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8 三元一次方程组
1.三元一次方程
含有 未知数,并且所含未知数的项的次数都是 ,这样的方程叫做三元一次方程.
2.三元一次方程组
共含有三个 的 方程所组成的一组方程,叫做三元一次方程组.
3.三元一次方程组的解
三元一次方程组中各个方程的 ,叫做这个三元一次方程组的解.
三个
1
未知数
三个一次
公共解
三元一次方程组的概念
B
D
三元一次方程组的解法及应用
[典例2] (2023四川月考)解方程组:
解三元一次方程组的一般步骤
①利用代入法或加减法,把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组,消去两组中的同一个未知数,得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组,求出这两个未知数的值;
③把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程,得到一个关于第三个未知数的一元一次方程;
④解这个一元一次方程,求出第三个未知数的值;
⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可.
[变式2]已知y=ax2+bx+c,当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-2:当x=2时,y=7.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x=-3时,求y的值.
解:(2)根据题意得y=2x2+x-3,
把x=-3代入,得y=2×(-3)2-3-3=12,
即y的值为12.
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2 求解二元一次方程组
第1课时 代入法解二元一次方程组
1.代入消元法
将方程组中一个方程中的某个 用含有 的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为 .这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形:将其中一个方程中的某个 用含有另一个 的代数式表示出来;
(2)代入:将变形所得的式子代入 ,从而 ,使之化为一个一元一次方程;
未知数
另一个未知数
一元一次方程
未知数
未知数
另一个方程
消去一个未知数
(3)求解:解一元一次方程,得到一个未知数的值;
(4)回代:将此未知数的值代入方程组中的 即可求出另外一个未知数的值;
(5)写成 的形式.
任意一个方程
方程组的解
用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
[典例1]已知二元一次方程2x-3y=7,用x表示y为y= .
表示谁就该把谁放到等号的一边,其他的项移到另一边,然后合并同类项、系数化为1.
[变式]已知2x-3y+6=0,用x表示y为 ,用y表示x为 .
用代入法解二元一次方程组
运用代入法时,将一个方程变形后,必须代入另一个方程,否则就会得出“0=0”的形式,求不出未知数的值.
用整体代入法解二元一次方程组
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5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1.一个两位数的十位数字是x,个位数字是y,则这个两位数可表示为 .
2.一个三位数,若百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为 .
3.两位数x放在两位数y的左边,组成一个四位数,用x,y表示这个四位数为 .同理,如果将x放在y的右边,那么得到一个新的四位数为 .
4.行程问题:路程=速度×时间(s=vt).
(1)相遇问题:两地之间的距离=两人所走路程 ;
(2)追及问题:两地之间的距离=两人所走路程 .
10x+y
100a+10b+c
100x+y
100y+x
之和
之差
列方程组解数字问题
[典例1]某人乘火车时,他看到第一块里程碑上写着一个两位数(十位上的数字为x,个位上的数字为y);经过1小时,他看到第二块里程碑上写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了位置;又经过1小时,他看到第三块里程碑上写着一个三位数,这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个数字0(长度单位:千米).
(1)求此人第三次看到的里程碑上的数字;
(2)请求出该火车的速度.
解:(2)z=9(y-x)=9(6-1)=45(千米/时).
答:火车的速度是45千米/时.
D
列方程组解行程问题
[典例2]已知某一铁路桥长1 000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分,整列火车完全在桥上的时间为40秒,求火车的长度和速度.
解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在桥上”的含 义,可根据“路程”与“速度”找等量关系,即路程=速度×时间.
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4 应用二元一次方程组——增收节支
1.借助表格分析复杂问题中的数量关系
在应用二元一次方程组解决实际问题时,有些等量关系不易直接获得,需要借助 进行分析,找出问题中所蕴含的等量关系.
表格
(1+增长率)
售价-进价(成本价)
增长率问题
[典例1] (2023重庆月考)已知今年5月甲接种点平均每天接种疫苗的人数比乙接种点平均每天接种疫苗的人数多30%,两接种点平均每天共有460人接种疫苗.求5月平均每天分别有多少人前往甲、乙两接种点接种疫苗.
利润率问题
[典例2] (2023南京模拟)某种电器产品,每件若以原定价的8折销售,可获利120元;若以原定价的6折销售,则亏损20元,该种商品每件的进价为 元.
