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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
勾股定理
1.(2023合肥期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,则BC2的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.13
2.(2023芜湖期末)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若∠A+∠C=90°,则下列等式成立的是( )
A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2
C.a2+c2=b2 D.c2-a2=b2
A
C
3.点A(-3,-4)到原点的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.7
4.在△ABC中,∠C=90°:
(1)若a=5,b=12,则c= ;
(2)若a=6,c=10,则b= ;
(3)若a∶b=3∶4,c=10,则a= ,b= .
C
13
8
6
8
5.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠DBC=90°,若AD=4 cm,AB=3 cm,DC=13 cm,求BC的长.
解:因为AD=4 cm,AB=3 cm,
所以在Rt△ABD中,由勾股定理,得
BD2=AD2+AB2=25,所以BD=5 cm.
在Rt△BDC中,由勾股定理,得
CD2=BD2+BC2,所以132=52+BC2,
所以BC2=144,所以BC=12 cm.
勾股定理与面积的关系
6.(教材变式题)如图,a,b,c分别表示直角三角形的三边向外作的正方形的面积,下列关系正确的是( )
A.a+b=c B.a2+b2=c2
C.ab=c D.a+b=c2
7.(2023瑶海期末)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=2,BC=4,四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是( )
A.8 B.16 C.20 D.25
8.在△ABC中,AB=AC=17 cm,BC=16 cm,AD⊥BC且BD=CD,则△ABC的面积为 cm2.
A
C
120
9.(1)如图①,已知AB=13,AD=14,CD=2,∠ACB=90°,试求长方形CDEB的面积;
(2)如图②,在正方形ABCD中,DE⊥CE,垂足为E,且DE=2,CE=3,求阴影部分的面积.
解:(1)因为AD=14,CD=2,所以AC=12.
又因为AB=13,∠ACB=90°,
所以CB2=AB2-AC2=25,所以CB=5,
所以S长方形CDEB=2×5=10.
10.如图,把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好落在AD边的点P处.若∠FPH=90°,
PF=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC长为( )
A.20 B.22 C.24 D.30
11.(2023广东月考)若一个直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边长的平方是( )
A.100 B.100或28
C.100或64 D.28
12.(2023成都月考)如图,网格中的小正方形的边长均为1,小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点都在格点上,则边AB上的高为 .
C
B
1.2
13.如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分
的面积为 .
14.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.试说明:AB=BC.
解:如图,连接AC.
因为∠ABC=90°,
所以AB2+BC2=AC2.
因为CD⊥AD,
所以AD2+CD2=AC2,
所以AB2+BC2=AD2+CD2.
又因为AD2+CD2=2AB2,
所以AB2+BC2=2AB2,所以AB=BC.
15.如图,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
①如图,过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,用含x的代数式表示CD;
②根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x;
③利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积.
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2 一定是直角三角形吗
根据三角形三边长判定直角三角形
1.在△ABC中,如果三边满足关系BC2=AB2+AC2,那么△ABC的直角是( )
A.∠C B.∠A C.∠B D.不能确定
B
D
3.如图,网格中小正方形的边长为1,则网格中的△ABC是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
A
解:(1)因为最长边是a,且a2=3 721,b2+c2=602+112=3 721,所以a2=b2+c2,
所以△ABC是直角三角形.
勾股数
5.(2023河北月考)下列各组数据中,是勾股数的是( )
B
直角三角形判定的应用
6.(2023广东期中)有3 cm,4 cm,5 cm和9 cm的小棒各一根,从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形,则这个直角三角形的面积是( )
A.6 cm2 B.10 cm2
C.7.5 cm2 D.13.5 cm2
7.甲、乙两艘客轮同时离开港口,航行的速度都是40 m/min,甲客轮15 min到达点A处,乙客轮20 min到达点B处.若A,B两点的直线距离为1 000 m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是( )
A.北偏西30° B.南偏西30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
A
C
8.如图,已知四边形ABCD中,AB=24,BC=7,CD=15,AD=20,∠B=90°,求四边形的面积.
10.(2023安徽月考)如图,正方形网格中,每一小正方形的边长为1.网格内有△PAB,则∠PAB+
∠PBA等于( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
A
B
11.已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1.以点A为圆心、AN长为半径画弧,再以点B为圆心、BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
12.如图,正方形网格中有A,B,C,D,E 5个格点,以这5个格点中的3个点为顶点画三角形,其中直角三角形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
C
13.如图,三个村庄A,B,C之间的距离分别是AB=5 km,BC=12 km,AC=13 km.要从B修一条公路BD直达AC,已知公路的造价为2 600万元/千米,求修这条公路的最低造价.
