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1.2 集合间的基本关系
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
2．真子集
（1）子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
（2）真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
3．集合相等
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
4．空集
（1）．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
（2）．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
(一) 求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例1．（1）、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据真子集的定义即可求解.
【详解】
由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
（2）、（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知集合M {2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】利用集合子集的概念及题意一一列举即可.
【详解】若M有一个元素，则；
若M有两个元素，则；
若M有三个元素，则
∴满足题意的集合M的个数为6个.
故选：B.
【变式训练1-1】、（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）写出集合的所有子集_____．
【答案】，，，
【分析】根据子集的概念进行求解即可
【详解】集合的所有子集有，，，.
故答案为：，，，
【变式训练1-2】．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）集合的真子集的个数是（ ）
A．15 B．8 C．7 D．63
【答案】C
【分析】根据条件求解的范围，结合，得到集合为，写出其真子集即得解.
【详解】由于，
，又，
，
，即集合，
该集合的所有真子集为，
该集合的真子集个数为，
故选：C.
例2．（2021秋·高一课时练习）设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于集合，令和，即得解.
【详解】，，，，
对于集合，当时，，；
当时，，．
，
故选：B．
【变式训练2-1】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）集合，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求出集合、、的元素，再根据集合包含关系和相等关系的定义即可求解.
【详解】
因为，所以，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数，
，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数，
因为，所以是偶数，所以集合中的元素是的偶数倍加这样的数，
所以，故选：D.
(二) 空集
例3．（1）、（2022秋·高一课时练习）下列集合中为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；
对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；
对于D中，不等式，解得，，不符合题意.
故选：C.
(2)、（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）（多选题）下列关系中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】根据集合间关系可得 正确，错误
根据元素与集合之间的关系可得正确，错误
故选：AB.
【变式训练3-1】．（2022秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空集、集合与集合之间的关系即可判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
【变式训练3-2】．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）（多选题）下列关系中表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断.
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
(三) 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例4．（1）、（2020·江苏徐州·高一徐州三十五中校考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合中的元素类型逐一判断即可.
【详解】对于A：集合中的元素是点集，但不是相同的点，故不是同一集合；
对于B：集合中的元素是数集，并且是相同元素，故是同一集合；
对于C：集合中的元素是点集，集合中的元素是数集，故不是同一集合；
对于D：集合中的元素是数集，集合中的元素是点集，故不是同一集合；
故选：B.
（2）、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】
因为
所以解之得：
故答案为：
【变式训练4-1】、（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知集合，集合，且，则实数__________.
【答案】
【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果.
【详解】，，解得：或；
当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，满足题意；
综上所述：.
故答案为：.
【变式训练4-2】、（2022秋·甘肃定西·高三校考阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】分，和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：分以下两种情况讨论，
当且，时，不妨设两个方程的实数根为，
则，解得；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：
(四) 子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例5．（1）、（2023·全国·高一专题练习）（多选题）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；
对于B，时，，有，故选项B正确；
对于C，时，，有，故选项C正确；
对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.
故选：ABC.
（2）、（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
因为集合，
对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
【变式训练5-1】、（2022秋·山东青岛·高一校考期中）（多选题）若集合，，且，则满足条件的实数a可以为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】ABC
【分析】分和两类情况讨论即可求解.
【详解】，
当时，，满足；
当时，，
若，解得；
若，解得.
所以满足条件的实数a可以为.
故选：ABC
【变式训练5-2】、（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足的集合有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．16个
【答案】C
【分析】
根据子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有4个元素，对集合X中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数.
【详解】
解：由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有4个元素，
因此集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，
{1，2，3，4}，共8个.
故选：C．
(五) 根据两个集合之间的关系求参数范围
例6．（2023·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；
（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
【变式训练6-1】、（2021秋·高一课时练习）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
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1.2 集合间的基本关系
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
2．真子集
（1）子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
（2）真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
3．集合相等
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
4．空集
（1）．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
（2）．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
(一) 求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例1．（1）、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）、（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知集合M {2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【变式训练1-1】、（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）写出集合的所有子集_____．
【变式训练1-2】．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）集合的真子集的个数是（ ）
A．15 B．8 C．7 D．63
例2．（2021秋·高一课时练习）设集合，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）集合，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
(二) 空集
例3．（1）、（2022秋·高一课时练习）下列集合中为的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)、（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）（多选题）下列关系中，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】．（2022秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）（多选题）下列关系中表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
(三) 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例4．（1）、（2020·江苏徐州·高一徐州三十五中校考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【变式训练4-1】、（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知集合，集合，且，则实数__________.
【变式训练4-2】、（2022秋·甘肃定西·高三校考阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是______．
(四) 子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例5．（1）、（2023·全国·高一专题练习）（多选题）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】、（2022秋·山东青岛·高一校考期中）（多选题）若集合，，且，则满足条件的实数a可以为（ ）
A． B．0 C． D．
【变式训练5-2】、（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足的集合有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．16个
(五) 根据两个集合之间的关系求参数范围
例6．（2023·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【变式训练6-1】、（2021秋·高一课时练习）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
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