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3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1.把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的 和 ,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2.描点法画函数图象的一般步骤
(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
(2)描点:在直角坐标系中,以自变量的值为 ,相应的函数值为 ,描出表格中数值对应的各点;
(3)连线:按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点连接起来.
横坐标
纵坐标
横坐标
纵坐标
3.正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线.
(1)当k>0时,直线经过第 象限,y的值随x值的增大而 ;
(2)当k<0时,直线经过第 象限,y的值随x值的增大而 ;
(3)正比例函数y=kx中,|k|越大,直线y=kx越靠近 轴,即直线与x轴正半轴的夹角越大;|k|越小,直线y=kx越靠近 轴,即直线与x轴正半轴的夹角 .
一、三
增大
二、四
减小
y
x
越小
正比例函数的图象
(1)画正比例函数y=kx的图象,通常取(0,0),(1,k)两点;
(2)本题还可以选取(0,0),(3,1)和(0,0),(3,-1)画函数图象.
正比例函数的性质
[典例2]正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限,则直线y=(-a-1)x经过( )
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
C
(2)因为函数的图象经过第一、三象限,所以m-1>0,
所以m>1,所以m=2.
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第2课时 借助单个一次函数图象解决简单实际问题
1.从一次函数的图象获取信息的重点在于对函数图象的观察和分析,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系;其次要注意分析图象中各点的意义,尤其是图象与坐标轴的交点.
2.一次函数与一元一次方程的关系
一般地,当一次函数y=kx+b的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程 的解,从图象上看,一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程 的解.
kx+b=0
kx+b=0
单个一次函数图象的应用
[典例1]为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标准,每月用水量x(吨)与应付水费y(元)的函数关系如图.
(1)求出当月用水量不超过5吨时,y与x之间的函数关系式;
解:当月用水量不超过5吨时,y与x之间成正比例关系,当月用水量超过5吨时,y与x之间是一次函数关系,两者都可利用待定系数法进行求解.
(1)当0≤x≤5时,设y=kx,
由x=5时,y=12.5,得12.5=5k,所以k=2.5,
所以0≤x≤5时,y=2.5x.
(2)某居民某月用水量为8吨,求应付的水费是多少元.
解:(2)当x>5时,设y=k1x+b,由图象可知12.5=5k1+b,
27.5=10k1+b,解得 k1=3, b=-2.5,
所以当x>5时,y=3x-2.5.
当x=8时,y=3×8—2.5=21.5.
故应付水费21.5元.
求分段函数的表达式要求根据自变量的取值范围来分段,在求表达式时,两段折点的坐标分别属于这两段.
[变式1]为宣传乡村振兴发展之路,某电视台记者乘汽车赴360 km外的新农村进行采访,路程的前一部分为高速公路,后一部分为省道,若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(单位:km)与时间x(单位:h)之间的关系如图,根据图象解答下列问题:
(1)求汽车在省道上行驶时,行驶的路程y(单位:km与时间x(单位:h)之间的函数关系式;
解:(1)设汽车在省道上行驶时,行驶的路程y(单位:km)与时间x(单位:h)之间的函数关系式是y=kx+b,将(2,180),(3.5,270)代入,得2k+b=180,3.5k+b=270,
解得k=60,b=60,所以y=60x+60(x≥2).
(2)求汽车行驶240 km时,所用的时间.
解:(2)由图象知高速公路全长180 km.
在y=60x+60中,令y=240,得60x+60=240,
解得x=3,
所以汽车行驶240 km时,所用的时间是3 h.
一次函数与一元一次方程的关系
D
任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0),解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的函数值为0时,求相应的自变量的值.
[变式2]如图,已知一次函数y=ax+b的图象为直线l,则关于x的方程ax+b=1的解为( )
A.x=6 B.x=5 C.x=4 D.x=3
B
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4 一次函数的应用
第1课时 求一次函数的表达式
1.正比例函数y=kx中只有一个要确定的系数k,所以只要知道自变量与函数值的 对应值或图象上 的坐标(非原点),即可求出k的值,从而确定表达式.
2.一次函数y=kx+b中有两个要确定的系数k,b,所以只要知道自变量与函数值的 对应值或图象上 的坐标,即可求出k,b的值,从而确定表达式.
