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1.1 集合的概念及其表示
1．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数
3．（2020·高一课时练习）下列对象能构成集合的是（ ）
A．2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目
B．我国从1991~2016年发射的所有人造卫星
C．2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员
D．5，4，4，7
4．（2023·上海·模拟预测）已知，，若且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·高一课时练习）设集合，则下列元素属于A的是（ ）
A． B． C． D．0
6．（2023·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
7．（2020·高一课时练习）设集合，集合且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2017秋·广东茂名·高一阶段练习）方程组的解集是
A． B． C． D．
9．（2022·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
10．（2021秋·江苏南通·高一校考期中）已知集合，，若，则等于
A．或3 B．0或 C．3 D．
11．（2022秋·高一课时练习）由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
12．（2020秋·天津宝坻·高一校考阶段练习）下列各种对象的全体，可以构成集合的是______(用题号填空).①某班比较聪明的学生；②高一数学课本中的难题；③心地善良的人；④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生.
13．（2023·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________.
14．（2023·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______.
15．（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）用列举法表示集合＝________．
16．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．
17．（2022·高一课时练习）已知，.若，则______.
18．（2021秋·高一课时练习）已知集合S满足:若，则.请解答下列问题:
(1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若，则.
(3)在集合S中，元素能否只有一个 若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
19．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
20．（2022·全国·高三专题练习）用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
21．（2021·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
（1） 满足的x值组成的集合；
（2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3） 不大于15的正奇数组成的集合；
（4） 不大于10的正偶数组成的集合．
22．（2021·高一课时练习）用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
23．（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
（1）比1大又比10小的实数组成的集合；
（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．
24．（2022秋·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知集合，，若.
（1）求实数的值；
（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.
25．（2021·高一课时练习）已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
（1）若－3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B．
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1.1 集合的概念及其表示
1．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
2．（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数
【答案】D
【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.
【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
3．（2020·高一课时练习）下列对象能构成集合的是（ ）
A．2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目
B．我国从1991~2016年发射的所有人造卫星
C．2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员
D．5，4，4，7
【答案】B
【解析】对选项，“好看的节目”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项,满足集合元素的确定性，所以这些对象可以构成集合；对选项,“高个子”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项，含有相同的元素“4”，不满足集合元素的互异性，所以不能构成集合.
【详解】对选项，2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目，“好看的节目”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；
对选项,我国从1991~2016年发射的所有人造卫星，满足集合元素的确定性，所以这些对象可以构成集合；
对选项,2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员，“高个子”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；
对选项，5，4，4，7，含有相同的元素“4”，不满足集合元素的互异性，所以不能构成集合.
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的元素，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．（2023·上海·模拟预测）已知，，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答.
【详解】因为，由，得或，
又，且，即有且，因此，
所以.
故选：A
5．（2023·高一课时练习）设集合，则下列元素属于A的是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】根据集合中元素特征即可求解.
【详解】，故，所以ABD错误，C正确，
故选：C
6．（2023·高一课时练习）若集合，则N中元素的个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解.
【详解】由可知集合,故共有9个元素，
故选：C
7．（2020·高一课时练习）设集合，集合且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素.
【详解】集合，集合，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得.
综上.
故选：C
【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题.
8．（2017秋·广东茂名·高一阶段练习）方程组的解集是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的解法，得到解，根据集合的写法，可得答案.
【详解】由解得，所以解集为D，注意集合的正确写法，
故选：D.
9．（2022·高一单元测试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
10．（2021秋·江苏南通·高一校考期中）已知集合，，若，则等于
A．或3 B．0或 C．3 D．
【答案】C
【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得的值.
【详解】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.
故选：C
【点睛】本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，属于基础题.
11．（2022秋·高一课时练习）由下列对象组成的集体属于集合的是_____(填序号).
①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.
【答案】①④
【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.
【详解】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合.
故答案为：①④
12．（2020秋·天津宝坻·高一校考阶段练习）下列各种对象的全体，可以构成集合的是______(用题号填空).①某班比较聪明的学生；②高一数学课本中的难题；③心地善良的人；④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生.
【答案】④
【解析】根据集合元素的确定性得到答案.
【详解】①中“比较聪明”， ②中的“难题”, ③中“心地善良”标准不确定，
不满足构成集合元素的确定性，
④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生能构成集合
故答案为：④
【点睛】本题考查了集合元素的确定性的理解与应用，属于基础题.
13．（2023·高一课时练习）数集中的元素a不能取的值是__________.
