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第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
轴对称图形
1.北京2022年冬奥会会徽(冬梦),是第24届冬季奥林匹克运动会使用的标志,主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志组成,组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是( )
D
A B C D
2.下列各图形均是由边长为1的小正方形组成的,其中不是轴对称图形的是( )
A
A B C D
C
A.l1
B.l2
C.l3
D.l4
成轴对称
4.将一张矩形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B”,再把它铺平,你可能看到( )
C
A B C D
5.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向,下列图中两个“E”不成轴对称的是( )
D
A B C D
6. 如图所示.
其中,轴对称图形有 ,与甲成轴对称的图形有 .
甲、乙、丙、丁
丁
7.观察如图所示的各种图形,说明哪些图形放在一起可成轴对称.
解:(1)和(6),(2)和(4),(9)和(10)可成轴对称.
轴对称(图形)的性质
8.如图所示,△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称,∠BCA=35°,∠D=80°,则∠BAD的度数为( )
A.170°
B.150°
C.130°
D.110°
9.下列说法不正确的是( )
A.两个关于某直线对称的图形一定全等
B.对称图形的对称点一定在对称轴的两侧
C.两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴
D.平面上两个全等的图形不一定关于某直线对称
C
B
10.如图所示,若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称,BB1交MN于点O,则下列说法不一定正确的是( )
A.AC=A1C1
B.BO=B1O
C.CC1⊥MN
D.AB∥B1C1
D
11.在△ABC中,将∠B,∠C按如图所示方式折叠,点B,C均落在边BC上的点G处,线段MN,EF为折痕.若∠A=80°,则∠MGE的度数为( )
A.50° B.90°
C.40° D.80°
12.如图所示,P在∠AOB内,点C,D分别是点P关于AO,BO的对称点.如果△PMN的周长为12,那么CD的长为( )
A.6 B.12
C.15 D.18
D
B
13.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,点A与点E关于直线CD对称.若AB=8 cm, AC=10 cm,BC=14 cm,则△DBE的周长为 .
14.如图所示,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种.
12 cm
5
15.如图所示,已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠D=130°, ∠A+∠B=155°,AD=4 cm,EF=5 cm.
(1)求出AB,EH的长度以及∠G的度数.
(2)连接AE,DH,AE与DH平行吗 为什么
解:(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴∠C=360°-155°-130°=75°.
∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,
∴AB=EF=5 cm,EH=AD=4 cm,∠G=∠C=75°.
(2)AE∥DH.
理由如下:∵点A,E关于MN对称,点D,H关于MN对称,
∴MN⊥AE,MN⊥DH,
∴AE∥DH.
16.如示例图所示,将4×4的网格沿格线划分成两个全等的图形,请再用另外3种方法将4×4的网格沿格线划分成两个全等图形.(约定某两种可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法)
解:如图所示.(答案不唯一)
示例图
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质及判定
1.如图所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,已知线段PA=5,则线段PB的长度为( )
A.6 B.5
C.4 D.3
B
2.如图所示,AC=AD,BC=BD,则有( )
A.AB与CD互相垂直平分
B.CD垂直平分AB
C.AB垂直平分CD
D.CD平分∠ACB
3.如图所示,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交AB于点M,交AC于点D,△BDC的周长为18,则AC= .
C
10
19
5.如图所示,AB=AE,BC=ED,AF是CD的垂直平分线.求证:∠B=∠E.
证明:如图所示,连接AC,AD.
∵AF是CD的垂直平分线,
∴AC=AD.
又∵AB=AE,BC=ED,
∴△ABC≌△AED(SSS),
∴∠B=∠E.
6.如图所示,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.
线段垂直平分线(对称轴)的尺规作图
7.如图所示,△ABC与△A′B′C′关于某直线对称,请你作出它们的对称轴.
解:(1)如图所示,连接BB′;
(3)过点D,E作直线,直线DE就是所求作的对称轴.
8.河边有两个村庄A,B,要在河岸CD上建一自来水厂P,使水厂到A,B两村的距离相等,请找出点P的位置.
解:∵点P到A,B两村的距离相等,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,即线段AB的垂直平分线与CD的交点,
如图所示,点P即为所求.
