(-2)3×(x3n)2
=27×8+(-8)×4
=184.
19.已知-2x3m+1y2n与4x-3y4的积和-4x4y2是同类项.
(1)求m,n的值;
(2)先化简,再求值:5m3n·(-3n)2+(6mn)2·(-mn)-mn3·(-4m)2.
解:(1)-2x3m+1y2n·4x-3y4
=-8x3m-2y2n+4.
∵-8x3m-2y2n+4和-4x4y2是同类项,
∴3m-2=4,4+2n=2,解得m=2,n=-1.
(2)原式=5m3n·9n2+36m2n2·(-mn)-mn3·16m2
=45m3n3-36m3n3-16m3n3
=-7m3n3,
把m=2,n=-1代入,得原式=-7×8×(-1)=56.
20.阅读下列材料:
已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值.
分析:将x2y=3整体代入求解.
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)
=2x6y3-6x4y2-8x2y
=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y
=2×33-6×32-8×3
=-24.
请你用上述方法解决问题:
已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值.
解:(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)
=-4a3b3+6a2b2-8ab
=-4(ab)3+6(ab)2-8ab
=(-4)×33+6×32-8×3
=-108+54-24
=-78.
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14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
运用完全平方公式计算
1.计算(a+b)2的正确结果是( )
A.a2+b2 B.a2-b2
C.a2+b2+2ab D.a2-2ab+b2
2.式子(2a-b)(-b+2a)的运算结果是( )
A.4a2-4ab+b2 B.4a2+4ab+b2
C.2a2-b2 D.4a2-b2
C
A
4.如果(2a-5)2=4a2-10ka+25,那么k= .
5.已知ab=2,那么(a+b)2-(a-b)2的值是 .
B
2
8
解:(1)(3a-b)2
=(3a)2-2×3a×b+b2
=9a2-6ab+b2.
(3)(x-2y)(x+3y)+(x-y)2
=x2+3xy-2xy-6y2+x2-2xy+y2
=2x2-xy-5y2.
完全平方公式的灵活运用
7.已知a+b=5,ab=-2,则a2+b2的值为( )
A.21 B.23
C.25 D.29
8.若(ax+3y)2=4x2+12xy+by2,则( )
A.a=4,b=3 B.a=2,b=3
C.a=4,b=9 D.a=2,b=9
9.已知a-2b=10,则代数式a2-4ab+4b2的值为 .
10.若(x+k)2=x2+24x+k2,则k= .
D
D
100
12
11.运用公式简便计算.
(1)2 0222-4 044×2 023+2 0232;
(2)2012.
解:(1)原式=2 0222-2×2 022×2 023+2 0232
=(2 022-2 023)2
=1.
(2)原式=(200+1)2
=2002+2×200×1+12
=40 401.
12.若x+y=6,x2+y2=20,则x-y的值是( )
A.2 B.-2
C.4 D.±2
13.设(2a+3b)2=(2a-3b)2+A,则A等于( )
A.6ab B.12ab
C.0 D.24ab
14.如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a,b,那么(a+b)2的值是 .
D
D
25
(3)已知x2-5x=14,求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.
解:(3)(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1
=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1
=2x2-x-2x+1-x2-2x-1+1
=x2-5x+1.
∵x2-5x=14,
∴原式=14+1=15.
(2)若a=2 020,b=2 021,c=2 022,你能很快求出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值吗
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微专题三 幂的运算性质的运用
利用幂的运算性质计算
1.计算x2·x5的结果是( )
A.x10 B.x7
C.2x7 D.2x10
2.下列运算中,正确的是( )
A.a6÷a2=a4 B.a2+a3=a5
C.a·a3=a3 D.(a3)3=a6
B
A
3.计算(2x2)3+(-x6)的正确过程为( )
A.2x6+x6 B.8x5-x6
C.6x5-x6 D.8x6-x6
4.若27×9×3=3x,则x= .
5.若(x-5)x=1,则整数x的值可能为 .
D
6
0,4,6
6.计算:
(1)(-a2)3+(-a3)2-a2·a3;
(2)a·a2·a3+(a3)2-(2a2)3;
(3)-(-x2)3·(-x2)2-x·(-x3)3;
(4)(a2)5·(-a)4÷(-a2)3.
解:(1)(-a2)3+(-a3)2-a2·a3
=-a6+a6-a5=-a5.
(2)a·a2·a3+(a3)2-(2a2)3
=a6+a6-8a6=-6a6.
