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3 从统计图分析数据的集中趋势
1.条形统计图能够清楚地表示出每个项目的具体数目,直条越高,对应的具体数目就越多,故利用条形统计图容易得出数据的 ,利用加权平均数可以求出数据的平均数.
2.折线统计图能够表示出数据的变化趋势,利用折线统计图比较容易得出数据的众数,也比较容易求出数据的 .
3.扇形统计图能直观地表示出各部分在总体中所占百分比,扇形面积越大,则对应部分所占的比例越大,故利用扇形统计图容易得出数据的 ,利用加权平均数可以求出数据的 .
众数和中位数
中位数和平均数
众数
平均数
从条形统计图中获取信息
[典例1]甲、乙、丙三个小组生产帐篷,已知女工人3人每天共生产4顶帐篷,男工人2人每天共生产3顶帐篷.如图是描述三个小组一天生产帐篷情况的统计图,从中可以得出人数最多的小组是 ( )
A.甲组
B.乙组
C.丙组
D.乙、丙两组
C
[变式]为了解全班50名同学对新闻、体育、动画、戏剧四类电视节目的喜爱情况,对他们最喜爱的电视节目进行问卷调查后(每人选一种),绘制了如图的条形统计图,根据图中的信息,学生最喜欢的电视节目是( )
A.新闻 B.体育
C.动画 D.戏剧
D
从折线统计图中获取信息
[典例2] (2023安徽模拟)如图是某商品1～4月份单个的进价和售价的折线统计图,则售出该商品单个利润最大的是( )
A.1月 B.2月
C.3月 D.4月
B
(1)折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.
(2)绘制折线统计图的步骤:①根据统计资料整理数据;②纵轴、横轴都要有单位;③根据数量的多少,在纵、横轴的恰当位置描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来.
从扇形统计图中获取信息
[典例3]某校七(1)班体育委员对本班60名同学参加球类项目的情况做了统计(每人选一种),绘制成如图统计图,已知“羽毛球”所在扇形的圆心角度数为72°,则该班参加乒乓球和羽毛球项目的人数总和为( )
A.20人 B.25人
C.30人 D.35人
C
(1)从扇形统计图上可以清楚地看出各部分数量与总数量之间的关系.
(2)制作扇形统计图的步骤:①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数,再算出各部分圆心角的度数;②按比例取适当半径画一个圆,按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各扇形圆心角的度数;③在各扇形内写上相应的名称及百分数,并用不同的标记把各扇形区分开.
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第六章 数据的分析
1 平均数
算术平均数
平均水平
重要程度
权
加权平均数
权
算术平均数
[典例1] (2023安徽)若数据a1,a2,a3的平均数是6,则数据2a1,2a2,2a3的平均数是 .
[变式1]如图,A,B,C三个人围成一个三角形做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个实数,并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人,然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来.若A,B,C三人报出的数字分别为3,6,7,则A心里想的数是( )
A.2 B.4
C.10 D.12
12
C
加权平均数
[典例2] (2023广州模拟)某校为推荐一项作品参加人工智能的“思创杯”比赛,对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分,具体成绩(满分100)如表,如果按照创新性占60%,实用性占40%计算总成绩,并根据总成绩择优推荐,那么应推荐的作品是( )
B
作品 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
(1)权的表现形式,一种是比的形式,如4∶3∶2,另一种是百分比的形式,如创新占50%,综合知识占30%,语言占20%,权的大小直接影响结果.
(2)数据的权能够反映数据的相对“重要程度”,要突出某个数据,只需要给它较大的“权”,权的差异对结果会产生直接的影响.
[变式2]某班评选一名优秀学生干部,下表是班长和团支部书记的得分情况:
项目 班长 团支部书记
思想表现 24 26
学习成绩 26 24
工作能力 28 26
假设在评选优秀干部时,思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3∶3∶4,通过计算比较,你认为谁会当选
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4 数据的离散程度
第1课时 极差、方差、标准差
1.极差
一组数据中 与 的差称为极差.
2.方差与标准差
最大数据
3.极差、方差和标准差都是描述一组数据 的统计量,一般而言,一组数据的极差、方差或标准差 ,这组数据就越稳定.
最小数据
平均数
平均数
算术平方根
离散程度
越小
极差
[典例1] (2023苏州期中)苏州某地2022年十月国庆期间每日最高气温如表:
26 ℃
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
气温(单位:℃) 33 38 38 17 12 12 18
则这组数据的极差是 .
(1)极差是刻画数据离散程度的一个统计量.它只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况.
(2)极差的优势在于计算简单,但它受极端值的影响较大.
[变式]下列各量中,不能反映数据集中趋势的量是( )
A.平均数 B.中位数
C.极差 D.众数
C
方差
C
方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则数据的离散程度越大,稳定性也越差;反之,数据的离散程度越小,稳定性越好.