D
10.如图所示,AB的垂直平分线l交AB于点M,P是l上一点,PB平分∠MPN.若AB=2,则点B到直线PN的距离为 .
11.如图所示,点P是∠AOB外的一点,点M,N分别是∠AOB两边上的点,点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上,点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM=3 cm,PN=4 cm,MN=4.5 cm,则线段QR的长为 .
1
5.5 cm
12.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,点E在AC的垂直平分线上,且BD=DE.
(1)如果△ABC的周长为13 cm,AC=6 cm,那么△ABE的周长= cm;
(2)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长 请证明你的结论.
解:(1)7
(2)AB+BD=DC.
证明如下:∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AB=AE,BD=DE.
∵点E在AC的垂直平分线上,
∴AE=CE,∴AB+BD=AE+DE=DC.
13.作图题:(1)在图①中,画出△CDE关于直线AB的对称图形
△C′D′E′;
(2)在图②中,已知∠AOB和C,D两点,在∠AOB内部找一点P,使
PC=PD,且点P到∠AOB的两边OA,OB的距离相等.
解:(1)如图①所示,△C′D′E′即为所求.
(2)如图②所示,连接CD,作线段CD的垂直平分线MN,∠AOB的平分线OQ,直线MN与OQ交于点P,点P即为所求.
14.如图所示,已知△ABC的边BC的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC于点G,求证:
(1)BF=CG;
(2)AB+AC=2AG.
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第十三章 章末复习
轴对称
1.(2021陕西)下列各选项中,两个三角形成轴对称的是( )
A
A B C D
2.(2022福建改编)美术老师让同学们设计窗花,下列作品为轴对称图形的是( )
A
A B C D
3.(2021荆州)若点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示为( )
C
A B C D
4.(2021淄博)在直角坐标系中,点A(3,2)关于x轴的对称点为A1,将点A1向左平移3个单位长度得到点A2,则A2的坐标为 .
(0,-2)
线段的垂直平分线
C
6.(2021河北)如图所示,直线l,m相交于点O,P为这两条直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是( )
A.0 B.5
C.6 D.7
B
7.(2022青海)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 .
40°
8.(牡丹江中考)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜边AB,分别交AB,BC于点D,E.若∠CAB= ∠B+30°,求∠AEB的度数.
解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴∠EAB=∠EBA.
∵∠CAB=∠B+30°,
∠CAB=∠CAE+∠EAB,
∴∠CAE=30°.
∵∠C=90°,
∴∠AEC=60°,∴∠AEB=120°.
等腰三角形的性质和判定
9.(2022鞍山)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( )
A.39° B.40°
C.49° D.51°
10.(2022泰安)如图所示,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°.则∠2的度数是( )
A.70° B.65°
C.60° D.55°
A
A
11.(2022滨州)如图所示,屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC= 120°,则∠C的大小为 .
12.(2022苏州)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为 .
13.(2021牡丹江)过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为 .
30°
6
36°或45°
14.(2022温州)如图所示,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB.
∴∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.
(2)解:CD=ED.理由如下:
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE,
∴CD=BE.
由(1),得∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,∴CD=ED.
等边三角形及含30°角的直角三角形的性质
15.(2022海南)如图所示,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是( )
A.80° B.100°
C.120° D.140°
16.(2021广州)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 .
B
2
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13.3.2 等边三角形
等边三角形的性质和判定
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若△ADE是等边三角形,AD=2,BD= 3,则△ABC的周长为( )
A.6 B.9
C.15 D.18
C
2.如图所示,直线a,b分别经过等边三角形ABC的顶点A,C,且a∥b,若∠1=42°,则∠2的度数为( )
A.18° B.42°
C.60° D.102°
3.木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图所示,衣架杆OA=OB=18 cm,若衣架收拢时,∠AOB =60°,则此时A,B两点之间的距离是 cm.
D
18
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△CAP和△CBQ都是等边三角形,BQ和CP交于点H,求证:BQ⊥CP.
证明:∵△CAP和△CBQ都是等边三角形,
∴∠ACP=∠CBQ=60°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=30°.
在△BCH中,∠BHC=180°-∠BCH-∠CBH=180°-30°-60°=90°,
∴BQ⊥CP.