(3)-(-x2)3·(-x2)2-x·(-x3)3
=x6·x4+x10=2x10.
(4)(a2)5·(-a)4÷(-a2)3
=a10·a4÷(-a6)=a14÷(-a6)=-a8.
逆用幂的运算性质
C
-8
7.已知am=1,an=2,则am+2n的值是( )
A.2 B.1 C.4 D.5
8.计算:0.1252 022×(-8)2 023= .
9.已知ax=-2,ay=3.求:
(1)ax+y的值;
(2)a3x的值;
(3)a3x+2y的值;
解:(1)ax+y=ax·ay=-2×3=-6.
(2)a3x=(ax)3=(-2)3=-8.
(3)a3x+2y=a3x·a2y
=(ax)3·(ay)2
=(-2)3×32
=-8×9
=-72.
(4)a3x-2y的值.
10.已知16m=4×22n-2,27n=9×3m+3,求(n-m)2 023的值.
11.(1)若(9m+1)2=316,求正整数m的值.
(2)已知n为正整数,且x2n=2,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.
解:(1)∵(9m+1)2=(32m+2)2=34m+4=316,
∴4m+4=16,解得m=3.
(2)∵n为正整数,且x2n=2,
∴(3x3n)2-4(x2)2n
=9x6n-4(x2n)2
=9(x2n)3-4(x2n)2
=9×23-4×22
=9×8-4×4
=72-16
=56.
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第4课时 整式的除法
单项式除以单项式
1.计算(-3a2)2÷a2的结果是( )
A.-9a2 B.6a4 C.3a2 D.9a2
2.计算(9×108)÷(3×102)的结果是( )
A.3×104 B.3×106
C.6×104 D.6×106
D
B
D
4a2b2
5.计算:
(1)(-a2)3÷a÷a3;
(2)(-bc2)4÷(-bc2)2;
(3)8x3y3z÷(-2xy2).
解:(1)(-a2)3÷a÷a3
=-a6÷a÷a3
=-a2.
(2)(-bc2)4÷(-bc2)2
=(-bc2)2
=b2c4.
(3)8x3y3z÷(-2xy2)=-4x2yz.
多项式除以单项式
6.计算(-4x3+2x)÷2x结果正确的是( )
A.-2x2+1 B.2x2+1
C.-2x3+1 D.-8x4+2x
7.已知长方形的面积是9a2-3ab+6a3,长是3a,则它的宽是( )
A.3a2+b+2a B.b+3a+2a2
C.2a2+3a-b D.3a2-b+2a
8.已知被除式是x3+2x2-1,商式是x,余式是-1,则除式是( )
A.x2+3x-1 B.x2+2x
C.x2-1 D.x2-3x+1
A
C
B
9.计算:
(1)(15x2y-10xy2)÷5xy;
(2)(36x4y3-24x3y2+3x2y2)÷(-6x2y2);
(3)(15x3y5-10x4y4-20x3y2)÷(-5x3y2).
解:(1)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy
=3x-2y.
(3)原式=15x3y5÷(-5x3y2)-10x4y4÷(-5x3y2)-20x3y2÷(-5x3y2)
=-3y3+2xy2+4.
B
C
C
13.如果在计算(8a3b-4a2b2)÷4ab时,把括号内的减号不小心抄成加号,那么正确结果和错误结果的乘积是 .
14.先化简,再求值.
(1)[y(x-y)+x(x+y)-x2]÷(-y),其中x=-1,y=2;
解:(1)原式=(xy-y2+x2+xy-x2)÷(-y)
=(2xy-y2)÷(-y)
=-2x+y.
当x=-1,y=2时,
原式=-2x+y=-2×(-1)+2=4.
4a4-a2b2
15.数学课上老师出了一道题:
计算:
[8(a+b)5-4(a+b)4-(a+b)3]÷[2(a+b)3].
爱好数学的小明马上举手,下面是小明同学的解题过程:
[8(a+b)5-4(a+b)4-(a+b)3]÷[2(a+b)3]
=[8(a+b)5-4(a+b)4-(a+b)3]÷8(a+b)3
=(a+b)3-(a+b)-.
小亮也举起手,指出小明解题过程中的错误,老师肯定了小亮的回答.请指出小明错在哪里,并写出正确的解题过程.
