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1.3 集合的运算
1．（浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广西·高二校联考期中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（贵州省新高考“西南好卷）已知集合，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
9．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知集合，，则__________．
10．（2022秋·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知全集，则_____________．
11．（2022秋·四川·高一统考期中）已知全集，集合，，则________.
12．（2023·全国·高三专题练习）“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______．
13．（2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围是 __．
14．（2022秋·高一校考单元测试）已知集合，，若，则实数a的值为______．
15．（2022秋·河北廊坊·高一校考阶段练习）七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为______.
16．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）（多选题）若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）（多选题）若集合，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
18．（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）（多选题）能正确表示图中阴影部分的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2022秋·江苏南京·高一江苏省南京市第十二中学校考期中）（多选题）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·浙江温州·高一校联考期中）（多选题）已知集合，集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
21．（2021秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）（多选题）已知集合，，下列表示正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．（2022秋·浙江·高一校联考期中）（多选题）对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
23．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）（多选题）已知集合，全集，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022秋·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）（多选题）若集合，集合，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022秋·高一单元测试）若集合．
(1)若，全集，试求．
(2)若，求实数的取值范围．
27．（2023·全国·高一专题练习）已知，，全集
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
28．（2023·高一单元测试）已知全集为，集合，．
(1)求；
(2)若，且 ，求的取值范围．
29．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）已知集合，求.
30．（2021秋·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知全集，，．
(1)求；
(2)求．
31．（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）已知集合，或．
(1)若全集，求、；
(2)若全集，求；
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1.3 集合的运算
1．（浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
2．（2023春·广西·高二校联考期中）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个．
故选：B
3．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由交集定义可得答案.
【详解】由题，.
故选：B
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
5．（贵州省新高考“西南好卷）已知集合，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故或.
故选：B.
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，用列举法表示集合A，再结合韦恩图列式求解作答.
【详解】依题意，，而阴影部分表示的集合是，
又，则，
所以.
故选：C
7．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
8．（2022秋·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
【答案】B
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.
【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则，，
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，
即，
，
由容斥原理：
，
解得：，
故选：B.
9．（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知集合，，则__________．
【答案】
【分析】根据并集的定义即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
故答案为：
10．（2022秋·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知全集，则_____________．
【答案】
【分析】利用交集与补集运算即可得到结果.
【详解】∵全集，
∴，，
∴，
故答案为：
11．（2022秋·四川·高一统考期中）已知全集，集合，，则________.
【答案】8
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】因为全集，集合，，
所以，即，
所以.
故答案为：8.
12．（2023·全国·高三专题练习）“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______．
【答案】20
【分析】由三元容斥原理求解即可.
【详解】首先设是会打兵兵球的教师，是会打羽毛球球的教师，
是会打蓝球的教师，
根据题意得，，，，，
再使用三元容斥原理得：
，
有，
而中把的区域计算了3次，
于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.
故答案为：20.
13．（2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围是 __．
【答案】
【分析】根据题意得出，然后分和两种情况，再利用集合间的包含关系即可求解．
【详解】根据题意，因为集合，，
且，则，
当时，，即，符合题意，
当时，，得，
综上，的取值范围为，
故答案为：.
14．（2022秋·高一校考单元测试）已知集合，，若，则实数a的值为______．
【答案】
【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.
【详解】联立，
解得，
若，
则，
所以.
①当 时，两个集合的条件都变为，因此交集不为空集.
②当 时，两个集合的条件都变为和，所以交集为空集.
故答案为：.
15．（2022秋·河北廊坊·高一校考阶段练习）七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为______.
【答案】40
【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解.
【详解】设为七宝中学高一某班全体学生，
集合参加大舞台的学生，
集合参加风情秀的学生，
设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，
两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为，
则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，
得，
解得，
所以总的人数为人.
故答案为：
16．（2022秋·福建泉州·高一校考阶段练习）（多选题）若集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】直接根据Venn图法即可求解．
【详解】，Venn图如图所示：
∴，，，，
故选：ABD．
17．（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）（多选题）若集合，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据，分别求出，依次判断ACD正确，B错误.
【详解】因为，所以，A正确；
，当时，，B错误；
因为，而，所以，C正确；
因为，而，所以，D正确.
