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1.4 充分条件与必要条件
1．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·河北·高二校联考阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023春·山东·高二济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
6．（2023春·湖南长沙·高二校联考期中）已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）设，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
9．（2023·高一课时练习）关于x的方程，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2023·全国·高三专题练习）是方程有实根且的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2023·高一课时练习）“”是“”的是__________条件．
12．（2022秋·高一课时练习）“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).
13．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
14．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
16．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
17．（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）（多选题）已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023·全国·高一专题练习）（多选题）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）（多选题）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
21．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若集合，，则
D．对任意表示不大于x的最大整数，例如，那么“”是“”的必要不充分条件
22．（2022秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）（多选题）下列命题为假命题的是（ ）
A．若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球
B．“和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件
23．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
24．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
25．（2021秋·高一课时练习）已知或， 为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
26．（2022秋·高一校考课时练习）已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
27．（2021秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）已知集合
(1)若写出的所有子集
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
28．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
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1.4 充分条件与必要条件
1．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式所表示的集合的包含关系以及必要不充分条件的判定方法即可得到答案.
【详解】因为 ，所以前者无法推出后者，后者可以推出前者，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：A.
2．（2023春·河北·高二校联考阶段练习）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先解分式不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得或；由，得，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：C
3．（2023春·山东·高二济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，所以，故充分性成立；
若，不妨令，，此时，，满足，
但是，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B
4．（2023·江苏·高一假期作业）已知实数a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】为充要条件．
故选：C.
5．（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
【答案】D
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】对于A，，，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要条件；
对于B，；当时，满足，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若，则关于x的方程有唯一解；若关于x的方程有唯一解，则，
所以，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
6．（2023春·湖南长沙·高二校联考期中）已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.
【详解】，即或，又是的充分不必要条件，
所以，即的取值范围是.
故选:A.
7．（2023·天津·统考高考真题）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
8．（2023春·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）设，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】根据条件，直接利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.
【详解】由，得到，即，所以时，能得出，当时，不妨取，此时，故时，得不出，所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
9．（2023·高一课时练习）关于x的方程，以下命题正确的个数为（ ）
（1）方程有二正根的充要条件是；（2）方程有二异号实根的充要条件是；（3）方程两根均大于1的充要条件是.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】对于（1），举反例，即可判断；对于（2）方程有二异号实根可推出 ，可推出方程有二异号实根，即可判断；对于（3），举反例，即可判断.
【详解】对于（1），令满足，但，方程无实数解，（1）错；
对于（2），必要性：方程，有一正根和一负根，.
充分性：由可得，所以及,
方程 有一正根和一负根，（2）对；
对于（3），令，两根为，满足，但不符合方程两根均大于1，（3）错.
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）是方程有实根且的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由一次函数与一次不等式的关系结合充分条件与必要条件的概念即可得出答案.
【详解】方程有实根且函数的图象在时与轴有交点，则或，解得或.
结合集合法易得是方程有实根且的充分不必要条件.
故选：A
11．（2023·高一课时练习）“”是“”的是__________条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若，则，但不能得到，故“”是“”的是充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
12．（2022秋·高一课时练习）“”是“”的____(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”).
【答案】充分不必要条件
【分析】利用集合法求解.
【详解】由解得：，记集合.
由解得：，记集合.
因为 ，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件
13．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.
【详解】因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合真包含于集合，
又集合，集合，
所以.
故答案为：
14．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】首先化简命题、，分别记所对应的不等式的解集为、，依题意可得 ，即可得到不等式，解得即可.
【详解】由，解得，即，记；
由，解得，
即，记，
因为是的充分不必要条件，所以 ，即，
解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：.
15．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；
（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；
真命题的个数为________
【答案】3
【分析】根据新定义逐一判断即可求解
【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，
（2）若数域有非零元素，则，
从而，故（2）正确；
（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，
（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3.
故答案为：3
16．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
【答案】
【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
17．（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）使成立的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据充分条件的判断即可由选项求解.
【详解】和 不可推出．所以使成立的充分条件是或 ，
故选：AB
18．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）（多选题）已知命题：关于x的不等式，命题：，若是的必要非充分条件，则实数的取值可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先解不等式，设，，由题意可得，求解即可.
【详解】由可得：，解得：，设，
，若p是q的必要非充分条件，
所以真包含于A，所以或或均满足.
故选：BCD.
19．（2023·全国·高一专题练习）（多选题）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选：BC.
20．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）（多选题）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】ABC
【分析】根据必要不充分条件的含义得，一一代入选项检验即可.
【详解】根据题意可知“”无法推出“”，但“”可以推出“”，
则，则ABC正确，D错误，
故选：ABC.
21．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若集合，，则
D．对任意表示不大于x的最大整数，例如，那么“”是“”的必要不充分条件
【答案】BD
【分析】A选项，可举出反例；B选项，解方程，得到，故B正确；C选项，根据集合间的关系得到；D选项，举出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案.
【详解】当时，满足，但不满足，故A错误；
，解得：，因为，但，故“”是“”的必要不充分条件，B正确；
，其中为偶数，故，C错误；
令，满足，但，，充分性不成立，
由得：，故，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，D正确.
故选：BD
22．（2022秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）（多选题）下列命题为假命题的是（ ）
A．若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个女生爱踢足球
B．“和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件
【答案】ABD
【分析】对于A，根据命题的否定概念，可得答案；
对于B，根据无理数的定义，利用取特殊值的方法，可得答案；
对于C，根据必要不充分的条件的定义，可得答案；
对于D，根据一次函数的性质，可得答案.
【详解】对于A，若命题：某班所有男生都爱踢足球，则：某班至少有一个男生不爱踢足球，故A错误；
对于B，当时，即满足和都是无理数，则，即为有理数；
当时，即满足为无理数，则为有理数，为无理数.
可得“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C，由，可得，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，由，即，当时，，当时，，
则直线过，由，则一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴；
若一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，且直线过，则可得，解得.
综上，“”是“一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的充分必要条件，故D错误.
故选：ABD.
23．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】．
【分析】由题意可得是的真子集，从而有或，求解即可.
【详解】因为p是q的必要不充分条件，
所以是的真子集，
故有或
解得.
又，所以实数m的取值范围为．
24．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则 ，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
25．（2021秋·高一课时练习）已知或， 为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】根据题意，转化为是的非空真子集，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意知，或，为非空集合)，
因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，
可得或，解得或，
所以实数的取值范围是.
26．（2022秋·高一校考课时练习）已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；
（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
27．（2021秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）已知集合
(1)若写出的所有子集
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；
（2）由题意得到，分中没有元素即，中只有一个元素和中有两个元素求解.
【详解】（1），
若，则，此时，
所以子集为.
（2）若是的必要条件，只需.
①若中没有元素即，
则，此时，满足；
②若中只有一个元素，则，此时．
则，此时满足；
③若中有两个元素，则，此时．
因为中也有两个元素，且，则必有，
由韦达定理得，则，矛盾，故舍去．
综上所述，当时，．
所以实数的取值范围：．
28．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知全集，集合，集合，其中.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）确定，，再计算补集得到答案.
（2）根据充分条件得到，得到，解得答案.
【详解】（1），故，，
（2）“”是“”的充分条件，故，故，
解得，故a的取值范围是
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