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5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
1.三角形内角和定理
三角形的内角和等于 .
2.推论
直角三角形的两个锐角 .
3.三角形内角和定理的验证
将三角形的三个角剪下,让其顶点重合,拼成一个 ,即为180°.
180°
互余
平角
三角形内角和定理
[典例1]关于三角形内角和定理的证明,小虎又找到了一种“创新”证明方法,证法如下:
如图①,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
小虎的证法:如图②,过点A作AD⊥BC于点D,则∠1+∠B=90°,∠2+∠C=90°(直角三角形两锐角互余),所以∠1+∠2+∠B+∠C=180°,即∠BAC+∠B+∠C=180°.
你认为他的证法对吗 说说你是怎么证明的.
① ②
解:他的证法是错误的.
正确的证法:如图,过点A作DE∥BC.∵DE∥BC,∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.
又∵点D,A,E在同一条直线上,∴∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°,即三角形的内角和是180°.
(1)三角形内角和是180°.
(2)三角形内角和定理的证明方法不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中通常借助平行线.
三角形内角和定理的应用
[典例2]如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,若∠B=42°,∠C=58°.求∠ADE的 度数.
解:∵∠B=42°,∠C=58°,
∴∠BAC=180°-42°-58°=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC=40°.
∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,
∴∠ADE=90°-∠DAC=50°.
三角形内角和定理主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求第三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.
[变式]已知△ABC中,∠B=5∠A,∠C-∠B=15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
解:∵∠B=5∠A,∠C-∠B=15°,
∴∠C=5∠A+15°.
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+5∠A+5∠A+15°=180°,
∴∠A=15°,
∴∠B=5∠A=5×15°=75°,
∠C=5∠A+15°=5×15°+15°=90°.
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1.两条直线被第三条直线所截,如果 相等,那么这两条直线平行.简述为:同位角相等,两直线平行.
2.两条直线被第三条直线所截,如果 相等,那么这两条直线平行.简述为:内错角相等,两直线平行.
3.两条直线被第三条直线所截,如果 互补,那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补,两直线平行.
4.平行公理的推论
平行于 的两条直线平行.
3 平行线的判定
同位角
内错角
同旁内角
同一条直线
平行线的判定
[典例1]如图,BE平分∠ABC,D是BE上一点,∠CDE=150°,∠C=120°.求证:AB∥CD.
证明:∵∠CDE=150°,∠C=120°,
∴∠CBD=180°-∠C-∠CDB=∠CDE-∠C=150°-120°=30°.
∵BE平分∠ABC,∴∠CBA=2∠CBD=2×30°=60°,
∴∠CBA+∠C=60°+120°=180°,
∴AB∥CD.
[变式] (2023安徽月考)如图,直线EF分别交直线AB,CD于点E,F,EG平分∠AEF交CD于点G.若∠1+2∠2=180°.求证:AB∥CD.
证明:∵EG平分∠AEF交CD于点G,
∴∠AEG=∠GEF.
∵∠1+2∠2=180°,∠1+2∠AEG=180°,
∴∠2=∠AEG,
∴AB∥CD.
平行线的判定的应用
[典例2] (2023广州期末)如图,这是一根断裂的木条,爱好数学的小明用量角器量得∠B= 120°,∠C=110°,∠D=130°,于是小明得出木条的对边AB∥ED,小明的判断对吗 为什么
解:小明的判断对.理由如下:过点C作CM∥AB,如图,
∴∠B+∠BCM=180°.
∵∠B=120°,∴∠BCM=60°.
∵∠BCD=110°,∴∠DCM=∠BCD-∠BCM=50°.
∵∠D=130°,∴∠D+∠DCM=180°,∴CM∥DE.
∵CM∥AB,∴AB∥ED.
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2 定义与命题
第1课时 定义与命题
1.证明时,为了交流的方便,必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此,就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
2.判断一件事情的句子,叫做命题.
3.命题的结构
一般地,每个命题都由 和 两部分组成,条件是 的事项,结论是由已知事项 的事项,命题通常可以写成“ ”的形式,其中“ ”引出的部分是条件,“ ”引出的部分是结论.
条件
结论
已知
推断出
如果……那么……
如果
那么
4.命题的分类
命题分为 和 .正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具备命题的 ,而不具有命题的 ,这种例子称为反例.