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第2课时 多项式乘多项式
多项式乘多项式
1.下列多项式相乘的结果为x2-4x-12的是( )
A.(x+3)(x-4) B.(x+2)(x-6)
C.(x-3)(x+4) D.(x+6)(x-2)
2.计算(a+3)(-a+1)的结果是( )
A.-a2-2a+3 B.-a2+4a+3
C.-a2+4a-3 D.a2-2a-3
3.若m为常数,等式(x+2)(x-1)=x2+mx-2恒成立,则m的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B
A
A
4.计算:
(1)(3x+2)(x+2);
(2)(a-2b)(a2+2ab+4b2).
解:(1)(3x+2)(x+2)
=3x2+6x+2x+4
=3x2+8x+4.
(2)(a-2b)(a2+2ab+4b2)
=a3+2a2b+4ab2-2a2b-4ab2-8b3
=a3-8b3.
整式乘法的应用
A
6.用如图所示的正方形和长方形卡片若干张,拼成一个长为3a+2b,宽为a+b的长方形,需要B类卡片( )
A.3张 B.4张 C.5张 D.6张
7.如图所示,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间修建一座雕像,则绿化面积是 平方米.
C
(5a2+3ab)
8.小轩计算一道整式乘法的题:(2x+m)(5x-4).他将第一个多项式中的“+m”抄成“-m”,得到结果10x2-33x+20.
(1)求m的值;
解:(1)由题,知
(2x-m)(5x-4)
=10x2-8x-5mx+4m
=10x2-(8+5m)x+4m
=10x2-33x+20,
∴8+5m=33且4m=20,
解得m=5,
故m的值为5.
(2)请计算出这道题的正确结果.
解:(2)(2x+5)(5x-4)
=10x2-8x+25x-20
=10x2+17x-20.
9.观察下列两个多项式相乘的运算过程:
根据你发现的规律,知若(x+a)(x+b)=x2-7x+12,则a,b的值可能分别是( )
A.-3,-4 B.-3,4
C.3,-4 D.3,4
10.设M=(x-3)(x-7),N=(x-2)(x-8),则M与N的大小关系为( )
A.MN
C.M=N D.不能确定
11.已知(x-1)(y-1)=8,x+y=8,那么xy= .
公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的应用
A
B
15
12.某同学粗心大意,计算多项式乘法时,把等式(x2+2x+4)(x-▲)=x3-■中的两个数弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数是( )
A.20,5 B.16,4 C.13,3 D.8,2
13.若ab=a+b+1,则(a-1)(b-1)= .
14.已知(x+a)(x+b)=x2+mx+12,m,a,b都是整数,则m的可能值有 个.
D
2
6
17.请阅读以下材料:
[例题]若x=12 349×12 346,y=12 348×12 347,试比较x,y的大小.
解:设12 348=a,那么x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a.
∵x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2<0,
∴x我们把这种方法叫做换元法.
请仿照例题比较x,y的大小.
x=997 657×997 655,y=997 653×997 659.
解:令m=997 653,b=997 655,
则x=(m+4)b=mb+4b,
y=m(b+4)=mb+4m.
∵x-y=(mb+4b)-(mb+4m)=4(b-m)=4×2=8>0,
∴x>y.
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第十四章 章末复习
1.(2022金华)计算a3·a2的结果是( )
A.a B.a6 C.6a D.a5
2.(2022毕节)计算(2x2)3的结果,正确的是( )
A.8x5 B.6x5
C.6x6 D.8x6
3.(2022包头)若24×22=2m,则m的值为( )
A.8 B.6
C.5 D.2
4.(2022常州)计算:m4÷m2= .
D
D
B
幂的运算
m2
5.(2022黔西南)计算(-3x)2·2x正确的是( )
A.6x3 B.12x3
C.18x3 D.-12x3
6.(2021兰州)计算:a2(a-2b)=( )
A.a3-a2b B.a3-2a2b
C.a3-2ab2 D.a3-a2b2
7.(2021荆州)若等式2a2·a+□=3a3成立,则□中填写的单项式是( )
A.a B.a2
C.a3 D.a4
整式的乘法及乘法公式
C
B
C
8.(2022赤峰)已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2-4x+3的值为( )
A.13 B.8 C.-3 D.5
9.(2022遵义)已知a+b=4,a-b=2,则a2-b2的值为 .
10.(2022滨州)若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为 .
11.(2022大庆)已知代数式a2+(2t-1)ab+4b2是一个完全平方式,则实数t的值为 .
A
8
90
12.(2022六盘水)如图所示,学校劳动实践基地有两块边长分别为a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用区域的面积为M.
(1)用含a,M的代数式表示A中能使用区域的面积: ;
(2)若a+b=10,a-b=5,求A比B多出的能使用面积.