14.若正整数a,b,c(a第一类(a是奇数):(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);….
第二类(a是偶数):(6,8,10);(8,15,17);(10,24,26);….
(1)请再写出两组勾股数,每类各写一组;
解:(1)第一组(a是奇数):9,40,41(答案不唯一);
第二组(a是偶数):12,35,37(答案不唯一).
(2)分别就a为奇数、偶数两种情形,用a表示b和c,并选择其中一种情形证明(a,b,c)是“勾
股数”.
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3 勾股定理的应用
勾股定理在解决实际问题中的应用
1.课间休息时,嘉嘉从教室窗户向外看,看到行人从A处快速到达图书馆B处(直接从长方形草地中穿过).为保护草地,嘉嘉想在A处立一个标牌:“少走■米,踏之何忍 ”如图,若AB=17米,
BC=8米,则标牌上“■”处的数字是( )
A.6 B.8 C.10 D.11
A
2.(2023广州月考)一个门框的尺寸如图,下列矩形木板不能从这个门框通过的是( )
A.长3 m,宽2.5 m的矩形木板
B.长4 m,宽2.1 m的矩形木板
C.长3 m,宽2.2 m的矩形木板
D.长3 m,面积为6 m2的矩形木板
A
解:因为∠A=40°,∠B=50°,所以∠C=90°.
又因为AB=5千米,BC=3千米,
所以AC2=AB2-BC2=16,
所以AC=4千米,
所以4÷0.4=10(天),
故10天才能把隧道AC凿通.
3.(2023成都月考)如图,为修通铁路,凿通隧道AC,量出∠A=40°,∠B=50°,AB=5千米,BC=3千米,若每天凿隧道0.4千米,问几天才能把隧道AC凿通
勾股定理在解决最短路径问题中的应用
4.(2023河北月考)如图,长方体的长、宽、高分别是4,3,2,一只蚂蚁要沿着长方体的外表面从A点爬到B点,最短路径长为( )
B
5.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16 cm,在容器内壁离容器底部
4 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上底面距离为4 cm的点A处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径长为20 cm,则该圆柱底面周长为多少
解:如图,将圆柱侧面展开,则EG为上底面圆周长的一半.作点A关于EG的对称点A′,连接A′B交EG于点F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长,
即AF+BF=A′F+BF=A′B=20 cm.
如图,过点A′作A′D⊥BG交BG的延长线于点D.
因为AE=A′E=DG=4 cm,所以BD=16 cm.
在Rt△A′DB中,由勾股定理,得A′D2=202-162=144,
所以A′D=12 cm,所以该圆柱底面周长为24 cm.
6.如图,小巷左、右两侧都是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为( )
A.0.7米 B.1.5米
C.2.2米 D.2.4米
7.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的取值范围是( )
A.12≤h≤19 B.12≤h≤13
C.11≤h≤12 D.5≤h≤12
C
C
9.(2023铜陵月考)如图,长方体的底面两边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B处,那么所用细线最短需要 cm.
C
10
10.某工厂为扩大生产,购置一个大型机械(不能倾倒),其外包装高2.7 m,长2 m,宽1.8 m,车间大门的形状如图,问:这个大型机械能否通过车间大门
11.如图,A,B两块试验田相距200米,C为水源地,AC=160 m,BC=120 m,为了方便灌溉,现有两种方案修筑水渠.
甲方案:从水源地C直接修筑两条水渠分别到A,B;
乙方案;过点C作AB的垂线,垂足为H,先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的点H处,再从点H分别向点A,B进行修筑.
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程).
解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:
因为AC2+BC2=1602+1202=40 000,
AB2=2002=40 000,所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(2)两种方案中,哪一种方案所修的水渠较短 请通过计算说明.
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第2课时 验证勾股定理及其简单应用
勾股定理的验证
1.(2023四川月考)如图是用硬纸板做成的两个直角边长分别为a,b,斜边长为c的全等三角形拼成的图形,观察图形,可以验证( )
A.a2+b2=c2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
A
2.用图①所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆,可以摆成图②所示的正方形,下面我们利用这个图形验证勾股定理.
a+b
① ②
(1)图②中大正方形的边长为 ,里面小正方形的边长为 ;
(2)大正方形面积可以表示为 ,也可以表示为 ;
(3)对比这两种表示方法,可得出 ,整理得 .
c
(a+b)2
a2+b2=c2
3.(2023河北月考)如图,对任意符合条件的直角三角形CAB,绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE,所以∠BAE=90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和,根据图形写出一种验证勾股定理的方法.
