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第2课时 平方根
1.如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数就叫做a的平方根(也叫二次方根).
2.正数a的平方根记作 ,读作“ ”.
3.平方根的性质
(1)一个正数有 个平方根,它们互为 ;
(2)0只有一个平方根,它是 ;
(3)负数 平方根.
4.求一个数a的 的运算叫做开平方,a叫做被开方数.开平方运算是 运算的逆运算.
正、负根号a
两
相反数
0本身
没有
平方根
平方
1
2
相反数
包含
非负数
0
平方根的定义
[典例1] (2023泸州期中)下列各数中没有平方根的是( )
A.-12 B.0
C.-(-2) D.(-4)2
[变式1]若a2=4,b2=9,且ab<0,则a-b的值为( )
A.-2 B.±5
C.5 D.-5
根据平方根的定义,负数没有平方根,只要确定每个选项的正负即可,-12和(-4)2正负的确定容易混淆.
A
B
[变式2](2022绵阳校级月考)求下列各式中x的值:
(1)169x2=100;
(2)(x+1)2=81.
平方根的性质
[典例3]已知一个正数m的两个平方根为3a-7和a+3,求a和m的值.
解:由题意,得3a-7+a+3=0,所以a=1,
所以a+3=4,所以m=16.
正数a有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
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6 实数
1.实数的定义
和 统称为实数.
2.实数的分类
有理数
无理数
3.实数和数轴上的点
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是 的.
(2)在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数 .
一一对应
大
实数的概念及分类
B
C
相反数、倒数和绝对值
A
正实数的绝对值是它本身,负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
D
A
实数与数轴
C
实数与数轴上的点是一一对应关系.任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之,数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数,不是有理数,就是无理数.
B
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第二章 实数
1 认识无理数
1.有理数
和 统称为有理数.
2.若a2=2,则a既 整数,也 分数,所以a 有理数.
3.对于正数x,若x是非有理数,则可以通过夹逼法估计x的值:
(1)确定x的整数部分,把x夹在两个 之间,确定其整数部分,其中 的数为x的整数部分,如1整数
分数
不是
不是
不是
正整数
较小
(2)确定x的小数部分,可以从较小整数开始逐步增大,寻找x在哪两个 之间,按照这样的方法确定x的十分位、百分位等,比如:若x2=2,因为1.42=1.96,1.52=2.25,而2在1.96和2.25之间,所以x的十分位上的数字是4,用同样的方法可以继续确定百分位、千分
位等.
4.无理数的概念
(1)定义: 小数称为无理数.
(2)无理数的几种常见类型
①无规律的无限不循环小数;
②含π的数;
③有规律的无限不循环小数,如1.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
连续的数
无限不循环
探究非有理数的存在
[典例1](原创题)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=4,那么AB的长一定( )
A.是分数
B.是有理数
C.不是有理数
D.是无限小数
[变式1]以下正方形的边长不是有理数的是( )
A.面积为121的正方形
B.面积为36的正方形
C.面积为1.69的正方形
D.面积为8的正方形
C
D
无理数
D
判断一个数是否为无理数,不能只看形式,要看化简结果.
③⑦
①⑤
②⑥
估算无理数的近似值
C
B
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3 立方根
1.如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
2.a的立方根记作 ,读作“ ”.
3.立方根的性质
(1)正数的立方根是 ;
(2)0的立方根是 ;
(3)负数的立方根是 .
4.开立方
求一个数a的 的运算叫做开立方,a叫做 .开立方与立方互为 .
三次根号a
正数
0
负数
立方根
被开方数
逆运算
5.平方根与立方根的区别和联系
立方根的定义
[典例1] (原创题)下列说法不正确的是( )
A.125的立方根是5
B.-8的立方根是-2
C.0的立方根是0
D.27的立方根是±3
正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根且只有一个.
D
A
(2)(x-3)3=125,x-3=5,所以x=8.
立方根的性质及应用
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4 估算
5 用计算器开方
1.估算的方法
对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算,采用夹逼(或称为渐近)的方法,两边逐级夹逼.首先确定其 的范围,再确定十分位、百分位等 .
2.比较数的大小
(1)只有一个无理数,先估算出无理数的大致范围,再进行比较;
(2)两个都是无理数,比较大小的方法有乘方法、作差法、作商法.
整数部分
小数部分
3.计算器的使用
(1)开方运算要用到键 和键 .
被开方数
被开方数
估算无理数的大小
[典例1] (2023淮北期末)一个正方形的面积是20,通过估算,它的边长在整数n与n+1之间,则n的值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
B
B
比较两个数的大小
A
(1)任意两个数都可以比较大小.正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
(2)利用数轴也可以比较任意两个数的大小,即在数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大,在原点左侧,离原点越远的点表示的数越小.
D
用计算器开方
B
1.2
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2 平方根
第1课时 算术平方根
1.如果一个 x的平方等于a,即x2=a,那么这个 就叫做a的算术平方根.
正数
正数x
正数
0
没有
算术平方根的定义
[典例1] (2023汕头期中)64的算术平方根是( )
A.8 B.±4
C.±8 D.4
A
(1)非负数a的算术平方根有双重非负性:①被开方数a是非负数;②算术平方根是非负数.
(2)在求一个非负数的算术平方根时,可以借助乘方运算来寻找.
A
A
算术平方根的性质
利用算术平方根的非负性求值的问题,主要是根据被开方数是非负数,开方的结果也是非负数列出不等式求解.非负数之和等于0时,各项都等于0,利用此性质列方程解决求值问题.
算术平方根的应用
[典例3](2022南京模拟)在一次活动课中,虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3∶1,面积为75 cm2的长方形.求长方形的长和宽.
解:根据题意,设长方形的长为3x cm,宽为x cm,
则3x·x=75,即x2=25.
因为x>0,所以x=5,所以3x=15.
答:长方形的长为15 cm,宽为5 cm.
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7 二次根式
第1课时 二次根式及其性质
(2)最简二次根式:一般地,被开方数 ,也不含能 的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
2.最简二次根式的特征
(1)被开方数不含能开得尽方的因数或因式;
(2)被开方数不含分母(或小数);
(3)化简时,通常分母中不含根号.
不含分母
开得尽方
二次根式的概念
C
二次根式有意义的条件是二次根式中的被开方数必须是非负数.
A
A
最简二次根式
C
二次根式的性质与化简
D
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第3课时 二次根式的混合运算(二)
1.运算顺序
先乘方、开方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.
2.二次根式运算的结果应写成 的形式.
3.在进行二次根式混合运算时,能用 的要尽量使用 ,同时合理地运用运算律.
4.化简求值的运算顺序
先化简,再求值.
最简二次根式(或整式)
乘法公式
乘法公式
二次根式的混合运算
(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式的混合运算应注意以下几点:
①与有理数的混合运算一致,运算顺序为先乘方、开方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.
②在运算中每个根式可以看作是一个单项式,多个不同类的二次根式的和可以看作多项式.
(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式(或整式).
(3)在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
二次根式的化简求值
(2)求代数式2a2-5ab+2b2的值.
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第2课时 二次根式的混合运算(一)
二次根式的乘除
D
二次根式的加减
A
C
二次根式加减的步骤
①如果有括号,根据去括号法则去掉括号;
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简;
③合并被开方数相同的二次根式.
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令令令令令令
