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1.5 全称量词与存在量词
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）下列结论中不正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题，，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·全国·高一假期作业）若命题p的否定为：，则命题p为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高一假期作业）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
5．（2023·全国·高一假期作业）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．1
6．（2023·全国·高一假期作业）能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
8．（2023·高一课时练习）如果命题与至少有一个为真命题，那么（ ）
A．p，q均为真命题 B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题 D．p，q中至多有一个为真命题
9．（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．命题：“若，则”是真命题
B．命题：“”的否定是：“”
C．若，则
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
10．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知命题，则命题的否定是__________．
12（2023秋·山西运城·高一统考期末）命题“，”的否定是______.
13．（2023·高一课时练习）有下列四个命题：
①对任意实数均有； ②不存在实数使；
③方程至少有一个实数根； ④使，
其中假命题是__________（填写所有假命题的序号）．
14．（2023·高一课时练习）已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．
15．（2021秋·高一课时练习）若“”是真命题，则实数的取值范围是________．
16．（2023·江苏·高一假期作业）某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“”是真命题，求范围．你认为，两位同学题中范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
17．（2021秋·高一课时练习）已知命题”为真命题，则实数的取值范围为______________.
18．（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
19．（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列语句是存在量词命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意是奇数
D．存在是奇数
20．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
21．（2021秋·高一单元测试）（多选题）下列四个命题的否定为真命题的是（ ）
A．p:所有四边形的内角和都是
B．q:,
C．是无理数，是无理数
D．s:对所有实数a，都有
22．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若，则，中至少有一个大于3
C．，的否定是，
D．已知：，，则：，
24．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使；
(5)方程有整数解.
25．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程成立；
(4)；
(5).
26．（2023春·四川乐山·高二四川省峨眉第二中学校校考期中）已知：存在，，：任意，．
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若为真，为假，求实数的取值范围．
27．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
28．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）已知集合，或.
(1)求、；
(2)若集合，且，为假命题，求的取值范围.
29．（2021秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知命题，，命题，.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
30．（2021秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知命题：“，使得”为真命题．
(1)求实数m的取值的集合A；
(2)设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
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1.5 全称量词与存在量词
1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）下列结论中不正确的个数是（ ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“，”是全称量词命题；
③命题，，则，.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由全称量词命题和存在量词命题的定义，存在量词命题的否定，判断命题的真假.
【详解】①中命题含有全称量词，是全称量词命题，①不正确；
②中命题含有全称量词，是全称量词命题，②正确；
命题，，则，，③不正确.
有2个命题不正确.
故选：C
2．（2023·全国·高一假期作业）若命题p的否定为：，则命题p为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用含有量词的否定方法进行求解.
【详解】因为命题p的否定为：，
所以命题p为：.
故选：B.
3．（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
4．（2023·全国·高一假期作业）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【答案】B
【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题p的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球．
故选：B．
5．（2023·全国·高一假期作业）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．1【答案】B
【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.
【详解】由题意:命题是假命题,
其否定: 为真命题,
即，解得，
故选：B
6．（2023·全国·高一假期作业）能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出方程的根，即可判断.
【详解】因为，即，解得或或，
所以当且且时均能说明全称量词命题“”为假命题，
故符合题意的为D.
故选：D
7．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
【答案】C
【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．
【详解】对于A，，，其否定为：，，
由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；
对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；
对于C，，一元二次方程没有实根，
其否定为：，一元二次方程有实根，
由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；
对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；
故选：C.
8．（2023·高一课时练习）如果命题与至少有一个为真命题，那么（ ）
A．p，q均为真命题 B．p，q均为假命题
C．p，q中至少有一个为真命题 D．p，q中至多有一个为真命题
【答案】D
【分析】通过命题与至少有一个为真命题分析p，q的真假可得答案.
【详解】因为命题与至少有一个为真命题，所以与可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题，
当与恰有一个为真命题时，则p，q是一真命题一假命题；
当与都为真命题时，则p，q均为假命题，
所以p，q中至多有一个为真命题.
故选：D.
9．（2022秋·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．命题：“若，则”是真命题
B．命题：“”的否定是：“”
C．若，则
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】C
【分析】A.根据角相等，三角函数相等，即可判断A；
B.根据存在量词命题的否定形式，即可判断B；
C.根据不等式的性质，判断C；
D.根据充分，必要条件，即可判断D.
【详解】A. 若，则”，为真命题，故A正确；
B.存在量词命题“”的否定是：“”，故B正确；
C.若，当时，，故C错误；
D.已知，根据幂函数的单调性可知，，则，
反过来，若，若，满足，所以若，若，推不出，
所以，已知，则“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：C
10．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．
【详解】命题“，”为真命题，则在上恒成立，
∵，∴，则.
故选∶B．
11．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知命题，则命题的否定是__________．
【答案】.
【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得出答案.
【详解】命题的否定是：.
故答案为：.
12（2023秋·山西运城·高一统考期末）命题“，”的否定是______.
【答案】，
【分析】由存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
该命题的否定为“，”.
故答案为：，.
13．（2023·高一课时练习）有下列四个命题：
①对任意实数均有； ②不存在实数使；
③方程至少有一个实数根； ④使，
其中假命题是__________（填写所有假命题的序号）．
【答案】③
【分析】根据不等式的性质判断①，根据完全平方数的非负性判断②，计算即可判断③，利用特殊值判断④.