故选：ACD.
18．（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）（多选题）能正确表示图中阴影部分的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】由集合运算和Venn图知识对选项依次辨析即可.
【详解】对于A，
为，∴为，故选项A正确；
对于B，
为，∴为，故选项B错误；
对于C，
为，为，
∴为，故选项C错误；
对于D，
为，∴为，
∴为，故选项D正确.
故选：AD.
19．（2022秋·江苏南京·高一江苏省南京市第十二中学校考期中）（多选题）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】集合为偶数集，集合为奇数集，逐个分析选项即可得到答案.
【详解】集合为偶数集，集合为奇数集，集合与集合的交集为空集，故选项A错误；集合与集合的并集为整数集，故选项B与选项C正确；由于，集合B是集合B的子集，不是真子集，故选项D错误.
故选：BC.
20．（2022秋·浙江温州·高一校联考期中）（多选题）已知集合，集合，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】首先确定集合，再根据集合的运算，判断选项.
【详解】集合是偶数集合，集合是奇数集合，
所以正确；正确；正确； 错误，应改为，故D错误.
故选：ABC
21．（2021秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校考阶段练习）（多选题）已知集合，，下列表示正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BCD
【分析】根据元素和集合的关系、集合与集合的关系确定正确答案.
【详解】依题意集合，，
所以，，A选项错误，C选项正确.
由上述分析可知：，，B选项正确，
空集是任何集合的子集，正确，
由于，且集合中还包括无理数，所以 ，D选项正确.
故选：BCD
22．（2022秋·浙江·高一校联考期中）（多选题）对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
【答案】ABC
【分析】根据集合新定义即，且，一一判断各选项，可得答案.
【详解】因为，且，
所以若，则，故A正确，
若，则,则，故B正确;
，，或，则，故C正确，
若，，则，，
或，故D错误.
故选：ABC
23．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】对分三种情况讨论，再结合“全食”或“偏食”的概念分析得解.
【详解】当时，，,所以与构成“全食”；
当时，，如果，与构成“全食”；如果，，此时与构成 “偏食”；
当时，如果则，，，所以与构成“全食”；如果则，，所以选项A错误；
故选：BCD
24．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）（多选题）已知集合，全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用交集，并集，补集的定义进行运算，再结合子集的定义，即可得到答案
【详解】因为，，
所以，，故A正确，B不正确；
又或，或，
所以，集合不是的子集，故C正确，D不正确，
故选：AC
25．（2022秋·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）（多选题）若集合，集合，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据集合，集合，可判断 ，由此判断A,B;根据集合的运算，可判断C,D.
【详解】由于集合，集合，则 ,
,,A正确；
由于 ,故，B正确；
，C错误；
，D错误，
故选：AB.
26．（2022秋·高一单元测试）若集合．
(1)若，全集，试求．
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得，得到和，结合集合的交并补运算即可得解.
（2）求得，结合题意得到，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）当时，可得，
因为，可得，
则，所以．
（2）因为，
由，可得，所以，
即实数的取值范围是.
27．（2023·全国·高一专题练习）已知，，全集
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；
（2）分与由条件列不等式求范围即可.
【详解】（1）当时，，
所以或，又，
所以.
（2）由题可得：当时，有，
解得a的取值范围为；
当时有，解得a的取值范围为，
综上所述a的取值范围为.
28．（2023·高一单元测试）已知全集为，集合，．
(1)求；
(2)若，且 ，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式可得集合，即可求得；
（2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）解不等式，解得，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
又 ，
则或，解得或，
即.
29．（2022秋·浙江温州·高一校考期中）已知集合，求.
【答案】
【分析】根据集合交集以及并集的定义即可求解.
【详解】因为，
所以.
30．（2021秋·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知全集，，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.
（2）根据交集和补集的知识求得正确答案.
【详解】（1）由于，，
所以
（2），
所以或.
31．（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）已知集合，或．
(1)若全集，求、；
(2)若全集，求；
【答案】(1)或；或
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的运算即可得到结果；
（2）根据题意，由集合的交集，补集运算即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得，或
且或，则或
（2）根据题意，且，则可得
则
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