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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
1.勾股定理
直角三角形 等于 .如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 .
2.勾、股、弦
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ,较长的直角边称为 ,斜边称为
.
两直角边的平方和
斜边的平方
a2+b2=c2
勾
股
弦
勾股定理
[典例1] (2023安徽模拟)若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为
( )
A.25 B.7
C.7或25 D.9或16
求线段的比要注意单位统一.
C
如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
(1)勾股定理应用的前提是在直角三角形中.
(2)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:a2=c2-b2,b2=c2-a2.
(3)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.
当高的位置不确定时,应分情况进行讨论.
[典例2] (2023绵阳期中)在△ABC中,AB=15,AC=13,BC上的高AD长为12,求△ABC的面积.
勾股定理与面积的关系
[典例3](2023重庆期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB,AC,BC为边向外作正方形,其中两个正方形的面积S1=7,S2=3,则第三个正方形BCDE的面积为( )
A.4 B.9
C.10 D.40
[变式1]如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是( )
A.4
B.8
C.16
D.32
A
C
[变式2](2022金华)如图①,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”,如图②,得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图②中小正方形的边长;
(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少
① ②
(2)小正方形的面积=(a+3)2,
当a=3时,小正方形的面积=(3+3)2=36.
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2 一定是直角三角形吗
1.直角三角形的判定条件
如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数
满足 的三个 ,称为勾股数.
a2+b2=c2
a2+b2=c2
正整数
根据三角形三边长判定直角三角形
[典例1]以下列各组数为边长的三角形,不是直角三角形的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.9,24,25 D.8,15,17
C
判定一个三角形是直角三角形,必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方.
[变式1]如图,在以下四个正方形网格中,各有一个三角形,不是直角三角形的是( )
A
A B C D
勾股数
C
勾股数:满足a2+b2=c2 的三个正整数,称为勾股数.
(1)三个数必须是正整数,例如:2.5,6,6.5满足a2+b2=c2,但它们不是正整数,所以它们不是勾股数.
(2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数.
(3)记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如:3,4,5;6,8,10;5,12,13;….
[变式2]观察下列表格:请结合该表格及相关知识,求出b,c的值.b= ,c= .
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列举 猜想
3,4,5 32=4+5
5,12,13 52=12+13
7,24,25 72=24+25
… …
15,b,c 152=b+c
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直角三角形判定的应用
[典例3]在海面上有两个疑似漂浮目标.接到消息后,A舰艇以12海里/时的速度离开港口O,向北偏西50°方向航行.同时,B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向航行,如图,离开港口1.5小时后两舰艇相距30海里,则B舰艇的航行方向是( )
A.北偏东60° B.北偏东50°
C.北偏东40° D.北偏东30°
C
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.
[变式3](2023深圳模拟)在创建“全国文明城市”期间,某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,经技术人员的测量,已知AB=9米,BC=12米,CD=17米,AD=8米,∠ABC=
90°.若平均每平方米空地的绿化费用为100元,试计算绿化这片空地共需花费多少元.
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3 勾股定理的应用
1.求立体图形表面上的最短路径的步骤
(1)将立体图形展开为 (注意:只需展开包含相关点的面,可能会存在不同的展开方法);
(2)确定 的位置;
(3)连接相关点构造 ;
(4)利用勾股定理求解.
2.利用勾股定理解决实际问题
在实际问题中,寻找或构造 ,并利用勾股定理解决求高度、宽度和距离等的问题;还可以利用勾股定理的 ,通过测量 ,判断一个角是不是直角.
平面图形
相关点
直角三角形
直角三角形
逆定理
三角形的边长
勾股定理在解决实际问题中的应用
[典例1] (2023都江堰期中)如图,用两根木棒AC,AD加固小树,木棒AC,AD与小树在同一平面内,且小树与地面垂直,AD=2 m,AC=1.3 m.
(1)若AB=1.2 m,求BD的长;
解:(1)因为AB⊥DC,所以∠ABD=90°.
