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1.3 集合的运算
【知识点1、并集】
1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1） （2） （3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），； （2）；
（3）； （4）．
【知识点2、交集】
1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
2．交集的性质
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【知识点3、全集与补集】
1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
2．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
（一）、集合的并集
例1．（1）、（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用集合的并集运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
（2）、（2022·北京顺义·二模）已知集合，，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用并集概念及运算法则进行计算.
【详解】
在数轴上画出两集合，如图：
.
故答案为：
【变式训练1-1】、（2023·上海松江·校考模拟预测）已知集合}，，则________．
【答案】
【分析】由集合的并集的定义求解即可.
【详解】因为集合}，，
则.
故答案为：
【变式训练1-2】、（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据并集的运算可得答案.
【详解】因为，，所以.
故选：B.
（二）、集合的交集
例2．（1）、（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集的运算法则求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
（2）、（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知集合，若，则实数的所有可能值的集合是________________________．
【答案】
【分析】利用可得到，化简集合，然后分别对和进行讨论，即可得到答案
【详解】解：因为，所以，
因为，，
所以当时，，满足题意；
当时，则，
由可得或，解得或，
所以实数的所有可能值的集合
故答案为：
【变式训练2-1】．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）（多选题）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用集合的交并运算与子集的概念，对选项逐一分析即可.
【详解】对于AB，因为，
所以，，故AB正确；
对于C，因为，但，所以不成立，故C错误；
对于D，由选项AB易知，故D错误.
故选：AB.
【变式训练2-2】．（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据交集的概念求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
（三）、集合的补集
例3．（1）、（2022秋·上海静安·高一校考期中）设全集，集合，则__________.
【答案】
【分析】根据集合的补运算，结合已知条件直接求解即可.
【详解】根据已知条件可得：.
故答案为：.
（2）、（海南省海口市等5地、琼中黎族苗族自治县琼中中学等2校2023届高三上学期12月期末数学试题）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用补集定义即可求出结果.
【详解】，
，
.
故选:C.
【变式训练3-1】、（2022秋·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）若全集，集合，则__________.
【答案】
【分析】根据补集的概念求解即可.
【详解】解：由题意得：
因为全集，集合
故
【变式训练3-2】．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，且，则（ ）
A． B．{2} C． D．
【答案】C
【分析】根据交集和补集的定义可求.
【详解】，
由题设有，故，
故选：C.
（四）、集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
例4．（1）、（2022秋·福建福州·高一福州三中校考期中）（多选题）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们就称G是一个数域，以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，⑤无理数集不是一个数域．其中正确的选项有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤
【答案】AD
【分析】结合数域概念举例可依次验证.
【详解】对①，设，有，即，故①正确；
对②，设，则有，即，若，则，则，，则，故②正确；
对③，当时，，所以不是一个数域，故③错误；
对④，因为，则，且时，，故④正确；
对⑤，若则，，故无理数集不是一个数域，⑤正确.
故选：AD
（2）、（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选：D.
【变式训练4-1】．（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为______．
【答案】1010
【分析】由为“大境集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解.
【详解】联立得，即，，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得，
则，
所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“大境集”的个数.
故答案为：1010
【变式训练4-2】．（2022秋·四川成都·高一校联考期中）高一某班有学生46人，其中体育爱好者有40人，音乐爱好者有38人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育也爱好音乐的学生人数为（ ）
A．26 B．29 C．32 D．35
【答案】D
【分析】设未知数，利用容斥原理，得到方程，解出即可.
【详解】设既爱好体育又爱好音乐的人数为,则仅爱好体育的人数为,仅爱好音乐的人数为.因为既不爱好体育又不爱好音乐的人数为3,所以,
解得.
故选：D．
（五）、集合的运算的综合应用
例5、（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合，.
(1)求
(2)求的子集个数
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据补集的定义即可得解；
（2）根据交集的定义求出，再根据子集的定义即可得解.
【详解】（1）因为，
所以或；
（2），
所以，
所以的子集个数有个.
【变式训练5-1】、（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据交集概念进行计算；
（2）根据并集概念进行计算；
（3）先求出，进而求出答案.
【详解】（1）；
（2）.
（3），
故，，.
（六）、含有参数的集合的运算的综合应用
例6．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，集合．
(1)若时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；或
(2)或
【分析】（1）根据集合的交并补的运算，即可求得答案;
（2）由题意讨论集合B是否为空集，不为空集时，列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】（1）因为，当时，，
又因为，所以．
因为或，
所以或；
（2）时，
当时，，解得，
当时，或，解得或，
综上，实数的取值范围是或.
【变式训练6-1】、（2022秋·高一单元测试）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范围；
（2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范围．
【详解】（1）因为，所以解得．
故的取值范围是．
（2）因为，所以，
则或，解得或．
故的取值范围是．
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1.3 集合的运算
二、经验分享
【知识点1、并集】
1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：___________（读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1） （2） （3）
由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的．
2．并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
（1），； （2）；
（3）； （4）．
【知识点2、交集】
1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：___________（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
（1）A与B相交（有公共元素） （2），则 （3）A与B相离（）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．
2．交集的性质
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【知识点3、全集与补集】
1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
2．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
（2）若，则或，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
（一）、集合的并集
例1．（1）、（2023春·浙江杭州·高二统考学业考试）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·北京顺义·二模）已知集合，，则 ____________.
【变式训练1-1】、（2023·上海松江·校考模拟预测）已知集合}，，则________．
【变式训练1-2】、（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
（二）、集合的交集
例2．（1）、（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知集合，若，则实数的所有可能值的集合是________________________．
【变式训练2-1】．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）（多选题）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】．（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
（三）、集合的补集
例3．（1）、（2022秋·上海静安·高一校考期中）设全集，集合，则__________.
（2）、（海南省海口市等5地、琼中黎族苗族自治县琼中中学等2校2023届高三上学期12月期末数学试题）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、（2022秋·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期中）若全集，集合，则__________.
【变式训练3-2】．（2023·山西·校联考模拟预测）已知集合，且，则（ ）
A． B．{2} C． D．
（四）、集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
例4．（1）、（2022秋·福建福州·高一福州三中校考期中）（多选题）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们就称G是一个数域，以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，⑤无理数集不是一个数域．其中正确的选项有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤
（2）、（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练4-1】．（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为______．
【变式训练4-2】．（2022秋·四川成都·高一校联考期中）高一某班有学生46人，其中体育爱好者有40人，音乐爱好者有38人，还有3人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育也爱好音乐的学生人数为（ ）
A．26 B．29 C．32 D．35
（五）、集合的运算的综合应用
例5、（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合，.
(1)求
(2)求的子集个数
【变式训练5-1】、（2023·全国·高一专题练习）已知全集，集合，．求：
(1)；
(2)；
(3).
（六）、含有参数的集合的运算的综合应用
例6．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，集合．
(1)若时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式训练6-1】、（2022秋·高一单元测试）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
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