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2.2 基本不等式
1．（2023春·安徽六安·高一校考期中）若，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值2 D．有最大值2
【答案】B
【分析】运用基本不等式求解即可.
【详解】因为，则，
所以，当且仅当即：时取等号.
所以，当且仅当时取等号.
故选：B.
2．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知，，则的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
【答案】B
【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，且，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
3．（2022春·云南·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据题意利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】由可知，利用基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为5.
故选：D
4．（2023春·陕西榆林·高二校联考期中）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，
由基本不等式可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.
故选：A.
5．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
6．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】，当且仅当“”时取等.
故的最小值为.
故选：D.
7．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为x，，x＋2y＝1，
则
，
当且仅当，即时取等.
故选：B.
8．（2021秋·高一单元测试）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式恒成立，只需求（）的最小值即可
【详解】令（），
则，当且仅当=2时，等号成立.
由题意知，所以.
故选：A.
9．（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【详解】当时
,
即，故.
故选:A.
10．（2022秋·高一课时练习）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
11．（2023春·河南信阳·高一校考期中）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：B.
12．（2023·全国·高一假期作业）的最小值等于（ ）
A．3 B． C．2 D．无最小值
【答案】A
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，则，所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值等于.
故选：A
13．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先参变分离，转化为，再利用基本不等式求最值，即可求解.
【详解】由题意可知，对任意的，恒成立，即，
当时，，当，即时，等号成立，
所以.
故选：D
14．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
15．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．8
【答案】B
【分析】由已知得到，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值.
【详解】由得到，则，
，
当且仅当上式取等号，则的最大值为0.
故选：B.
16．（2023·全国·高一专题练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】整理可得，根据基本不等式“1”的活用，计算即可得答案.
【详解】由，可得，
所以，
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值为9.
故选：B.
17．（2022秋·陕西宝鸡·高一统考期末）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4
【答案】D
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数有最小值.
故选：D
18．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．9
【答案】C
【分析】根据“乘1法”，运用基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，则
，
当且仅当，时，等号成立．
故选：C.
19．（2023秋·浙江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．13 D．25
【答案】B
【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式求解即可.
【详解】由于，故，即，
从而，当且仅当时，等号成立，
则的最小值是9．
故选：B.
20．（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．23 B．26 C．22 D．25
【答案】D
【分析】根据已知将变为，展开后结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，
故，
当且仅当，结合，即时取等号，
故的最小值是25，
故选：D
21．（2023春·天津南开·高二南开中学校考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．8 D．20
【答案】B
【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又因为，
所以
（当且仅当即时等号成立），
故选：B.
22．（安徽省滁州市2022-2023学年高一下学期教学质量监测数学试题）（多选题）已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】AB
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【详解】对于选项A，正实数，满足，由基本不等式得，当且仅当时取等号，则A正确；
对于选项B，，当且仅当时取等号，则B正确；
对于选项C，，当且仅当时取等号，即，则C错误；
对于选项D，，则，
，
当且仅当，即时，取等，但，故等号无法取到，故D错误．
故选：AB.
23．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）（多选题）已知正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由基本不等式，即可结合选项逐一求解.
【详解】因为，且均为正实数，所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，正确；
由不等式，得，所以，即，当且仅当时等号成立，C错误（或）；
因为，所以，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：ABD
24．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）（多选题）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为2 D．的最大值为4
【答案】AC
【分析】根据基本不等式求解出最值，检验即可判断各项.
【详解】对于A项，因为，，，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
所以，故A正确；
对于B项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D项，根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为4，故D不正确.
故选：AC.
25．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）（多选题）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．最大值为1 B．有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
【答案】AC
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
，当且仅当时取等号，有最小值4，故B错误；
因为，则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：AC．
26．（2023·广东东莞·统考模拟预测）（多选题）下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D．已知，，且，则最小值是
【答案】AD
【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【详解】对于，由可得，
由基本不等式可得，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为，故正确；
对于，，
当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故错误；
对于，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，
由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；
对于，由可得，
代入到，
当且仅当即时，等号成立，故正确．
故选：．
27．（2023春·广西防城港·高一统考期中）（多选题）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用给定条件结合基本不等式判断A，C；利用二次函数性质判断B；利用基本不等式及二次函数的性质判断D.
【详解】因，，且，则有，当且仅当时取“=”，故A正确；
因，，且，则，，
当且仅当时取“=”，故B错误；
因，，且，所以，
当且仅当，即，时取等号，故C正确；
因，，且，则，，
则，
因为取等的条件为，即，
又取等的条件为，
因为取等条件不一致，故，故D正确.
故选：ACD
28．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意，由，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由已知，，，则，当且仅当，时等号成立.
故答案为：.