5.如图所示,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,求证:△DEF是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质
6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,交BC于点E,AE=6 cm,则AC等于( )
A.6 cm B.5 cm
C.4 cm D.3 cm
7.一个直角三角形房梁的示意图如图所示,其中BC⊥AC,∠A=30°,AB=10 m,CD⊥AB,垂足为
D,那么BD= m.
D
8.如图所示,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则
OM= .
5
9.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,边AC上的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD.
(1)求∠BCD的度数;
解:(1)∵DE垂直平分线段AC,
∴CD=AD,DE⊥AC,
∴∠A=∠DCA=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=90°-30°=60°.
(2)若DE=3,求AB的长.
10.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP的长不可能是( )
A.3 B.4.2
C.5.8 D.7
11.如图所示,在等边三角形ABC中,D为BC边上的中点,以A为圆心,AD为半径画弧,与AC边交于点E,则∠DEC的度数为( )
A.60° B.75°
C.105° D.115°
D
C
12.如图所示,在等边三角形ABC中,D为AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点
E.若AF=3,则线段BE的长为 .
13.如图所示,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE相交于点F,则∠DFC的度数为 .
60°
14.如图所示,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴∠DEC=60°,∴△EDC是等边三角形,∴ED=DC=2.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4.
15.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4 cm,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别在AB,BC边上匀速移动,它们的速度分别为vP=2 cm/s,vQ=1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.
(1)当t= 时,△PBQ为等边三角形.
(2)当t= 时,△PBQ为直角三角形.
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13.2 画轴对称图形
作轴对称图形
1.下面是四位同学作△ABC关于直线MN成轴对称的图形,其中正确的是( )
B
2.按要求作图,保留作图痕迹,不写作法:如图所示,点D在直线l上,作出四边形ABCD关于直线l对称的四边形.
解:如图所示,四边形A′B′C′D即为所求.
3.如图所示是由三个小正方形组成的图形,请你在图中补画一个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形.(画出一个即可)
解:如图所示.(答案不唯一)
4.如图所示,网格中每个小正方形的顶点叫做格点,线段AB的端点在格点上.按要求以线段AB为边或对角线,分别在两网格中作两个不全等四边形:
(1)四边形顶点在格点上;
(2)四边形为轴对称图形.
解:答案不唯一.
(1)如图①所示,四边形ABCD即为所求作.
① ②
①
(2)如图②所示,四边形AEBF即为所求作.
②
用坐标表示轴对称
5.已知点P(a,-2)与点Q(-3,-2)关于y轴对称,则a的值为( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
6.已知点P(3,2x-4)关于x轴的对称点在第一象限,则x的取值范围是( )
A.x>2 B.x<2
C.x>0 D.x<0
7.若点A(a,-1)与点B(2,b)关于y轴对称,则点(a,b)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.若点A(m,n)与点B(3,2)关于x轴对称,则m+n的值为 .
9.在平面直角坐标系中,将点A(-5,-3)向右平移 8个单位长度得到点B,则点B关于y轴的对称点C的坐标是 .
A
B
C
1
(-3,-3)
10.如图所示,方格图中每个小正方形的边长为1,点A,B,C都在格点上.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1;
(2)求AA1的长度.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)由图,得AA1=10.
11.若点M(a-1,-3)在第四象限,点N(-2,b-1)在第二象限,则点P(b,-a)关于x轴的对称点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图所示,棋盘中心方子的位置用(-1, 0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形,则她放的位置是( )
A.(-2,1)
B.(-1,1)
C.(1,-2)
D.(-1,-2)
13.已知点P(1-a,a+2)关于y轴的对称点在第二象限,则a的取值范围是 .
A
B
-2
14.在如图所示平面直角坐标系中:
(1)画出△ABC,其中A(1,-2),B(-2,4),C(2,2);
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(其中A1,B1,C1分别为A,B,C的
对称点);
(3)求△ABC与△A1B1C1重合部分的面积.
解:(1)△ABC如图所示.
(2)△A1B1C1如图所示.
15.如图所示,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A的坐标是(-2,3),则第2 021次变换后点A的对应点的坐标为 .