[变式1]某商场购进商品后,加价40%作为销售价.五一期间,商场搞优惠促销,决定由顾客抽签确定折扣.某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到七折和九折,共付款448元.两种商品原销售价之和为560元,则两种商品进价分别为 元.
440
200,200
借助表格分析等量关系
[典例3]旅行团组织游客到游乐区参观,下表为两种参观方式所需的缆车费用:
参观方式 缆车费用
去程及回程,均搭乘缆车 300元
单程搭乘缆车,单程步行 200元
已知旅行团的所有人都从两种方式中选择了一种,其中去程有15人搭乘缆车,回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4 100元,求此旅行团共有多少人.
[变式2]把1～9这九个数填入3×3方格中,使其任意一行,任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”,它源于我国古代的“洛书”,是世界上最早的“幻方”.如图是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则xy的值为( )
A.9 B.1
C.8 D.-8
B
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第2课时 加减法解二元一次方程组
1.加减消元法
通过将两个方程 消去其中一个未知数,将方程组化为 来解,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
2.加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
(1)化:将方程组中的两个方程化为有一个未知数的系数 的两个方程;
(2)消:将变形后的两个方程相加(减),消去一个未知数得到 ;
(3)解:解一元一次方程,得到一个未知数的值;
(4)代:将此未知数的值代入方程组中 一个方程,求出另外一个未知数的值;
(5)答:写成方程组的解的形式.
相加(减)
一元一次方程
相等或互为相反数
一个一元一次方程
任意
用加减法解二元一次方程组
B
同解方程组
C
关于两个方程组同解的问题,要知道两个方程组、四个方程都有同一组公共解,即随便把其中两个方程联立成方程组,解仍然相同.
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7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.待定系数法
先设出 ,再根据所给条件确定表达式中未知数的 ,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.
2.确定一次函数表达式的一般步骤
(1)设出一次函数表达式:y=kx+b;
(2)把已知条件代入,得到关于k,b的二元一次方程组;
(3)解方程组,求出k,b的值;
(4)将k,b的值代入y=kx+b,写出其表达式.
函数表达式
系数
待定系数法求函数表达式
[典例1] (2023安徽期中)在平面直角坐标系中,一条直线经过A(-1,5),B(a,-3),C(3,13)三点.求这条直线的表达式和a的值.
函数表达式的应用
[典例2](2023吉林二模)如图①,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从食堂吃完早餐,接着步行去图书馆读报,然后以相同的速度原路返回家.图②反映了小明离家的距离y(m)与他所用时间x(min)之间的函数关系.
(1)小明家与图书馆的距离为 m,小明步行的速度为 m/min;
① ②
解:(1)800 100
(2)求小明从图书馆返回家的过程中,y关于x的函数表达式;
(3)当小明离家的距离为400 m时,求x的值.
(3)当y=400时,400=-100x+4 100,解得x=37,
即当小明离家的距离为400 m时,x的值为37.
分段函数是在不同区间有不同对应关系的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.
[变式]甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60 min,气球所在位置距离地面的高度y (单位:m)与气球上升的时间x(单位:min)之间的函数关系如图.下列说法:①甲气球上升过程中y与x的函数关系式为y=2x+5;②10 min时,甲气球在乙气球上方;③两气球高度差为15 m时,上升时间为50 min;④上升60 min时,乙气球距离地面高度为40 m.其中错误的是 .(将所有错误说法的序号都填上)
①②④
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第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
1.二元一次方程
含有 未知数,并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫做二元一次方程.它的一般形式是 (a≠0,b≠0).
2.一个方程是二元一次方程的必要条件
①方程两边都是 ;
②含有 未知数;
③含有未知数的项的次数都是 .
3.二元一次方程组
共含有两个未知数的 所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
两个
1
ax+by=c
整式
两个
1
两个一次方程
4.二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解.任何一个二元一次方程的解都是 数,它有 个解.
5.二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的 ,叫做这个二元一次方程组的解.
一对
无数
公共解
二元一次方程及其解
[典例1] (2023安徽期中)下列方程中,是二元一次方程的是( )
A.3x-2y=x2
B.5x+y=-2
C.6xy+9=0
B
判定一个方程是二元一次方程需要注意以下几点:①方程中含有两个未知数,与“二元”对应;②方程中所含两个未知数的项的次数都是一次,与“一次”对应;③等号两边的代数式都是整式.
