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1.2 集合间的基本关系
1．（2021秋·高一课时练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】D
【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【详解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
2．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合见的元素特点，判断集合间的关系即可.
【详解】解：集合，
则，x是6的倍数，且为正整数，可知x必是3的倍数，即，
所以，则，
又，所以 .
故选：C．
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
【答案】C
【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.
【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.
故选：C.
4．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可.
【详解】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素，
∴不是A的子集。故C不对，
故选：C.
5．（2022秋·高一课时练习）下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用集合的概念及集合的表示即可判断.
【详解】选项A，B，D对应的集合中只有一个元素2018，故它们是相同的集合，
而C中虽只有一个元素，但该元素是用等式作为元素，而不是实数2018，
故选项C与其他三个选项不同.
故选：C.
6．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.
【详解】由解得或，
所以，C正确；
选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，
故选：C
7．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
8．（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若 ，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】B
【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【详解】解：由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足 ；
当时，解得，要使得 ，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
9．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用子集的定义即可求解.
【详解】，
∴当时，，满足；
当时，若，则时，时，．
的取值集合是．
故选：C．
10．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分、和三种情况讨论，分别求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
当时，此时，符合题意；
当时，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：C
11．（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______.
【答案】
【分析】根据子集概念求解即可。
【详解】因为，
所以的子集为.
故答案为：.
12．（2021·上海·高一专题练习）给出下列选项，其中正确的有________
（1）∈{{ }} （2） {{ }}
（3）∈{ } （4） { }
【答案】（2）（3）（4）
【分析】结合空集、元素与集合、集合与集合的关系确定正确结论.
【详解】对于（1），不是{{}}的元素，故不正确；对于（2），是任何集合的子集，所以是{{}}的子集，故正确；对于（3），是{}的元素，故正确；对于（4），是任何非空集合的真子集，{}有一个元素，是非空集合，故正确.
故答案为：（2）（3）（4）.
13．（2020秋·高一课时练习）判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）空集中只有元素，而无其余元素（ ）
（2）任何一个集合都有子集（ ）
（3）若，则（ ）
（4）空集是任何集合的真子集（ ）
【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.
【分析】（1）利用空集的概念可判断原命题的正误；
（2）根据空集的性质可判断原命题的正误；
（3）根据集合相等的定义可判断原命题的正误；
（4）根据空集的性质可判断原命题的正误.
【详解】（1）空集是不含任何元素的集合，原命题为假命题；
（2）空集是任何集合的子集，原命题为真命题；
（3）若且，则，由集合相等的定义可知原命题为真命题；
（4）空集是任何非空集合的真子集，不是空集本身的真子集，原命题为假命题.
故答案为：（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了空集的概念与性质以及集合相等定义的应用，属于基础题.
14．（2020·高一课时练习）若集合为空集,则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】集合为空集，关于的方程无实数解，利用一元二次方程根的判别式，即可求解.
【详解】集合为空集，
故，
故答案为:
【点睛】本题考查空集的概念，对于空集的理解是解题的关键，属于基础题.
15．（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）设全集，集合，，且，则实数______．
【答案】3或-1/-1或3
【分析】根据集合相等得到，解出m即可得到答案.
【详解】由题意，或m=-1.
故答案为：3或-1.
16．（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考期中）已知集合．若，则实数________．
【答案】1
【分析】由集合相等得，解方程即可.
【详解】由，，可得，.
故答案为：1
17．（2023·全国·高三对口高考）设集合若，则实数p的取值范围是__________．
【答案】
【分析】分类讨论集合N是否为空集，结合集合包含关系求范围即可.
【详解】若N为空集，即，
若N不为空集，则且，
综上：.
故答案为：
18．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，则实数a的值是_________．
【答案】-3
【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以是方程的解，
即，解得.
经检验，符合题意，所以.
故答案为：.
19．（2022秋·山东泰安·高一统考期中）（多选题）已知集合满足 ，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据真子集的定义直接判断即可.
【详解】因为 ，
所以集合可以是、，不能是、.