【答案】0，1，2，
【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解.
【详解】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且
故答案为：0，1，2，
14．（2023·高一课时练习）已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是______.
【答案】2或4
【分析】对，分类讨论即可.
【详解】若，则，符合题意；
若，则，符合题意；
若，则，不符合题意.
故答案为:2或4.
15．（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）用列举法表示集合＝________．
【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}.
【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案
【详解】，
为的因数
则
则答案为
【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．
16．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．
【答案】
【分析】利用列举法求解即可.
【详解】因为,所以且,即且,
又因为,所以,对应的,
其中,所以只能取,
故,
故答案为: .
17．（2022·高一课时练习）已知，.若，则______.
【答案】
【分析】根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】因为
所以解之得：
18．（2021秋·高一课时练习）已知集合S满足:若，则.请解答下列问题:
(1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.
(2)证明:若，则.
(3)在集合S中，元素能否只有一个 若能，把它求出来;若不能，请说明理由.
【答案】(1)和.
(2)证明见解析
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）由得到，进而求出，得到答案；
（2），进而得到，化简得到答案；
（3）令，方程无解，得到结论.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，循环.
所以集合S中另外的两个元素为和.
（2）由题意，可知且，
由，得，
即，
所以若，则.
（3）集合S中的元素不可能只有一个.
理由如下:令，
即.
因为，所以此方程无实数解，所以.
因此集合S中不可能只有一个元素.
19．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若，则，②，求：
(1)A中至少有几个元素？
(2)若条件②换成，A中至少含有的元素是什么？
(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.
【答案】(1)3；
(2)；
(3)令，A中至少含有的其他元素是.（答案不唯一）
【分析】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答.
（2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答.
（3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答.
【详解】（1）因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少有3个元素.
（2）因为，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的元素是.
（3）令，由①知，，而，则，而，则，
所以集合A中至少含有的其它元素是.
20．（2022·全国·高三专题练习）用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n,n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}
(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(3)
(4){－1, 1}
(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
【分析】根据集合的列举法的概念即得.
（1）
{x|x是14的正约数}={1, 2, 7, 14}.
（2）
{(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
（3）
{(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=.
（4）
{x|x＝(－1)n,n∈N}={－1, 1}.
（5）
{(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
21．（2021·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
（1） 满足的x值组成的集合；
（2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合；
（3） 不大于15的正奇数组成的集合；
（4） 不大于10的正偶数组成的集合．
【答案】答案见解析
【分析】根据列举法的定义逐一求解即可
【详解】（1）因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7，
所以满足的x值组成的集合为{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7}．
（2）因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为．
（3）因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15 ，
所以不大于15的正奇数组成的集合为{1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15}．
（4）因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10，
所以不大于10的正偶数组成的集合为{2， 4， 6， 8， 10}．
22．（2021·高一课时练习）用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
【答案】答案见解析．
【分析】根据集合的表示法求解．
【详解】（1），集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；
（2），即，，
集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；
（3）集合可表示为，列举法表示为．
23．（2022·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
（1）比1大又比10小的实数组成的集合；
（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．
【答案】（1）{xR|10}；（3）{x|x＝3n＋1，nN}.
【分析】根据描述法的表示形式，（1）（3）都用x表示元素，再根据条件写出x满足的条件，从而表示出这两个集合，而（2）中的元素用（x，y）表示，表示点，然后写出x，y满足的条件，即可表示出该集合．
【详解】解：（1）{xR|1（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}；
（3）{x|x＝3n＋1，nN}．
24．（2022秋·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知集合，，若.
（1）求实数的值；
（2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据元素与集合的属于关系的定义进行分类讨论进行求解即可；
（2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】解：（1）∵，∴或者
得或，
验证当 时，集合，集合内两个元素相同，故舍去
∴
（2）由上得，故集合中，方程的两根为1、-3.
由一元二次方程根与系数的关系，得.
【点睛】本题考查了已知集合与元素属于关系的应用，考查了集合相等的定义，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.
25．（2021·高一课时练习）已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.
（1）若－3∈A，求a的值；
（2）若x2∈B，求实数x的值；
（3）是否存在实数a，x，使A＝B．
【答案】（1）a＝0或－1；（2）x＝－1；（3）不存在.
【解析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．
（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．
（3），若，则，，5，，若，则，，，，由此求出不存在实数，，使．
【详解】解：（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，．，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．
实数的值为．
（3），
若，则，，5，，
若，则，，，，
不存在实数，，使．
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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