(2,3)
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第2课时 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
1.下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=30°,∠B=60°
B.∠A=40°,∠B=80°
C.∠A=50°,∠B=65°
D.∠A=60°,∠B=70°
2.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,AB=3,则AC的长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
C
B
3.在△ABC中,∠A的相邻外角是80°,要使△ABC为等腰三角形,则∠B为( )
A.80° B.40°
C.100° D.100°或40°
4.如图所示,∠A=36°,∠C=72°,BE为∠ABC的平分线,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数有( )
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
B
B
证明:∵AB∥DE,
∴∠DEC=∠B.
∵∠B=∠C,
∴∠DEC=∠C,
∴DE=DC,
∴△DEC是等腰三角形.
5.如图所示,已知∠B=∠C,AB∥DE,DE交BC于点E.求证:△DEC是等腰三角形.
等腰三角形的判定和性质的综合运用
6.如图所示,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,连接BE,则下列结论一定正确的是( )
A.∠EBC=∠BAC B.∠EBC=∠ABE
C.BE=EC D.BC=CE
7.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC,AB=7 cm,BD=3 cm,则△BDE的周长为( )
A.13 cm B.10 cm
C.4 cm D.7 cm
A
B
8.如图所示,BD平分∠ABC,DE∥BC交BA于点E,若DE=1,则EB= .
1
解:∵AB=5,AE=2,∴BE=5-2=3.
∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠CBD.
∵DE∥BC,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠EBD,∴ED=BE=3.
9.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥BC交AB于点E,AB=5,AE=2,求ED的长度.
10.下列给出的5个图中,能判定△ABC是等腰三角形的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
11.如图所示,在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,过点D作直线平行于BC,分别交AB,AC于点E,F,AB=5,AC=7,BC=8,则△AEF的周长为( )
A.13 B.12
C.15 D.20
12.在△ABC中,∠A=40°,当∠C= 时,△ABC为等腰三角形.
B
40°,70°或100°
(1)解:∵DE垂直平分AB,
∴DB=DA,∴∠B=∠DAB.
∵∠B=40°,∴∠B=∠DAB=40°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=80°.
13.如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,∠B=40°,边AB的垂直平分线与边AB交于点E,与边BC交于点D,连接AD.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求证:△ACD为等腰三角形.
(2)证明:∵∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-40°=80°,∠ADC=80°,
∴∠DAC=∠ADC,∴CA=CD,
∴△ACD为等腰三角形.
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,作∠BCF=45°,交边AB于点F,作∠CFE=∠AFC,交边BC于点E,过点E作ED⊥CA于点D,ED交CF于点G.
求证:EF=EG.
证明:∵∠A=90°,∴CA⊥AB.
∵ED⊥CA,∴ED∥AB,
∴∠DGC=∠AFC.
∵∠EGF=∠DGC,∠CFE=∠AFC,
∴∠EGF=∠CFE,∴EF=EG.
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点P在边BC上运动(点P不与点B,C重合),连接AP,作∠APQ=∠B,PQ交AB于点Q.
(1)当PQ∥CA时,判断△APB的形状,并说明理由.
解:(1)△APB是直角三角形.
理由如下:∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=30°=∠B=∠APQ.
∵PQ∥AC,∴∠BPQ=∠C=30°,
∴∠APB=60°,∴∠BAP=90°,
∴△APB是直角三角形.
解:(2)可以.当AQ=QP时,
∠QAP=∠APQ=30°,
∴∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°;
当AP=PQ时,∠AQP=∠PAQ=75°,
∴∠BQP=105°;
当AQ=AP时,∠AQP=∠APQ=30°,
而点P不与点B,C重合,
∴此时的点P不存在.
综上所述,∠BQP的度数为60°或105°.
(2)在点P的运动过程中,△APQ的形状可以是等腰三角形吗 若可以,求∠BQP的度数;若不可以,请说明理由.
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微专题二 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质的运用
1.(2022宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是( )
A.8 cm B.13 cm
C.8 cm或13 cm D.11 cm或13 cm
2.如图所示,甲、乙二人同时从A地出发,甲沿北偏东50°方向行走200 m后到达B地,然后立即向正东方向行走200 m,二人恰好在C地相遇,若乙中途未改变方向,则乙的行走方向为( )
A.北偏东30°
B.北偏东40°
C.北偏东70°
D.无法确定
D
C
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,连接CF.