29．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知正数、满足，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】将写成，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正数、满足，则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
30．（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取得最小值．
故答案为：.
31．（2023·全国·高三专题练习）若正实数满足.则的最小值为__________.
【答案】/
【分析】将化为，然后利用带入可化为，最后妙用“1”可得.
【详解】已知且，整理得...①
而.将①式代入得.
又，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为
故答案为：
32．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
33．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【答案】矩形面积最大为48平方米
【分析】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）
【详解】由题意所示 ，，
∵，∴ ，
∴ ，
函数的对称轴为，
∴当时，面积取得最大值，为 ，
（或者：由于，所以，当且仅当，即时取等号.）
∴矩形面积最大为48平方米．
34．（2020秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁忽略不计）.问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
【答案】15
【分析】利用基本不等式，求得最值，可得答案.
【详解】设污水处理池的长为x米，则宽为米.
总造价
（元）
当且仅当（），
即时等号成立．
35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
36．（2023·江西·校联考二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，则
易知与均不为且符号相同，∴，解得或.
（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
∴，
又∵，
∴，（当时，），
∴解得，即，当且仅当时，等号成立.
∴综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
37．（2023秋·江苏扬州·高一期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得，代入式子化简，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为，所以
即
，当且仅当，即时，等号成立.
所以
故选:D.
38．（2022秋·湖北武汉·高一武钢三中校考阶段练习）若a，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，，
所以的最大值为
故选：A
39．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）实数x，y满足，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】首先展开乘积，利用基本不等式有，进而求最值，注意取值条件.
【详解】由
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
40．（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知，若，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】将用与表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解.
【详解】设，
由对应系数相等得 ，得
所以
整理得即
所以
.
经验证当 时，等号可取到.
故答案为：
41．（2023·四川·校联考模拟预测）已知均为正实数，且.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解；
（2）令，，，由展开，利用基本不等式得，又由（1）知，代入求解即可.
【详解】（1）∵，
又，，，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为.
（2）令，，，
则，
∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
由（1）知，
∴，
∴，∴，即，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
42．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知正数满足，求证:
(1);
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据基本不等式得，，，再相加即可得证；
（2）先作差证明，，，再相加即可得证.
【详解】（1）∵，
∴，当且仅当时，取等号，
同理，当且仅当时，取等号，
，当且仅当时，取等号，
三式相加得，当且仅当时取等号,
即，当且仅当时取等号.
（2）因为，
所以，当且仅当时，取等号，
∴ ，即，当且仅当时，取等号，
同理，当且仅当时，取等号，
，当且仅当时，取等号，
三式相加并整理得，当且仅当时取等号.
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2.2 基本不等式
1．（2023春·安徽六安·高一校考期中）若，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值2 D．有最大值2
2．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知，，则的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
3．（2022春·云南·高一统考期末）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
4．（2023春·陕西榆林·高二校联考期中）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2021秋·高一单元测试）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
10．（2022秋·高一课时练习）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
11．（2023春·河南信阳·高一校考期中）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高一假期作业）的最小值等于（ ）
A．3 B． C．2 D．无最小值
13．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12 B．25 C．27 D．36
15．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．4 D．8
16．（2023·全国·高一专题练习）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
17．（2022秋·陕西宝鸡·高一统考期末）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4
18．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．9
19．（2023秋·浙江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．13 D．25
20．（2023秋·吉林延边·高一统考期末）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．23 B．26 C．22 D．25
21．（2023春·天津南开·高二南开中学校考期末）已知，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．8 D．20
22．（安徽省滁州市2022-2023学年高一下学期教学质量监测数学试题）（多选题）已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最大值为
23．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）（多选题）已知正实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）（多选题）已知，，且，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为4
C．的最小值为2 D．的最大值为4
25．（2023秋·广西玉林·高一统考期末）（多选题）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ）
A．最大值为1 B．有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
26．（2023·广东东莞·统考模拟预测）（多选题）下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D．已知，，且，则最小值是
27．（2023春·广西防城港·高一统考期中）（多选题）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为______.
29．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知正数、满足，则的最小值为_______.
30．（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________．
31．（2023·全国·高三专题练习）若正实数满足.则的最小值为__________.
32．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）若，则的最小值为__________．
33．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
34．（2020秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁忽略不计）.问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
35．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
36．（2023·江西·校联考二模）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（2023秋·江苏扬州·高一期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
38．（2022秋·湖北武汉·高一武钢三中校考阶段练习）若a，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
39．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）实数x，y满足，则的最大值为__________．
40．（2022秋·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知，若，则的最小值是___________.
41．（2023·四川·校联考模拟预测）已知均为正实数，且.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
42．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知正数满足，求证:
(1);
(2).
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