3.求函数表达式的一般步骤
(1)设:设出函数表达式 .
(2)列:根据已知条件列出 .
(3)解:解方程求未知数k,b.
(4)代:将k,b代入 中,即得一次函数(或正比例函数)的表达式.
一对
一个点
两对
两个点
y=kx+b(k≠0)
关于k,b的方程
y=kx+b(k≠0)
求正比例函数的表达式
[典例1](2022南京模拟)如图,已知正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作AH⊥x轴,垂足为H,点A的横坐标为5,且△AOH的面积为10.求正比例函数的表达式.
求正比例函数的表达式,具体步骤如下:第一步,设(根据题中要求的函数“设”表达式y=kx,其中k是未知的常量,且k≠0);第二步,求(根据题目中的已知条件,列出方程,解这个方程,求出待定系数k);第三步,代(把求得的k的值代回到“设”的表达式y=kx中);第四步,写(写出正比例函数表达式).
[变式]已知y与x成正比例,且当x=5时,y=2.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)当y=5时,x的值是多少
求一次函数的表达式
[典例2]已知y-2与2x+3成正比例,当x=1时,y=12,求y与x的函数关系式.
解:设y-2=k(2x+3),
把x=1,y=12代入,得12-2=5k,解得k=2,
所以y-2=2(2x+3),
所以y与x之间的函数关系式为y=4x+8.
设出函数的一般形式,如求一次函数的表达式时,先设y=kx+b(k≠0),将自变量x的值及与它对应的函数值y代入所设的表达式,得到关于待定系数的两个方程;解这两个方程,求出待定系数的值,进而得到函数表达式.
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第2课时 一次函数的图象和性质
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标是 .
(0,b)
一次函数的图象
[变式1]在同一平面直角坐标系内,画出下列函数的图象.
(1)y=-3x+4; (2)y=3x+4.
解:(1)当x=0时,y=0+4=4,当y=-2时,x=2,所以一次函数y=-3x+4的图象经过点(2,-2)和(0,4),图象如图.
(2)当x=0时,y=0+4=4,当y=-2时,x=-2,
所以一次函数y=3x+4的图象经过点(-2,-2)和(0,4),图象如图.
一次函数的性质
[典例2]一次函数y=kx+b不经过第三象限,则下列正确的是( )
A.k<0,b>0 B.k<0,b<0
C.k<0,b≥0 D.k>0,b≥0
[变式2]甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象,各自叙述如下:
甲:函数的图象经过点(0,-2);
乙:y随x的增大而减小;
丙:函数的图象不经过第一象限.
根据他们的叙述,写出满足上述性质的一个一次函数的表达式: .
由于正比例函数是特殊的一次函数,因而y=kx+b的图象不经过第三象限,则它可能经过第一、二、四象限,此时满足k<0,b>0,也可能是只经过第二、四象限的正比例函数图象,此时满足k<0,b=0.注意分情况讨论.
C
y=-x-2(答案不唯一)
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2 一次函数与正比例函数
1.若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的
,特别地,当b=0时,称y是x的 .
2.根据条件列一次函数关系式:列函数关系式的关键是分析清楚题目后,找出题目中的
和 .根据题目中的 建立等式,从而写出函数关系式.
一次函数
正比例函数
自变量
因变量
等量关系
一次函数与正比例函数的概念
(1)一个函数若是一次函数,则其自变量的最高指数必须是1次,且一次项系数不
为零.
(2)正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数;当b=0时,一次函数为正比例函数,因此正比例函数是一次函数的特例.
(3)y=1+8x=8x+1是一次函数,但不是正比例函数.
一次函数在实际问题中的应用
解:(1)由表格中座位数与排数的变化规律可知,排数每增加1排,座位数就增加4个,所以第8排的座位数为50+4×(8-1)=78(个).
(2)由座位数随着排数增加的变化规律得y=50+4(x-1)=4x+46.
[典例2]某剧院的观众席的座位为扇形,且按下列方式设置:
(1)按照上表所示的规律,当排数为8时,座位数为多少
(2)写出座位数y与排数x之间的关系式.
