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1.5 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
重难点1 全称命题与存在命题真假的判断
例1、（1）、（2021秋·高一课时练习）（多选题）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．负数的绝对值大于0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．负数的平方是正数
D．
（2）．（2023·江苏·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使
【变式训练1-1】、（2022秋·山东聊城·高一统考期中）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，且，则，至少有一个大于1
B．若，则
C．的充要条件是
D．，
【变式训练1-2】、（2021秋·高一课时练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．存在
D．存在锐角，
重难点2 含有一个量词命题的否定
例2．（1）、（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试），使得的否定是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．， D．，
（2）、（2020秋·河南·高三校联考阶段练习）已知命题 ，直线与曲线有交点，则是（ ）
A．，直线与曲线有交点
B．，直线与曲线无交点
C．，直线与曲线无交点
D．，直线与曲线无交点
【变式训练2-1】、（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．
重难点3 全称命题与存在命题的应用
例3．（1）、（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【变式训练3-1】、（2022秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】、（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）已知命题：“，使”为真命题，则实数的取值范围是_______
重难点4 综合应用
例4．（2021·山东·济宁市育才中学高一阶段练习）已知命题“使不等式成立”是假命题
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
例5．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
例6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期中）已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
例7．（2022秋·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习）已知命题“满足，使”，
(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.
(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.
例8．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
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1.5 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
重难点1 全称命题与存在命题真假的判断
例1、（1）、（2021秋·高一课时练习）（多选题）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．负数的绝对值大于0
B．所有的菱形都是平行四边形
C．负数的平方是正数
D．
【答案】ABCD
【分析】根据全称量词命题的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于B，所有的菱形都是平行四边形，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于C，负数的平方是正数即所有负数的平方是正数，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题；
对于D，，根据全称量词命题的定义知，该命题是全称量词命题.
故选：ABCD
（2）．（2023·江苏·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使
【答案】B
【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.
【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；
对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确；
对选项C：，故C为假命题；
对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.
故选：B
【变式训练1-1】、（2022秋·山东聊城·高一统考期中）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，且，则，至少有一个大于1
B．若，则
C．的充要条件是
D．，
【答案】AB
【分析】利用反证法，特例法，结合整数的性质、任意性和存在性的定义逐一判断即可.
【详解】A：假设，都不大于1，即，所以，因此不成立，所以假设不成立，因此本命题是真命题；
B：因为所有的整数的相反数还是整数，所以本命题是真命题；
C：当时，代数式没有意义，因此本命题是假命题；
D：因为，都有成立，所以本命题是假命题，
故选：AB
【变式训练1-2】、（2021秋·高一课时练习）下列命题中是真命题的为（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．存在
D．存在锐角，
【答案】D
【分析】对每个选项逐一分析，错误的找出反例，正确的加以说明即可.
【详解】A选项，，A选项错误；
B选项，，B选项错误；
C选项，由于，故，，C选项错误；
D选项，显然存在，使得，D选项正确.
故选：D
重难点2 含有一个量词命题的否定
例2．（1）、（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试），使得的否定是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．， D．，
【答案】D
【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.
【详解】“，使得”的否定是“，”，
故选：D.
（2）、（2020秋·河南·高三校联考阶段练习）已知命题 ，直线与曲线有交点，则是（ ）
A．，直线与曲线有交点
B．，直线与曲线无交点
C．，直线与曲线无交点
D．，直线与曲线无交点
【答案】C
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的否定直接得出结果.
【详解】由题意知，
命题，直线与曲线有交点，
则，直线与曲线无交点.
故选：C.
【变式训练2-1】、（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接写出存在量词命题的否定即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
【变式训练2-2】．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】
“”改为“”，“”改为“”，即可得解.
【详解】
命题“，”的否定是： ，.
故答案为：，.
重难点3 全称命题与存在命题的应用
例3．（1）、（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m的范围即可．
【详解】解：由题意得，使得，
当，符合题意；
当，只要即可，
解得，
综上：．
故选：C．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，由可得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2022秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的，，则，
因为，则，则，.
故选：C.
【变式训练3-2】、（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期中）已知命题：“，使”为真命题，则实数的取值范围是_______
【答案】或
【分析】根据一元二次方程有解的条件求解即可．
【详解】解：∵ ，使，
，
解得：或．
故答案为：或．
重难点4 综合应用
例4．（2021·山东·济宁市育才中学高一阶段练习）已知命题“使不等式成立”是假命题
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后根据或求解即可；
（2）本题可根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】
（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
所以令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是.
例5．（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则 ，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
例6．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期中）已知命题，为假命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意先求得 ，再分情况求得的范围即可．
【详解】（1）解：命题的否命题为，为真，
且，
解得．
∴．
（2）解：由解得
，
若“”是“”的必要不充分条件，
则 ，
∴当时，即，
解得；
当时，，
解得，
综上：或．
例7．（2022秋·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习）已知命题“满足，使”，
(1)命题“”，若命题中至少一个为真，求实数的范围.
(2)命题，若是的充分不必要条件，求实数的范围.
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）先求出命题为真和假时的取值范围，由此可得命题都为假命题时的取值范围，进而即可求解；
（2）记，由题意可得 ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；
【详解】（1）命题“满足，使”，为真命题时，
，令，则，
所以，
所以命题为假时，则或，
命题“”，为真命题时，
，解得或，
所以命题为假时，则，
又因为命题都为假命题时，，
即，
所以命题中至少一个为真时，实数的范围是或；
（2）由（1）可知：命题为真命题时，，
记
因为是的充分不必要条件，
所以 ，
当即，也即时，满足条件；
当时，
，解得；
综上可知：实数的范围是
例8．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据为非空集合求出，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
(1)
解：由题意，得关于的方程无实数根，
所以，解得，
即；
(2)
解：因为为非空集合，
所以，即，
因为是的充分不必要条件，
则，即，
所以，
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