(1)求证:∠ABF=∠ACF;
(1)证明:∵AD⊥BC,AB=AC,
∴CD=BD,∠ABC=∠ACB,∴BF=CF,
∴∠CBF=∠BCF,
∴∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF,
∴∠ABF=∠ACF.
(2)若∠BAC=48°,求∠CFE的度数.
(2)解:∵AB=AC,∠BAC=48°,
∴∠ABC=∠ACB=66°.
∵BE⊥AC,∴∠ABF=90°-∠BAC=42°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°.
由(1)得∠CBF=∠BCF,
∴∠BCF=∠CBF=24°,
∴∠CFE=∠CBF+∠BCF=48°.
等腰三角形判定的运用
4.如图所示,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=36°,点D,E在AB上,如果BC=BD,∠CED= ∠CDE,那么图中的等腰三角形共有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
5.如图所示,在△ABC中,BC=5 cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 cm.
B
5
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC边上的点,并且MN∥BC.
(1)求证:△AMN是等腰三角形;
(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,求证:△BPM是等腰三角形.
证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,
∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形.
(2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP.
∵MN∥BC,
∴∠MPB=∠CBP,∴∠MBP=∠MPB,
∴MB=MP,∴△BPM是等腰三角形.
等边三角形性质和判定的运用
7.如图所示,△ABD,△AEC都是等边三角形,则∠BOC的度数是( )
A.135° B.125°
C.120° D.110°
8.如图所示,在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,垂足为E,△BDE是等边三角形,若AD=4,则线段BE的长为 .
C
4
9.如图所示,在等边三角形ABC中,点E为AB的中点,点D在CB的延长线上,且AE=BD,连接DE,CE.求证:EC=ED.
10.如图所示,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.
(1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数;
(2)写出∠BEC与∠BDC之间的数量关系,并说明理由.
解:(2)∠BEC+∠BDC=110°.
理由如下:
设∠BEC=α,∠BDC=β.
∵∠BEC是△ABE的外角,∴α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE.
∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE.
在△BDC中,BD=BC,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,
∴β=70°-∠ABE,∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°,
∴∠BEC+∠BDC=110°.
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13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的定义及性质
等边对等角
1.若等腰三角形的顶角为80°,则该等腰三角形底角的度数是( )
A.40° B.50°
C.60° D.80°
2.若等腰三角形的底边长是10,则其腰长可以是( )
A.1 B.3
C.5 D.7
B
D
3.(2022淄博)某城市几条道路的位置关系如图所示,道路AB∥CD,道路AB与AE的夹角∠BAE= 50°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为( )
A.23° B.25°
C.27° D.30°
4.如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC= .
B
69°
解:∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=70°.
∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,
∴∠DBA=∠A=40°,∴∠DBC=30°.
∵AB=AC,AB=10,DC=3,
∴BD=DA=10-3=7.
5.如图所示,已知AB=AC,∠A=40°,AB=10,DC=3,AB的垂直平分线MN交AC于点D,求∠DBC的度数、线段BD的长度.
三线合一
6.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是( )
A.过顶点的直线
B.底边的垂线
C.顶角的平分线所在的直线
D.腰上的高所在的直线
7.如图所示,在△ABC中,∠B=36°,AB=AC,AD是△ABC的中线,则∠BAD的度数是( )
A.36° B.54°
C.72° D.108°
C
B
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,BC=8,则△ABD的周长为( )
A.12 B.10
C.8 D.6
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,若AD=6,CD=4,则△ABC的面积是 .
A
24
(1)证明:如图所示,连接AE.
∵EF垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵BE=AC,∴AE=AC.
∵D是EC的中点,∴AD⊥BC.
10.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,BE= AC.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)解:设∠B=x°.
∵AE=BE,∴∠BAE=∠B=x°.
∴由三角形的外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,∴∠C=∠AEC=2x°.
在△ABC中,3x°+75°=180°,
∴x°=35°,∴∠B=35°.
(2)若∠BAC=75°,求∠B的度数.