排数(x) 1 2 3 4 …
座位数(y) 50 54 58 62 …
本题没有明确指出x是正整数,但结合实际可知x应是正整数.
[变式]一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社,在一个月内(按30天计算)有20天每天可以卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x,每月所获利润为y(元),写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
解:若报亭每天从报社订购晚报x份,
则x应满足60≤x≤100,且x是正整数,
则每月共销售(20x+10×60)份,退回报社10(x-60)份.
又因为卖出的报纸每份获利0.3元,退回的报纸每份亏损0.5元,
所以每月获得的利润为
y=0.3(20x+10×60)-0.5×10(x-60)=x+480,
自变量x的取值范围是60≤x≤100,且x是正整数.
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第3课时 借助两个一次函数图象解决简单实际问题
已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2
1.当k1=k2,b1≠b2时,两条直线 ;
2.当k1≠k2时,两条直线 .
通过两条直线的交点可以解决一些相等和不等的关系问题:
(1)当y1=y2时,由方程k1x+b1=k2x+b2可求得此时自变量x的值及交点坐标;
(2)当y1>y2时,结合图象,根据交点的 可求得此时自变量x的取值范围;
(3)当y1平行
相交
横坐标
横坐标
通过两个一次函数的图象解决实际问题
[典例1]甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升的时间x(单位: s)之间的关系如图.下列说法正确的是( )
A.5 s时,两架无人机都上升了40 m
B.乙无人机上升的速度为8 m/s
C.10 s时,两架无人机的高度差为20 m
D.10 s时,甲无人机距离地面的高度是60 m
C
利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用,在解决有关函数问题时有着重要的作用.
[变式1]已知A,B两地相距4千米.上午8:00甲从A地出发步行到B地,8:20乙从B地出发骑自行车到A地,甲、乙两人离A地的距离(千米)与甲所用的时间(分)之间的关系如图.由图中的信息可知,乙到达A地的时间为( )
A.8:30 B.8:35
C.8:40 D.8:45
C
一次函数的综合应用
[典例2]漏刻是我国古代的一种计时工具,据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,这是中国古代人民对函数思想的创造性应用,小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型,研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数,下表是小明记录的部分数据,当时间t为 8时,对应的高度h为( )
t(min) … 1 2 3 …
h(cm) … 2.4 2.8 3.2 …
A.3.6 B.4.4 C.5.2 D.6.0
C
[变式2]甲、乙两商场出售相同的某种商品,每件售价均为3 000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:第一件按原价收费,其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是:每件优惠25%.设所买商品为x(x>1)件,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.
(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式.
(2)当所买商品为5件时,选择哪家商场更优惠 请说明理由.
解:(1)当x>1时,y1=3 000+3 000(x-1)×(1-30%)=2 100x+900,所以y1=2 100x+900(x>1).
y2=3 000x(1-25%)=2 250x,所以y2=2 250x(x>1).
(2)选择乙商场更优惠.理由如下:
当x=5时,y1=2 100x+900=2 100×5+900=11 400,y2=2 250x=2 250×5=11 250.
因为11 400>11 250,所以当所买商品为5件时,选择乙商场更优惠.
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第四章 一次函数
1 函数
1.一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有
的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是 .
2.函数的表示方法: 、 和 .
3.自变量的取值范围:使函数有意义的自变量的 .
4.对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有 的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
唯一
自变量
列表法
关系式法
图象法
所有取值
唯一确定
函数的概念及函数的表示方法
[典例1]下列四个图象中,哪些是y关于x的函数 请用函数定义判断.
① ② ③ ④
解:由函数的定义,得①②③都是y关于x的函数,
④中当x取一个值时,y可能有2个值,所以y不是x的函数.
C
函数自变量的取值范围及函数值
解:(1)由题意,得自变量x取任意实数.
(2)由题意,得自变量的取值应使分母不为零,
即x-2≠0, 所以x≠2,
所以自变量x的取值范围是x≠2.
根据已知条件和函数关系式,列出不等式,再解所列不等式,即先列再解.
C
用方程思想来解题,若关系式确定,已知自变量x的值,通过求代数式的值,可以求出函数值;反之,若已知函数值,通过解方程,也可以求出x的值.
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