勾股定理的简单应用
4.如图,一棵大树在一次强台风中从距地面5 m处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m,这棵大树在折断前的高度为( )
A.10 m B.15 m
C.18 m D.20 m
5.(2023马鞍山期中)如图是一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯( )
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
C
C
6.(2023安庆期末)如图是一副秋千架,图①是从正面看,当秋千绳子自然下垂时,踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计),图②是从侧面看,当秋千踏板荡起至点B位置时,点B离地面垂直高度BC为1 m,离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径).求秋千支柱AD的高.
解:设AD=x m,则AB=(x-0.5)m,AE=(x-1)m,
在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,
即(x-1)2+1.52=(x-0.5)2,解得x=3.
故秋千支柱AD的高为3 m.
① ②
8.如图,长为12 cm的橡皮筋放置在一条直线上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升4.5 cm至点D处,则拉长后橡皮筋的长为( )
A.20 cm B.18 cm
C.16 cm D.15 cm
B
D
9.(2023广东期中)如图,甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行,乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行,他们同时出发,1小时后,甲、乙两渔船相距 海里.
10
10.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇.公路PQ上距离O点240 m的A处与铁路MN的距离是
120 m.如果火车行驶时,周围200 m以内会受到噪声的影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时,A处受噪声影响的时间是多少
解:如图,过点A作AC⊥ON于点C,则AC=120 m.设AB=AD=200 m.
当火车行驶到B点时开始对A处产生噪声影响,此时AB=200 m,
所以在Rt△ABC中,由勾股定理得 BC=160 m,
同理可得CD=160 m,所以BD=320 m.
因为火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶,72 km/h=20 m/s,
所以A处受噪声影响的时间:320÷20=16(s).
故A处受噪声影响的时间是16 s.
11.(数形结合)我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式,这种方法称之为“无字证明”.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.已知直角三角形直角边长分别为a,b,斜边长为c,图①、图②的面积相等,请你根据图形验证勾股定理.
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第一章 章末复习
勾股定理
1.(2021滨州)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.2.4
D
D
3.(2021成都)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为 .
100
12
勾股定理的验证
5.(2023广东月考)下面四幅图中,不能验证勾股定理的是( )
D
A B C D
6.(2021山西)在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示图形验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是
( )
A.统计思想 B.分类思想
C.数形结合思想 D.函数思想
C
7.(2023四川模拟)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形,若直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b),大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,则用含S1,S2的代数式表示(a+b)2正确的是( )
A.S1 B.S2
C.2S1-S2 D.2S2-S1
8.(2023江淮联考)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE=5,BE=13,则EF2的值是( )
A.128 B.64
C.32 D.144
C
A
直角三角形的判定方法
D
A
A B C D
m2+1
11.(2022湖北)勾股定理最早出现在《周髀算经》:勾广三,股修四,径隅五.观察下列勾股数:
3,4,5;5,12,13;7,24,25;…;这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;….若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是 .(结果用含m的式子表示)
12.(呼和浩特中考改编)如图,在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系;
解:(1)因为在△ABC中,a=6,b=8,c=12,
所以a2+b290°,
所以∠ACB>∠BCD.
如图,因为∠BCD=∠A+∠B,
所以∠A+∠B<∠ACB.
勾股定理的应用
13.(2023福州月考)福州以著名的坊巷文化而闻名,美丽的三牧坊宽不足4米,长不到240米,从卫前街进入三牧坊,走不到百米,便能看到一所百年学府——福州一中,它是众多福州人的记忆所在.位于三牧坊内的福州一中的侧门保留了中国古代典型的双开木门结构,如图①所示
(图②为图①的平面示意图),从点O处推开双门,双门间隙CD宽度为0.08米,点C和点D到门槛AB的距离都为0.28米,则AB的长是( )
A.1.8米 B.2米
C.2.2米 D.2.4米
B
① ②
14.(2021玉林)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里.如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿 方向航行.
北偏东50°
15.(宿迁中考)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一
尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何 ”题意是:有一个池塘,其地面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇AC生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图),水深和芦苇长各多少尺 则该问题中的水深是 尺.
12
16.(2022泰州)如图的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
17.(2023四川期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷.
应用场景——解决实际问题.
如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE=1 m,将它往前推6 m至C处时,水平距离CD=6 m,踏板离地的垂直高度CF=4 m,它的绳索始终拉直,求绳索AC的长.
解:设秋千绳索AB的长度为x m,
由题意可得AC=AB=x m,BE=1 m,DC=6 m,DE=CF=4 m,
所以DB=DE-BE=3 m,所以AD=AB-BD=(x-3)m.
在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2,
即(x-3)2+62=x2,解得x=7.5,
即AC=7.5 m.故绳索AC的长为7.5 m.
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