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1.4 充分条件与必要条件
1、 充分条件与必要条件
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)几点说明
①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．
②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p q”，即“若p，则q”是否为真命题．
2、 充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
重难点1 充分条件、必要条件的判断
【规律方法总结】
定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
例1．（1）、（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）、（2022春·浙江·高二统考学业考试）设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-1】、（2021·贵州·六盘水市外国语学校高二期中）“”是“”的___________条件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）
【变式训练1-2】、（2023秋·广西桂林·高一统考期末）“”是“”的_________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”或者“充要”）.
重难点2 充分条件、必要条件与充要条件的应用
【规律方法总结】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
例2．（1）、（2022秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中）“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____________.
（2）、（2021秋·高一课时练习）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【变式训练2-2】、（2022秋·安徽芜湖·高一统考期中）（多选题）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
重难点3 综合应用
例3．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
例4．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
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1.4 充分条件与必要条件
1、 充分条件与必要条件
(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)几点说明
①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的．
②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p q”，即“若p，则q”是否为真命题．
2、 充要条件
(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
3、 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
【特别提醒】
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
重难点1 充分条件、必要条件的判断
【规律方法总结】
定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
例1．（1）、（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解方程可求得的解，根据充分必要条件定义可得结论.
【详解】将代入成立，即“”是“”的充分条件；
由得：或，所以“”不是“”的必要条件，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
（2）、（2022春·浙江·高二统考学业考试）设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义求解.
【详解】对于 ，比如 ，显然 ，不能推出 ；
反之，如果 ，则必有 ；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件；
故选：B.
【变式训练1-1】、（2021·贵州·六盘水市外国语学校高二期中）“”是“”的___________条件（填充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要其中一个）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
解不等式，可知或，再根据充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到结果.
【详解】
因为，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
【变式训练1-2】、（2023秋·广西桂林·高一统考期末）“”是“”的_________条件（填“充分不必要”，“必要不充分”或者“充要”）.
【答案】充分不必要
【分析】解方程，得到的解，从而做出判断.
【详解】的解为或2，所以，但不能推出x=2，
故“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
重难点2 充分条件、必要条件与充要条件的应用
【规律方法总结】利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
例2．（1）、（2022秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期中）“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】由题意可得是的真子集，求解即可.
【详解】因为“”是“”的必要非充分条件，
所以是的真子集，
所以．
故答案为：
（2）、（2021秋·高一课时练习）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练2-2】、（2022秋·安徽芜湖·高一统考期中）（多选题）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．
【详解】由题意，不等式，
，解得，
故不等式的解集为：，
则其一个充分不必要条件可以是，或.
故选：CD.
重难点3 综合应用
例3．（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
例4．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据为非空集合求出，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
(1)
解：由题意，得关于的方程无实数根，
所以，解得，
即；
(2)
解：因为为非空集合，
所以，即，
因为是的充分不必要条件，
则，即，
所以，
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