解:(1)a2-M
(2)A比B多出的能使用面积为
(a2-M)-(b2-M)
=a2-b2
=(a+b)(a-b)
=10×5
=50.
答:A比B多出的能使用面积为50.
13.(2022河北)发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证 如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和;
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
解:验证 10的一半为5,
5=1+4=12+22.
探究 (m+n)2+(m-n)2
=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2),
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
14.(2022河北)计算a3÷a得a ,则“ ”是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
15.(2022聊城)下列运算正确的是( )
A.(-3xy)2=3x2y2
B.3x2+4x2=7x4
C.t(3t2-t+1)=3t3-t2+1
D.(-a3)4÷(-a4)3=-1
整式的除法
C
D
16.(2020武汉)计算:[a3·a5+(3a4)2]÷a2.
解:[a3·a5+(3a4)2]÷a2
=(a8+9a8)÷a2
=10a8÷a2
=10a6.
17.(2022济宁)下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2-x-1=x(x-1)-1
B.x2-1=(x-1)2
C.x2-x-6=(x-3)(x+2)
D.x(x-1)=x2-x
18.(2022河池)多项式x2-4x+4因式分解的结果是( )
A.x(x-4)+4 B.(x+2)(x-2)
C.(x+2)2 D.(x-2)2
19.(2022黔东南)分解因式:
2 022x2-4 044x+2 022= .
20.(2022广安)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为 .
因式分解
C
D
2 022(x-1)2
10
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第2课时 添括号法则
添括号法则
1.下列各式成立的是( )
A.a-b+c=a-(b+c)
B.a+b-c=a-(b-c)
C.a-b-c=a-(b+c)
D.a-b+c-d=(a+c)-(b-d)
2.下列关于(2x-y+1)2的变形错误的是 ( )
A.[(2x-y)+1]2 B.[2x-(y+1)]2
C.[2x-(y-1)]2 D.[(2x+1)-y]2
C
B
3.已知2a-3b2=5,那么10-2a+3b2=10-( )= .
4.在括号里填上适当的式子.
(1)a-b+c-d=a+( );
(2)a-b+c-d=a-( );
(3)a-2b+c+d=a-( );
(4)x2-y2-x-y=x2-x-( ).
2a-3b2
5
-b+c-d
b-c+d
2b-c-d
y2+y
添括号后运用乘法公式运算
5.如果(2a+2b+1)(2a-1+2b)=63,那么a+b的值为( )
A.±4 B.64 C.32 D.±8
6.计算:(1)(3a-2b+1)(3a+2b-1);
A
解:(1)(3a-2b+1)(3a+2b-1)
=[3a-(2b-1)][3a+(2b-1)]
=(3a)2-(2b-1)2
=9a2-4b2+4b-1.
(2)(x+y+z)(x+y-z)-(x+y+z)2.
解:(2)(x+y+z)(x+y-z)-(x+y+z)2
=(x+y)2-z2-[(x+y)+z]2
=(x+y)2-z2-[(x+y)2+2z(x+y)+z2]
=(x+y)2-z2-(x+y)2-2z(x+y)-z2
=-2z2-2xz-2yz.
7.将多项式2ab+9a2-5ab-4a2中的同类项结合在一起,正确的是( )
A.(9a2+4a2)+(-5ab-2ab)
B.(9a2+4a2)-(2ab-5ab)
C.(9a2-4a2)+(2ab-5ab)
D.(9a2-4a2)-(2ab+5ab)
8.当x=1时,ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)(1-a-b)的值为( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
C
A
9.将式子4x+(3x-x)=4x+3x-x,4x-(3x-x)=4x-3x+x分别反过来,你得到两个怎样的等式
(1)比较得到的等式,你能总结出添括号的法则吗
解:得到等式4x+3x-x=4x+(3x-x),
4x-3x+x=4x-(3x-x).
(1)添括号的法则为添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
(2)根据上面你总结出的添括号法则,不改变多项式-3x5-4x2+3x3-2的值,把它的后两项放在:
①前面带有“+”的括号里;
②前面带有“-”的括号里.
(3)说出(2)中的多项式是几次几项式,并按x的降幂排列.
解:(2)①-3x5-4x2+3x3-2=-3x5-4x2+(3x3-2).
②-3x5-4x2+3x3-2=-3x5-4x2-(-3x3+2).
(3)多项式为五次四项式,
按x的降幂排列为-3x5+3x3-4x2-2.
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