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2.1 等式的性质与不等式的性质
1．（2023春·天津南开·高二南开中学校考期末）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知命题：①若，则；②若，则；③若且，则.其中真命题的序号是__．
9．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知，，则与的大小关系为__________．
10．（2023·全国·高三对口高考）已知，求的取值范围__________．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为___________.
12．（2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）若，，则的取值范围是_________.
13．（2023·全国·高一假期作业）已知，，则的取值范围是______．
14．（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
15．（2022秋·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知－117．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是？
18．（2022·全国·高一专题练习）已知，求的取值范围．
19．（2022秋·海南儋州·高一校考期中）已知.
(1)求的取值范围
(2)求的取值范围
20．（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.
21．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）比较与的大小．
（2）已知，求证：；
22．（2023春·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）（多选题）已知，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023春·江苏南京·高二统考期末）（多选题）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，
25．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）已知，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
26．（2023春·广东广州·高一统考开学考试）（多选题）若，，，为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
27．（2020·高一单元测试）已知实数，且满足，则________．
28．（2020秋·浙江·高一期中）设，若时均有，则________．
29．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
30．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
31．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，，求证：．
（2）比较与的大小．
32．（2022秋·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知，，．求证：；
（2）已知，，求证：．
33．（2022秋·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小：与；
（2）若，，求证：.
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2.1 等式的性质与不等式的性质
1．（2023春·天津南开·高二南开中学校考期末）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质可判断ABD，用特值法可判断C．
【详解】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；
∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；
取，则，此时，故C错误；
∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．
故选：C．
2．（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.
【详解】由，得，A正确；
由，得，则，B错误；
由，得，C错误；
由，得，即，D错误.
故选：A
3．（2023·江苏·高一假期作业）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号,
，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，
．
故选：A
4．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小无法判断
【答案】A
【分析】根据作差法比较大小即可.
【详解】因为，
所以，故.
故选：A.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】作差即可比较大小.
【详解】,
故.
故选:A.
6．（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由不等式的性质即可得出答案.
【详解】因为，所以，即，因为，
所以即.
故选：B
7．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案
【详解】因为,所以,
由,得,
故选：A
8．（2021秋·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习）已知命题：①若，则；②若，则；③若且，则.其中真命题的序号是__．
【答案】①②③
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出
【详解】①若 , 则，则，则 , 因此①正确;
②若 , 则 ,则, 因此②正确;
③, 又 , 因此③正确.
故答案为: ①②③
9．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知，，则与的大小关系为__________．
【答案】/
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故答案为：
10．（2023·全国·高三对口高考）已知，求的取值范围__________．
【答案】
【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.
【详解】设,则解得
故，
由,故，
由,故，
所以.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】令，列方程组求出，再利用不等式的性质即可求出的取值范围．
【详解】令，
则，
，解得，
，
，
，
两不等式相加可得，
即的取值范围为．
故答案为：．
12．（2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）若，，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】令，求出，再由不等式的性质求解.
【详解】令，则，解得，
因为，，故.
故答案为：
13．（2023·全国·高一假期作业）已知，，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，
所以，解得，
因为，，则，，
因此，.
故答案为：.
14．（2023·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.
【详解】（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
15．（2022秋·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）通过做差来比较大小即可；
（2）通过做差来证明即可.
【详解】（1）,
；
（2），
，
，
，
即，证毕.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知－1【答案】
【分析】由不等式的基本性质求解即可.
【详解】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
则，所以，即.
又∵－1∴，即，
∴3x＋2y的取值范围为.
17．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是？
【答案】
【分析】根据题意以整体，结合不等式的性质分析运算.
【详解】设，
由题意可得，解得，
所以，
由，可得，
所以，即，
故的取值范围是.
18．（2022·全国·高一专题练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质即可求得的取值范围.
【详解】解：因为，则，，则，
因为，所以，，因此，.
19．（2022秋·海南儋州·高一校考期中）已知.
(1)求的取值范围
(2)求的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】根据不等式的性质可求解.
【详解】（1），.
所以的取值范围是.
（2），，.
所以的取值范围是.
20．（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）已知，，分别求
(1)
(2)
(3)的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】利用不等式的性质进行求解（1）（2）（3）即可.
【详解】（1），而，
所以有
（2）；
（3），而，
所以有.
21．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）比较与的大小．
（2）已知，求证：；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差比较法来比较大小；
（2）利用不等式的性质进行证明.
【详解】（1）
，
所以.
（2）因为，所以，所以，
所以，即.
22．（2023春·贵州遵义·高一遵义二十一中校考阶段练习）（多选题）已知，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用作差法证明，或用特值法求解.
【详解】当时，，故A错误；
∵，∴，故B正确；
∵，∴，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：BC.
23．（2023春·江苏南京·高二统考期末）（多选题）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由不等式的性质对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，所以，A成立；
因为，所以， B，C不成立；
因为，所以，所以，D成立.
故选：AD.
24．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.
故选：BC.
25．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）已知，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质，逐个判断选项即可.
【详解】对于A：当，，则，
若，，，，显然满足，，但是、，此时，故选项A错误；
对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；
对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；
对于D：若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；
故选：CD
26．（2023春·广东广州·高一统考开学考试）（多选题）若，，，为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于选项A：因为，由不等式性质可知，，故A错误；
对于选项B：因为，由不等式性质可知：，，故B正确；
对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C正确；
对于选项D：因为，显然，由不等式可知，，故D正确.
故选：BCD.
27．（2020·高一单元测试）已知实数，且满足，则________．
【答案】
【分析】先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果.
【详解】当时，，又，，则，不符合题意；
当时，
整理成关于的一元二次方程，即①
判别式
当时，，
要使方程有解，则不符合，，即，即
又，
将代入方程①得，，解得：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.
28．（2020秋·浙江·高一期中）设，若时均有，则________．
【答案】
【解析】考虑，，三种情况，设，，根据图像知过点，带入计算得到答案.
【详解】，
当时，，不满足题意；
当时，时，，，不满足题意；
当时，设，，函数均过定点，
函数与轴的交点为，如图当直线绕旋转时，只有当与都交于x轴时才能满足，故过点，即，解得或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了不等式恒成立问题，解题的关键是分类讨论，，三种情况，构造函数将问题转化为两个函数值正负的讨论，考查学生的分类讨论思想与数形结合能力及运算求解能力，属于中档题.
29．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的性质即可证明.
（2）要比较与的大小，将两式做差展开化简，得到即可判断正负并比较出结果.
【详解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
30．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.
【详解】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，成立；
因为，，所以，，
又，所以，成立.
所以，有.
31．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，，求证：．
（2）比较与的大小．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）利用不等式的性质即可得证；
（2）利用作差法即可得解．
【详解】（1）∵，∴
又∵，∴．
（2）∵
∴．
32．（2022秋·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知，，．求证：；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）利用作差法证明即可．
【详解】（1）因为，所以
又因为，所以
所以
又因为，所以．
（2）
因为，，所以，
因此，从而，即．
33．（2022秋·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）（1）比较下列两个代数式的大小：与；
（2）若，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】利用作差法结合不等式的性质即得.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，，
所以，
故.
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