真命题
假命题
条件
结论
定义
[典例1]下列语句中哪句话是定义( )
A.连接C,D两点
B.等角的余角相等吗
C.内错角相等,两直线平行
D.整数与分数统称为有理数
[变式1]下列语句中,不属于定义的是( )
A.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
B.等边三角形是特殊的等腰三角形
C.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线
D
B
命题与命题的构成
[典例2]把下列命题改写成“如果……那么……”的形式:
(1)等角的补角相等;
(2)不相等的角不是对顶角;
(3)三角形的一个外角大于三角形的每一个内角.
解:(1)如果两个角相等,那么它们的补角相等.
(2)如果两个角不相等,那么它们不是对顶角.
(3)如果一个角是三角形的一个外角,那么它大于这个三角形的每一个内角.
命题写成“如果……那么……”的形式,这时,“如果”后面接的部分是条件,“那么”后面接的部分是结论.
[变式2]把下列命题改写成“如果……那么……”的形式:
(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)同旁内角互补;
(3)绝对值相等的两个数一定相等;
(4)每一个有理数都对应数轴上的一个点;
(5)直角三角形的两锐角互余.
解:(1)如果在同一平面内,两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
(2)如果两个角是同旁内角,那么这两个角互补.
(3)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等.
(4)如果一个数是有理数,那么在数轴上就有一个点与之相对应.
(5)如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形的两个锐角互余.
真命题、假命题、举反例
[典例3]阅读黑板上老师的解题过程,解决下列问题.
判定一个命题是假命题,只要举出一个例子(反例),它符合命题的条件,但不满足结论就可以了.例如要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题,可以举出如下反例:如图,OC是∠AOB的平分 线,∠1=∠2,但它们不是对顶角.
判断下列命题的真假,如果是假命题,请举出反例.
(1)两个负数之差为负数;
(2)如果一个四边形的两组对边分别平行,那么它的不相邻的两个内角相等.
解:(1)两个负数之差为负数是假命题.
例如:-2-(-3)=1,1不是负数,
所以两个负数之差为负数是假命题.
(2)是真命题.
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第2课时 三角形的外角
1.三角形的外角
△ABC内角的一条边与另一条边的 组成的角,称为△ABC的外角.
2.三角形内角和定理的推论
定理1:三角形的一个外角等于和它 的和.
定理2:三角形的一个外角大于任何一个 的内角.
反向延长线
不相邻的两个内角
和它不相邻
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
[典例1] (2023安徽期末)如图,△ABC的边AC的延长线上有一点D,点F为AB边上一点,连接DF交BC于点E,若∠A=30°,∠D=40°,∠BED=80°,求∠B的度数.
解:∵∠A=30°,∠D=40°,∠BFD是△ADF的外角,
∴∠BFD=∠A+∠D=70°.
又∵∠BED=80°,∠BED是△BEF的外角,
∴∠B=∠BED-∠BFD=10°.
①三角形的外角和为360°.
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
③若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质1将它们转化到一个三角形中去.
三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角
[典例2]如图,在△ABC中,点E是AC延长线上的一点,点D是BC上的一点.求证:
(1)∠BDE=∠E+∠A+∠B;
证明:(1)∵E是AC延长线上的一点,
∴∠BCE=∠A+∠B.
∵D是BC上的一点,
∴∠BDE=∠E+∠BCE,
∴∠BDE=∠E+∠A+∠B.
(2)∠BDE>∠A.
证明:(2)由(1),得∠BDE=∠E+∠A+∠B,
∴∠BDE>∠A.
①三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
②探究角度之间的不等关系,多用外角的性质2,先从最大角开始,观察它是哪个三角形的 外角.
[变式]如图,在△ABC中,点D为△ABC的边BC上一点,连接AD,点E为BC延长线上一点.求证:∠ACE> ∠B.
证明:∵∠ACE是△ABC的一个外角,
∴∠ACE=∠B+∠BAC,
∴∠ACE>∠B.
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1.两条 被第三条直线所截,同位角相等.简述为:两直线平行,同位角相等.
2.两条 被第三条直线所戴,内错角相等.简述为:两直线平行,内错角相等.
3.两条 被第三条直线所截,同旁内角互补.简述为:两直线平行,同旁内角互补.
4 平行线的性质
平行直线
平行直线
平行直线
平行线的性质及应用
[典例1] (2023四川模拟)如图,已知a∥b,把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=130°,求∠2的度数.
解:如图.
∵a∥b,∴∠DAB+∠1=180°.