因为AD=2 m,AB=1.2 m,
所以BD2=AD2-AB2=2.56,所以BD=1.6 m.
(2)若CD=2.1 m,求BD的长.
解:(2)设BD=x m,则BC=(2.1-x)m.
因为AC2-BC2=AB2,AD2-BD2=AB2,
所以AC2-BC2=AD2-BD2,
所以1.32-(2.1-x)2=22-x2,解得x=1.6,
所以BD=1.6 m.
在应用勾股定理解决实际问题时,勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图,领会数形结合思想的应用.
[变式]如图,公路上A,B两点相距50 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=
30 km,CB=20 km,现在要在公路AB上建一个土特产品市场E,使得C,D两村庄到市场E的距离相等,求市场E应建在距A点多少千米处.
解:设AE=x km,则BE=(50-x)km,
在Rt△ADE中,DE2=302+x2,
在Rt△CBE中,CE2=202+(50-x)2.
因为DE=CE,所以302+x2=202+(50-x)2.
解得x=20,
即AE=20 km.
答:市场E应建在距A点20 km处.
勾股定理在解决最短路径问题中的应用
[典例2](2023广州月考)如图,这是一个供滑板爱好者使用的U型池,该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为5 m的半圆,其边缘AB=CD=40 m,小明要在AB上选取一点E,能够使他从点D滑到点E,再到点C的滑行距离最短,求他滑行的最短距离.(π取3)
解:将U型池的最上方展开如图.作点C关于AB的对称点F,连接DF,
则小明滑行的最短距离为DF的长.
由题意可得BC=5π≈15(m),所以CF≈30 m.
在Rt△CDF中,由勾股定理,得
DF2=CF2+CD2≈302+402=2 500,所以DF≈50 m,
所以他滑行的最短距离约为50 m.
平面展开最短路径问题,先根据题意把立体图形展开成平面图形,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.
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第2课时 验证勾股定理及其简单应用
1.拼图法
用拼图的方法验证勾股定理的思路:
①图形通过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积就 ;②用不同的式子表示同一个图形的面积,结果 .
2.应用勾股定理解决简单的实际问题,应建立 ,体会从“ ”到“ ”和从“ ”到“ ”的转化,培养转化、推理的能力.
不会改变
相等
数学模型
形
数
数
形
勾股定理的验证
[典例1]如图,将边长为a与b,对角线长为c的长方形纸片ABCD,绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE,连接AF.通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理,请你写出验证的过程.
(1)勾股定理的验证方法有很多种,教材是采用了拼图的方法验证的.
(2)验证勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.
勾股定理的简单应用
[典例2](2023深圳期中)如图,有一个绳索拉直的木马秋千,秋千绳索AB的长度为5米,若木马从B点运行到C点,上升的高度为1米,且绳索保持拉直的状态,求此时木马沿水平方向向前推进的距离.
解:如图,过点C作CF⊥AB于点F.根据题意,
得AB=AC=5米,BF=1米,所以AF=AB-BF=5-1=4(米).
在Rt△ACF中,由勾股定理,得 CF2=AC2-AF2=9,所以CF=3米.
答:此时木马沿水平方向向前推进的距离为3米.
[变式]如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走,绳端从C移动到E,同时小船从A移动到B,且绳长始终保持不变.回答下列问题:
(1)根据题意,知AC BC;(填“>”“ <”或“=”)
解:(1)>
(2)若CF=8米,AF=15米,AB=9米,求小男孩需向右移动的距离.
解:(2)连接AB,如图,则A,B,F三点共线.
在Rt△CFA中,由勾股定理,得AC2=152+82=172,
所以AC=17米.
BF=AF-AB=15-9=6(米).
在Rt△CFB中,由勾股定理,得
BC2=CF2+BF2=100,所以BC=10米.
因为AC=BC+CE,
所以CE=AC-BC=17-10=7(米),
所以小男孩需向右移动的距离为7米.
本题考查了勾股定理的应用,由勾股定理求出AC,BC的长是解题的关键.
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