【详解】对于①：因为，所以对任意实数均有，故①为真命题；
对于②：因为，所以不存在实数使，故②为真命题；
对于③：对于方程，，
故方程无实数根，所以③为假命题；
对于④：当时，故使，即④为真命题.
故答案为：③
14．（2023·高一课时练习）已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．
【答案】/
【分析】分别求解两个方程有实根的情况，结合题意可得答案.
【详解】当有实根时，，解得；
当有实根时，，解得；
因为两个方程至少有一个有实根，所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
15．（2021秋·高一课时练习）若“”是真命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.
【详解】根据题意知，，解得，，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
16．（2023·江苏·高一假期作业）某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“”是假命题，求范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“”是真命题，求范围．你认为，两位同学题中范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)
【答案】是
【分析】根据全称命题与存在命题的关系以及命题的否定之间的逻辑关系加以判断即可求解.
【详解】因为命题“”的否定是“”，
而命题“”是假命题，与其否定“”为真命题等价，
所以两位同学题中范围是一致的，
故答案为：是
17．（2021秋·高一课时练习）已知命题”为真命题，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【分析】为真命题，即方程在范围内有实根，解得答案.
【详解】为真命题，即方程在范围内有实根，
故，故.
故答案为：
18．（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【分析】问题等价于有解，即或，解得答案.
【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
19．（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列语句是存在量词命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意是奇数
D．存在是奇数
【答案】ABD
【分析】根据存在量词和全称量词即可
【详解】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．
故选：ABD
20．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
【答案】ACD
【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.
【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“，有”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；
对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；
当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；
故选：ACD
21．（2021秋·高一单元测试）（多选题）下列四个命题的否定为真命题的是（ ）
A．p:所有四边形的内角和都是
B．q:,
C．是无理数，是无理数
D．s:对所有实数a，都有
【答案】BD
【分析】A选项，判断出为真命题；B选项，写出，得到其为真命题；C选项，举出反例得到为真命题；D选项，举出反例得到为假命题.
【详解】A选项，所有四边形的内角和都是，故为真命题，则为否命题，A错误；
B选项，，，由于，故为真命题，B正确；
C选项，当时，也是无理数，故为真命题，则为假命题，C错误；
D选项，当时，，故为假命题，故为真命题，D正确.
故选：BD
22．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题意，转化为，恒成立，列出不等式，即可得到的范围.
【详解】由题意可得，，恒成立，
可得，即，解得或，
即实数a的取值范围是或.
故选：AB
23．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．若，则，中至少有一个大于3
C．，的否定是，
D．已知：，，则：，
【答案】AC
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断A；举例即可判断B；根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断C；根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断D.
【详解】对于A，，所以“”是“”的必要不充分条件，故A是真命题；
对于B，当时，满足，所以B中命题是假命题；
对于C，，的否定为，，所以C是真命题；
对于D，为，，故D是假命题．
故选：AC．
24．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使；
(5)方程有整数解.
【答案】(1)全称量词命题
(2)全称量词命题
(3)全称量词命题
(4)存在量词命题
(5)存在量词命题
【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．
【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题．
25．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程成立；
(4)；
(5).
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)假命题
(4)真命题
(5)真命题
【分析】（1）举反例说明命题为假命题；（2）举特例说明存在性；（3）用判别式判断二次方程根的情况；（4）举特例说明存在性；（5）可证明结论恒成立.
【详解】（1）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．
（2）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
（3）是假命题，方程的判别式，故方程无实数根．
（4）是真命题，或，都能使成立．
（5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．
26．（2023春·四川乐山·高二四川省峨眉第二中学校校考期中）已知：存在，，：任意，．
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若为真，为假，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出、为真命题时的取值范围，为假命题，则、都为假命题，列不等式组求解即可.
（2）为真，为假，则、一真一假，分类讨论列不等组求解.
【详解】（1）解：真：恒过，显然不成立，开口向下，，
真：，解得.
为假，则假假，故.
（2），一真一假
假真，则有，
真假，则有，
综上：或.
27．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
28．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）已知集合，或.
(1)求、；
(2)若集合，且，为假命题，求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）利用补集、交集的定义计算可得集合、；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：已知集合，或，
则或，，或.
（2）解：因为，为假命题，则，为真命题，所以，.
①当时，即当时，，则成立；
②当时，即当时，，由题意可得或，
解得或，此时.
综上所述，或.
29．（2021秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知命题，，命题，.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为对恒成立，即可求的取值范围；
（2）求命题q为真命题时的取值范围，再求两个集合的并集.
【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，因此，解得.
因此，实数m的取值范围是.
（2）若命题q为真命题，则，即，解得或.
因此，实数m的取值范围是或；
若命题p，q至少有一个为真命题，
可得或或.
所以实数的取值范围或.
30．（2021秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知命题：“，使得”为真命题．
(1)求实数m的取值的集合A；
(2)设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；
（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）命题“，使得”为真命题，
所以，
即，
解之得或，
所以实数m的取值的集合或；；
（2）不等式的解集为，
因为是的必要不充分条件，所以 ，
则或，
所以或，
故实数a的取值范围为．
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