[变式1]已知方程2x2m-4+4y3n-3=10是二元一次方程,则m= ,n= .
2.5
二元一次方程组及其解
[典例2]下列方程组不是二元一次方程组的是( )
B
二元一次方程组中每一个方程都是一次方程,方程组中含有两个且只含有两个未知数.由若干个一次方程组成的共含有两个未知数的方程组也是二元一次方程组.
[变式2]已知二元一次方程:(1)x+y=4;(2)2x-y=2;(3)x-2y=1.从(1)(2)(3)中选取,可以构造
的二元一次方程组是 .(填一个即可)
建立二元一次方程组模型
[典例3] (2023四川期中)为振兴农村经济,某县决定购买A,B两种药材幼苗发给农民栽种,已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元;购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元,若设每棵A种药材幼苗x元,每棵B种药材幼苗y元,则所列方程组正确的是( )
B
[变式3]根据下图给出的信息列方程组.
设每件T恤衫x元,每瓶矿泉水y元,则列出的二元一次方程组为 .
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6 二元一次方程与一次函数
1.一般地,以一个 为横、纵坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.
2.一般地,从图形的角度看,确定两条直线 的坐标,相当于求相应的二元一次方程组的解;求由两个一次函数的表达式组成的二元一次方程组的解,相当于确定相应两条直线交点 的 .
3.两条直线交点的个数与对应的二元一次方程组解的个数的关系
(1)两条直线平行(无交点) 二元一次方程组 ;
(2)两条直线相交(有一个交点) 二元一次方程组有 ;
(3)两条直线重合(有无数个交点) 二元一次方程组有 .
二元一次方程的解
交点
坐标
无解
唯一解
无数解
二元一次方程与一次函数
[典例1]已知一次函数y=ax+b的图象经过(0,2)和(3,0)两点,则方程ax+b=0的解是( )
A.x=-2
B.x=3
C.x=-2或x=3
D.x=0
B
方程ax+b=0的解就是对应一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标.
[变式1]一元一次方程-3x+9=0的解就是一次函数y=-3x+9的图象与( )
A.x轴交点的横坐标
B.y轴交点的横坐标
C.x轴交点的纵坐标
D.y轴交点的纵坐标
[变式2]一次函数y=kx+b的图象如图,那么方程kx+b=0的解是( )
A
B
二元一次方程组的解与两直线的交点
[典例2]如图,一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1,3),则关于x的方程x+b= kx+4的解是 .
x=1
两个一次函数图象交点的横坐标即是对应方程的解.
[变式3] (2023安徽期中)如图,一次函数y=-2x和y=kx+b的图象相交于点A(-2,4),则关于x的方程kx+b+2x=0的解是 .
x=-2
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3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
(1)审:通过审题,把实际问题转化为数学问题;
(2)设:设出合理的未知数;
(3)找:找出题目中的等量关系;
(4)列:根据等量关系列出方程组;
(5)解:解这个方程组,求出未知数的值;
(6)验:检验所求解是否符合所列方程组以及是否符合实际意义;
(7)答:写出答案.
列二元一次方程组解古代趣题
[典例1] (2023安徽二模)《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳五尺;屈绳量之,不足二尺,木长几何 ”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余2尺,问木条长多少尺 ”如果设木条长x尺,绳子长y尺,可列方程组
为 .
列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,因为此题要列二元一次方程组,所以要注意两句话,同时本题要注意绳子对折,即绳子的二分之一.
[变式1]明代珠算大师程大位著有《算法统宗》一书,书中有一题:“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤(1斤等于16两).”大意是:“隔墙听人分银子,每人分7两,则多4两;每人分9两,则少半斤.”求银子共有多少两.
列二元一次方程组解图形及其他实际问题
[典例2]如图,10块相同的小长方形墙砖能拼成一个大长方形,已知大长方形的宽为35 cm,求一块小长方形墙砖的面积.
[变式2] (2023安徽期中)如图,在长方形ABCD中,放入5个形状大小相同的小长方形(空白部分),其中AB=7 cm,BC=11 cm,求阴影部分的面积.
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