故选：AC
20．（2022秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）已知，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据集合间的包含关系判断即可．
【详解】解：因为，
所以对于A，若，满足题意；
对于B，若，，不满足题意；
对于C，若，满足题意；
对于D，若，则，不满足题意．
故选：AC．
21．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）满足的集合A是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用子集的定义理解辨析即可.
【详解】对于AD，因为，所以集合A必然含有元素，即，，故AD错误；
对于BC，又因为，所以元素可能是集合A中的元素，也可能不是，
所以满足的集合可以是或，故BC正确.
故选：BC.
22．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．
C．
D．非空集合都有真子集
【答案】BD
【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD的正误；选项B ，通过解方程，可求出集合中的元素，从而判断出选项B正确；选项C ，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合与间的关系，从而判断出选项C错误.
【详解】对于选项A，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A错误；
对于选项B，由，得到或，所以，所以选项B正确；
对于选项C，因为，，所以，所以选项C错误；
对于选项D，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确.
故选：BD
23．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）（多选题）已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】ACD
【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.
【详解】
当时, , 显然满足条件;
当时, , 集合,
故, 或, 解,
故实数的取值的集合是 .
故选：ACD.
24．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）（多选题）若集合，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先解二次方程化简，再分类讨论与两种情况即可得解.
【详解】由，解得或，故，
因为，，
所以当时，；
当时，，则或，
所以或；
综上：或或，故ABC正确.
故选：ABC.
25．（2021秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知集合，求：
(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围；
（2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根
所以，故；
（2）由题意得或只有负根，
当时，，故，
当只有负根时，，无解，
综上，实数的取值范围为.
26．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）设集合，.
(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若求实数m的值.
【答案】(1)1
(2)m＝1或m＝2
【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；
（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.
【详解】（1）解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故.
解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1.
（2）由，解得或，
由，整理可得，解得或，
B A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B A，
当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B A，故m＝1或m＝2.
27．（2022秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)254
(2)
【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
当时，共8个元素，
的非空真子集的个数为个；
（2）由题知，
显然，
因为，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
28．（2022秋·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知集合，集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解中的一元二次方程即可；
（2）分和，即分和讨论即可.
【详解】（1），解得或，
故.
（2）①当时，符合；
②当即时，
则，由可得或，解得或
综上的取值集合为.
29．（2022秋·山东日照·高一校考阶段练习）设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
【答案】(1)；
(2)3
【分析】（1）求解即可得；
（2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可.
【详解】（1）由解得或，则，
故集合A的子集为：；
（2）B为非空集合，得或或，
由或代入可得，故a的值为3.
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1.2 集合间的基本关系
1．（2021秋·高一课时练习）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
2．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
4．（2022秋·广西河池·高一校联考阶段练习）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·高一课时练习）下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
8．（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若 ，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
9．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已集合，若，则实数a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______.
12．（2021·上海·高一专题练习）给出下列选项，其中正确的有________
（1）∈{{ }} （2） {{ }}
（3）∈{ } （4） { }
13．（2020秋·高一课时练习）判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）空集中只有元素，而无其余元素（ ）
（2）任何一个集合都有子集（ ）
（3）若，则（ ）
（4）空集是任何集合的真子集（ ）
14．（2020·高一课时练习）若集合为空集,则实数的取值范围是________
15．（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）设全集，集合，，且，则实数______．
16．（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考期中）已知集合．若，则实数________．
17．（2023·全国·高三对口高考）设集合若，则实数p的取值范围是__________．
18．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，则实数a的值是_________．
19．（2022秋·山东泰安·高一统考期中）（多选题）已知集合满足 ，则可以是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）已知，则集合可能是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）满足的集合A是（ ）
A． B． C． D．
22．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．空集没有子集
B．
C．
D．非空集合都有真子集
23．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）（多选题）已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
24．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）（多选题）若集合，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2021秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知集合，求：
(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
26．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）设集合，.
(1)若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
(2)若求实数m的值.
27．（2022秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.
(1)当时，求的非空真子集的个数；
(2)若，求的取值范围.
28．（2022秋·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校考阶段练习）已知集合，集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值集合.
29．（2022秋·山东日照·高一校考阶段练习）设，．
(1)写出集合A的所有子集；
(2)若B为非空集合，求a的值．
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