C
C
13.(易错题)等腰三角形的一个内角是70°,则底角的度数是( )
A.70° B.70°或40°
C.70°或55° D.55°
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC=12,点E在边AC上,AE的垂直平分线交BC于点D,若∠ADE= ∠B,CD=3BD,则CE= .
C
4
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,P为AD上的一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,求证:PE=PF.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,即∠EAP=∠FAP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴PE=PF.
16.已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图所示,若点D在线段BC上,点E在线段AC上,∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α,β之间的关系式是 .
解:(1)α=2β
解:(2)存在.①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上时,如图①所示,
设∠ABC=x,∠ADE=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y.
∵∠ADC=x+α=β-y,
在△DEC中,x+y+β=180°,
∴α=2β-180°.
(2)是否存在不同于(1)中的α,β之间的关系式 若存在,求出这个关系式;若不存在,请说明理由.
②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上时,如图②所示,
同①的方法,得α=180°-2β.
综上所述,α=2β-180°或α=180°-2β.
①
②
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13.4 课题学习 最短路径问题
最短路径问题及应用
1.如图所示,在正方形网格中有M,N两点,在直线l上选一点P,使PM+PN最短,则点P应选在
( )
A.点A处 B.点B处
C.点C处 D.点D处
C
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=3,S△ABC=6,AD⊥BC于点D,EF是AB的垂直平分线,交AB于点E,交AC于点F,在EF上确定一点P,使PB+PD最小,则这个最小值为( )
A.3.5 B.4
C.4.5 D.5
3.在平面直角坐标系中有A,B两点,要在y轴上找一点C,使点C到A,B两点的距离之和最小,下列作图正确的是( )
B
C
A B C D
4.如图所示,在等边三角形ABC中,BC边上的高AD=7,E是高AD上的一个动点,F是边AB的中点,在点E运动的过程中,EB+EF存在最小值,则这个最小值是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的值最小,则这个最小值为 .
C
6
6.如图所示,需要在公路旁边修建一个飞机场,使飞机场到A,B两个城市的距离之和最小,请在图中标出飞机场的位置P.(不写作法,但保留作图痕迹)
解:如图所示,点P即为所求.
7.如图所示,某班举行文艺晚会,桌子摆成两条直线OA,OB,OA桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果,然后回到座位,请你帮他设计路线,使其行走的总路程最短.(保留作图痕迹)
解:如图所示,当小明所走的路线为CM-MN-NC时,总路程最短.
8.如图所示,∠AOB=50°,点P为∠AOB内一点,点M,N分别在OA,OB上,当△PMN的周长最小 时,∠MPN的度数是( )
A.50° B.65°
C.80° D.130°
9.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为6,面积是36,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A.6 B.10
C.15 D.16
C
C
10.如图所示,点E在等边三角形ABC的边BC上,BE=8,射线CD⊥BC于点C,P是射线CD上一动点, F是线段AB上一动点,当EP+PF的值最小时,BF=9,则AC的长为 .
13
11.如图所示,在平面直角坐标系内,有A(-5,4),B(3, 0),C(2,3)三点,按下列要求解答.
(1)如图①所示,在x轴上标出点D的位置,使AD=BD,直接写出点D的坐标;
(2)如图②所示,在x轴上标出点E的位置,使AE+CE最短,直接写出点E的坐标.
解:(1)如图①所示,点D即为所求,D(-2,0).
(2)如图②所示,点E即为所求,E(-1,0).
①
②
①
②
12.如图所示,草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角,牧马人让马从A地出发,先到草地吃草,然后去河边饮水,最后回到A地.已知OA=2 km,请在图中设计一条路线,使牧马人和马所走的路径最短,并求出整个过程所走的路程.
解:如图所示,分别作出点A关于OM,ON的对称点B,C,连接BC,交OM,ON于点D,E,连接OB,OC, AD,AE,则AD-DE-EA即为所求的路径.
由题意,得OB=OA=OC=2 km,
AD=BD,EA=EC,
∠BOD=∠AOD,∠COE=∠AOE,
∴∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=2∠DOE=2×30°=60°,
∴△OBC为等边三角形,∴BC=2 km,
∴AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=2 km.故牧马人和马所走的最短路程为2 km.
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