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第一章 集合与常用的逻辑用语(A卷 基础巩固)
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)设为全集,、为非空集合,下面四个命题:
(1);(2);(3);(4).
其中与命题等价的命题个数有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论.
【详解】解:为全集,、为非空集合,下面四个命题:
(1);
(2);
(3),则;
(4),则.
其中与命题等价的命题个数有4.
故选:D.
2.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)如图,为全集,、、是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】由Venn图可得,集合表示的交集与的补集的交集,从而得到答案.
【详解】由Venn图可得,集合表示的交集与的补集的交集,即.
故选:C
3.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)集合的非空真子集共有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【答案】B
【分析】按照子集元素个数1个,2个的顺序列举计数.
【详解】解:集合的非空真子集有:,,,,,共6个.
故选:B.
4.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)命题“,”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
【答案】A
【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可.
【详解】命题“,”的否定为“,”
故选:A
5.(2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习)设,,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 ,因此,是的必要不充分条件.
故选:B.
6.(2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列是存在量词命题且是假命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据存在量词命题和假命题特征判断即可.
【详解】A为真命题;B和D为全称量词命题;
因为,所以,故,故C为假命题
故选:C
7.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)下列命题正确的是( )
A.命题“”的否定是“”
B.的充要条件是
C.
D.不是的充分条件
【答案】A
【分析】A.利用存在量词命题的否定判断;B.不是的充分条件;C.举反例判断;D. 是的充分条件.
【详解】命题“”的否定是“”,所以A正确;
当时,但不存在,所以不是的充分条件,所以B错误;
当时,,所以C错误;
由可得,所以是的充分条件,所以D错误.
故选:A.
8.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)若关于x的不等式在上有实数解,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解,结合函数的单调性,求得,即可求解.
【详解】由不等式在上有实数解,
等价于不等式在上有实数解,
因为函数在上单调递减,在单调递增,
又由,
所以,所以,即实数的取值范围是.
故选:A.
二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)已知 x∈R,不等式不成立,则下列关于a的取值不正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【分析】转化为成立,利用判别式法求解.
【详解】解:因为 x∈R,不等式不成立,
所以成立,
则,
解得.
故选:BCD
10.(2022秋·四川成都·高一校考阶段练习)下列命题中为真命题的是( )
A.
B.
C.“”是“”的必要不充分条件
D.“”的一个充分不必要条件可以是“"
【答案】ACD
【分析】解出不等式即可判断AB;根据整数和有理数的关系可判断C;根据充分不必要条件的概念即可判断D选项.
【详解】对于选项A,,故存在使得,故A正确;
对于选项B,或,即不等式的解不是,故B错误;
对于选项C,,但,∴“”是“”的必要不充分条件,故C正确;
对于选项D,,但,∴“”的一个充分不必要条件可以是“”,故D正确.
故选:ACD.
11.(2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习)下列各组集合不表示同一集合的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【分析】利用集合的意义,逐项判断即可作答.
【详解】对于A,集合都是单元素集,而元素与不同,A不是;
对于B,集合的元素为有序实数对,而集合的元素为实数,B不是;
对于C,集合都含有两个元素4,5,只是排列顺序不同,而集合的元素具有无序性,C是;
对于D,集合有两个元素1,2,而集合只有一个元素,D不是.
故选:ABD
12.(2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习)下列命题是真命题的有( )
A.命题“”的否定是“或”
B.“至少有一个x使成立”是全称量词命题
C.“,”是真命题
D.“,”的否定是真命题
【答案】ACD
【分析】选项A:根据特称命题的否定为全称命题即可判断出结论;
选项B:根据特称命题的概念即可判断出结论;
选项C:举例即可说明命题为真命题;
选项D:判断原命题的真假即可判断出命题否定的真假.
【详解】选项A:因为特称命题的否定为全称命题,所以命题“”的否定是“或”正确,即选项A正确;
选项B:“至少有一个x使成立”是特称命题,故选项B错误;
选项C:当时,,所以“,”是真命题,选项C正确;
选项D:因为时,,所以命题 “,”是假命题,所以“,”的否定是真命题,选项D正确.
故选:ACD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是
【答案】对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.
【详解】因为命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”是特称命题,根据特称命题的否定是全称命题,
可得命题的否定为:对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.
故答案为对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0.
14.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)下面六个关系式:①;②;③;④;⑤;⑥,其中正确的是__.
【答案】①③⑤
【分析】根据集合与集合,元素与集合的关系判断即可.
【详解】空集是任何集合的子集,故①正确;
由元素与集合的关系可知,,故②错误,⑤正确;
由集合与集合的关系可知,,故③正确,④⑥错误;
故答案为:①③⑤
15.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)高一某班共有55人,其中有14人参加了球类比赛,16人参加了田径比赛,4人既参加了球类比赛,又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.
【答案】
【分析】利用ven图求解.
【详解】由题意画出ven图,如图所示:
由ven图知:参加比赛的人数为26人,
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人,
故答案为:29
16.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)若不等式恒成立,则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为不等式恒成立,所以,即.
故答案为:
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)已知集合,集合.
(1)用区间表示集合与集合;
(2)若定义集合为全集,求集合在集合中的补集.
【答案】(1),;(2).
【分析】(1)根据绝对值不等式、分式不等式的解法分别求出集合和,再用区间表示即可;
(2)直接利用补集的定义即可求解集合在集合中的补集.
【详解】(1)由不等式,可得,
平方可得,
解得,
集合,,
用区间表示为,.
解不等式,即,即,
解得,
集合,.
用区间表示为,.
(2)集合,为全集,
则集合,在集合中的补集,.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法,考查集合的表示法和补集及其运算,属于中档题.