∵∠1=130°,
∴∠DAB=180°-∠1=180°-130°=50°,
∴∠2=180°-∠DAB-90°=180°-50°-90°=40°.
[变式]如图,已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接PA,PD.若∠A=50°,∠D=150°,求∠P的度数.
解:过点P作PE∥AB(图略),
∴∠A=∠APE=50°.
∵AB∥CD,
∴PE∥CD,
∴∠EPD+∠CDP=180°.
∵∠D=150°,∴∠EPD=30°,
∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°.
平行线的性质与判定
[典例2]如图,已知AD∥BE,点C是BE上一点,连接AC,DC,AE,AE与CD交于点F,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB∥CD.
证明:∵AD∥BE,
∴∠3=∠CAD.
∵∠3=∠4,∴∠4=∠CAD.
∵∠1=∠2,∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
∴∠4=∠BAE,∴AB∥CD.
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系,平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清条件和结论,切莫混淆.
(3)平行线的判定与性质的联系与区别
区别:性质由形到数,用于推导角的关系并计算;判定由数到形,用于判定两直线平行.
联系:性质与判定的条件和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
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第2课时 定理与证明
1.欧几里得在编写《原本》这本书时进行了大胆创造:挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的 称为原名,公认的 称为公理.
2.命题的真假需要通过演绎推理的方法进行判断, 的过程称为证明.
3.经过证明的 称为定理.每个定理都只能用 、 和
来证明.
数学名词
真命题
演绎推理
真命题
公理
定义
已经证明为真的命题
定理与公理
[典例1]“过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”是一个( )
A.需要证明的命题
B.公理
C.定理
D.定义
B
公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实,经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的基本命题.
[变式] (杭州中考)在下列语句中属于定理的是( )
A.在直线AB上任取一点E
B.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角
C.在同圆中,等弦所对的圆周角相等
D.到一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
D
证明
[典例2] (2023安徽期末)如图,在△ABC和△DEB中,点D在边AB上,下面有四个条件:①BD=CA, ②DE=AB,③DE∥AC,④∠ABC=∠E.
(1)从中选三个作为条件,余下的一个作为结论,组成一个真命题,一共可组成 个真命题;
解:(1)真命题有:①③④ ②,②③④ ①,①②③ ④.故填:3.
(2)请你选择其中一个真命题,并给出证明.
注意证明的格式.
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第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
正确
1.实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论可 能 ,也可能 ,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行 的证明.
2.检验数学结论是否正确的常用方法
(1)实验验证:通过做实验、测量、计算等验证结论正确与否;
(2)举出反例:举出反例常用于说明该结论 成立;
(3)推理证明:任何推理都包含 两部分,条件是推理的依据部分,可以是一个,也可以是几个,结论是根据条件所推出的判断.
不正确
有根有据
不一定
条件和结论
证明的必要性
[典例1]某校七年级四个班准备举行篮球友谊赛,甲、乙、丙三位同学预测比赛结果如下:
甲说:“703班得亚军,701班得第四;”
乙说:“702班得冠军,704班得第三;”
丙说:“704班得冠军,703班得第三.”
赛后得知,三人都只猜对了一半,则得冠军的班级是( )
A.701班 B.702班
C.703班 D.704班
B
[变式1]在一次数学活动课上,王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字,每一个数字只写在一张卡片上,而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序,然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上,随机地发给每位同学两张卡片,并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上,写出的结果依次 是:甲:12;乙:11;丙:9;丁:4.则拿到数字5的同学是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
B
证明的方法
[典例2] (2023安徽期末)下列选项中,可以用来说明“若a>b,则a2>b2”不正确的反例为( )
A.a=-1,b=0 B.a=2,b=1
C.a=-1,b=-2 D.a=2,b=3
C
要说明数学说法错误,只需举出一个反例即可,这是数学中常用的一种方法.
[变式2]结合具体的数,通过特例进行归纳,然后判断下列说法的对错.认为对,说明理由;认为 错,举出反例.
(1)任何数都不等于它的相反数;
(2)互为相反数的两个数的同一偶数次方相等;
(3)如果a大于b,那么a的倒数小于b的倒数.
解:(1)是错误的.因为0的相反数是0,所以任何数都不等于它的相反数的说法是错误的.
(2)是正确的.假设a为任意有理数,则它的相反数是-a,所以a的偶数次方与-a的偶数次方相等,所以互为相反数的两个数的同一偶数次方相等的说法是正确的.
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