标准差
[典例3] (2023江西一模)某学校学生会为了贯彻“减负增效”精神,了解九年级学生每天的自主学习情况,随机抽查了九年级一班10名学生每天自主学习的时间情况,得到的数据如表.求本次调查学生自主学习时间的标准差.
自主学习时间/小时 0.5 1 1.5 2 2.5
人数/人 1 2 4 2 1
(2)标准差是反映一组数据离散程度最常用的一种量化形式,标准差越大,则数据的离散程度越大,稳定性越差;反之,则数据的离散程度越小,稳定性越好.
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2 中位数与众数
中间位置
1.一般地,n个数据按大小顺序排列,处于最 的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.中位数仅与数据的 有关,中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中 趋势.
2.一组数据中出现次数 的那个数据叫做这组数据的众数.当一组数据中某些数据重复出现较多时,众数往往是人们尤为关心的一个量.众数不受 的影响.
排列位置
最多
极端值
中位数
[典例1] (2023安徽期中)现有一列数:6,3,3,4,5,4,3,若增加一个数x后,这列数的中位数仍不变,则x的值不可能为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
A
(1)中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,若数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.若这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
(2)中位数代表了这组数据值大小的“中点”,不易受极端值影响,但不能充分利用所有数据的信息.
[变式1]某中学为鼓励学生参与体育锻炼,开展一分钟跳绳比赛,此次比赛前十名同学跳绳的数量如下表,则跳绳数量的中位数是( )
数量(个) 159 160 165 170 171
人数(人) 1 3 3 2 1
A.160 B.165
C.170 D.171
B
众数
[典例2]某学校为了解学生在居家期间每天的锻炼情况,随机调查了若干名学生,并将调查的结果绘制成如图的统计图,由统计图可知,所调查数据的众数是( )
A.0.5 B.1
C.1.5 D.1.5以上
C
(1)一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
(2)求一组数据的众数的方法:找出频数最大的那个数据,若几个数据频数都最大且相同,此时众数就是这多个数据.
(3)众数不易受数据中极端值的影响.众数也是数据的一种代表数,反映了一组数据的集中程度,众数可作为描述一组数据集中趋势的量.
[变式2]学校商店在一段时间内销售了四种饮料共100瓶,各种饮料的销售量如表,建议学校商店进货数量最多的品牌是( )
D
品牌 甲 乙 丙 丁
销售量(瓶) 15 30 12 43
A.甲品牌
B.乙品牌
C.丙品牌
D.丁品牌
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第2课时 方差的综合应用
1.判断一组数据是否稳定,主要从这组数据的 、 或 这些方面去考虑,一般而言,一组数据的极差、方差或标准差 ,这组数据就越稳定.
2.方差并不是越小越好,对数据进行分析处理,再做出决策,正是统计学的作用,要从平均数、中位数、众数、波动大小、发展趋势等多方面分析,选择有利的情况.
极差
方差
标准差
越小
平均数与方差的综合应用
[典例1]为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,小学、初中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图.
(1)根据图示填写下表;
统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分
小学部 85
初中部 85 100
解:(1)填表:小学部平均数:(75+80+85+85+100)÷5=85;
小学部得分中85出现的次数最多,则小学部的众数为85;
初中部得分情况为70,75,80,100,100,则初中部的中位数为80.
(2)计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
统计量的选择
C
[典例2]“科学用眼,保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现,某班50名同学的视力检查数据如表,其中有两个数据被遮盖.
视力 4.6以下 4.6 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 ■ ■ 7 9 14 11
下列关于视力的统计量中,与被遮盖的数据均有关的是( )
A.中位数,众数 B.中位数,方差
C.平均数,方差 D.平均数,众数
(1)平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别:①数据的平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的量,极差、方差是衡量一组数据波动大小的特征数,描述了数据的离散程度.
(2)极差和方差、标准差的不同点:极差表示一组数据波动范围的大小,一组数据极差越大,则它的波动范围越大;方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小,方差(或标准差)越大,数据的离散程度越大,稳定性越差;反之,则离散程度越小,稳定性越好.
[变式] (2023安徽月考)某学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛,八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”,为了解本次竞赛的成绩,小致同学随机抽取了八年级20名参赛学生的成绩(单位:分).
收集数据:
90,75,80,80,70,75,80,85,82,95,95,75,90,70,92,95,84,75,85,67.
整理数据:
成绩/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
频数 1 6 a b
分析数据:
平均数 中位数 众数
82 c d
根据上述数据回答以下问题:
(1)请直接写出表格中a,b,c,d的值;
(2)参赛学生中的小蕾同学成绩为83分,请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何.
(2)因为中位数为81分,83>81,
所以小蕾同学成绩在八年级属于中上水平.(答案不唯一)
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