18.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)已知命题关于的不等式的解集为A,且;命题关于的方程有两个不相等的正实数根.
(1)若命题为真命题,求实数的范围;
(2)若命题和命题中至少有一个是假命题,求实数的范围.
【答案】(1)(2)或
【分析】(1)根据不等式的解集且,代入即可根据命题为真命题求得数的范围.
(2)先求得命题和命题都为真命题时的范围,根据补集思想即可求得命题和命题中至少有一个是假命题时的范围.
【详解】(1)命题关于的不等式的解集为A,且
因为命题为真命题
所以
解得
(2)命题关于的方程有两个不相等的正实数根
当命题为真命题时,
解得
当命题和命题都为真命题
所以
所以若命题和命题中至少有一个是假命题
则或
所以实数的范围为或
【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.
19.(2022秋·四川成都·高一校考阶段练习)已知集合.
(1)若,写出的所有子集;
(2)若,求.
【答案】(1)所有子集为:
(2)
【分析】(1)根据子集的知识写出集合的所有子集.
(2)根据进行分类讨论,求得,进而求得.
【详解】(1)当时,,
所以的所有子集为:
(2)当时,,
此时,所以.
当时,,
经检验集合不满足集合的互异性,不符合题意.
综上,.
20.(2022秋·四川成都·高一校考阶段练习)已知:“实数满足”,“都有意义”.
(1)已知为假命题,为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)将代入,化简,然后根据为假命题,为真命题,列出不等式,即可得到结果.
(2)先根据条件化简得到,然后根据是的充分不必要条件,列出不等式,即可得到结果.
【详解】(1)当时,若为真命题,则,即.
若为真命题,则当时,满足题意;当时,,解得,所以.
故若为假命题,为真命题,则实数的取值范围为.
(2)对,且由(1)知,对,则或.
因为是的充分不必要条件,所以,解得.
故的取值范围是.
21.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)设集合.已知.
(1)求集合A;
(2)若,求所有满足条件的的取值集合.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)由题可得,进而即得;
(2)分,讨论即可求解.
【详解】(1)因为,
又,,
所以,,
所以;
(2)由,可得,
当时,则关于的方程没有实数根,所以;
当时,此时,则,
所以或,解得或;
综上,所有满足条件的的取值集合为.
22.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)已知函数.
(Ⅰ)当时,解关于x的不等式;
(Ⅱ)若不等式的解集为D,且,求m的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当时,解集为或;当时,解集为;
当时,解集为.;(II).
【详解】分析:(Ⅰ)将不等式化为一般形式,然后根据的取值情况分类讨论求解即可.(Ⅱ)将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决,然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题,最后根据基本不等式求解可得所求.
详解:(Ⅰ)由得,
即
①当,即时,解得;
②当即时,解得或;
③当,即时,
由于 ,
故解得.
综上可得:当时,解集为或;
当时,解集为;
当时,解集为.
(II)不等式的解集为,且,即任意的不等式恒成立.
即对任意的恒成立,
由于,
∴对任意的恒成立.
令,
∵,
当且仅当,即时等号成立.
∴,
∴实数的取值范围是.
另解:
不等式的解集为,且,即任意的不等式恒成立.设
(1)当时,,解得
(2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去
(3)当时,
(ⅰ),即,得
(ⅱ),解得
综上可得实数的取值范围是.
点睛:解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.
(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.
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第一章 集合与常用的逻辑用语(A卷 基础巩固)
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)设为全集,、为非空集合,下面四个命题:
(1);(2);(3);(4).
其中与命题等价的命题个数有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)如图,为全集,、、是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
3.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)集合的非空真子集共有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
4.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)命题“,”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
5.(2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习)设,,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.(2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习)下列是存在量词命题且是假命题的是( )
A. B. C. D.
7.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)下列命题正确的是( )
A.命题“”的否定是“”
B.的充要条件是
C.
D.不是的充分条件
8.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)若关于x的不等式在上有实数解,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)已知 x∈R,不等式不成立,则下列关于a的取值不正确的是( )
A. B.
C. D.
10.(2022秋·四川成都·高一校考阶段练习)下列命题中为真命题的是( )
A.
B.
C.“”是“”的必要不充分条件
D.“”的一个充分不必要条件可以是“"
11.(2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习)下列各组集合不表示同一集合的是( )
A. B.
C. D.
12.(2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习)下列命题是真命题的有( )
A.命题“”的否定是“或”
B.“至少有一个x使成立”是全称量词命题
C.“,”是真命题
D.“,”的否定是真命题
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是
14.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)下面六个关系式:①;②;③;④;⑤;⑥,其中正确的是__.
15.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)高一某班共有55人,其中有14人参加了球类比赛,16人参加了田径比赛,4人既参加了球类比赛,又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.
16.(2022秋·四川·高一校考阶段练习)若不等式恒成立,则a的取值范围是______.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)已知集合,集合.
(1)用区间表示集合与集合;
(2)若定义集合为全集,求集合在集合中的补集.
18.(2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习)已知命题关于的不等式的解集为A,且;命题关于的方程有两个不相等的正实数根.
(1)若命题为真命题,求实数的范围;
(2)若命题和命题中至少有一个是假命题,求实数的范围.
19.(2022秋·四川成都·高一校考阶段练习)已知集合.
(1)若,写出的所有子集;
(2)若,求.
20.(2022秋·四川成都·高一校考阶段练习)已知:“实数满足”,“都有意义”.
(1)已知为假命题,为真命题,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
21.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)设集合.已知.
(1)求集合A;
(2)若,求所有满足条件的的取值集合.
22.(2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)已知函数.
(Ⅰ)当时,解关于x的不等式;
(Ⅱ)若不等式的解集为D,且,求m的取值范围.
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