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第一章 集合与常用的逻辑用语（A卷 基础巩固）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）设为全集，、为非空集合，下面四个命题：
（1）；（2）；（3）；（4）.
其中与命题等价的命题个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用集合的运算性质、集合之间的关系即可判断出结论．
【详解】解：为全集，、为非空集合，下面四个命题：
（1）；
（2）；
（3），则；
（4），则．
其中与命题等价的命题个数有4．
故选：D．
2．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由Venn图可得，集合表示的交集与的补集的交集，从而得到答案.
【详解】由Venn图可得，集合表示的交集与的补集的交集，即.
故选：C
3．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）集合的非空真子集共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】按照子集元素个数1个，2个的顺序列举计数.
【详解】解：集合的非空真子集有：，，，，，共6个.
故选：B.
4．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义进行求解即可．
【详解】命题“，”的否定为“，”
故选：A
5．（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为 ，因此，是的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列是存在量词命题且是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题和假命题特征判断即可．
【详解】A为真命题；B和D为全称量词命题；
因为，所以，故，故C为假命题
故选：C
7．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．的充要条件是
C．
D．不是的充分条件
【答案】A
【分析】A.利用存在量词命题的否定判断；B.不是的充分条件；C.举反例判断；D. 是的充分条件.
【详解】命题“”的否定是“”，所以A正确；
当时，但不存在，所以不是的充分条件，所以B错误；
当时，，所以C错误；
由可得，所以是的充分条件，所以D错误.
故选：A.
8．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.
【详解】由不等式在上有实数解，
等价于不等式在上有实数解，
因为函数在上单调递减，在单调递增，
又由，
所以，所以，即实数的取值范围是.
故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）已知 x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】转化为成立，利用判别式法求解.
【详解】解：因为 x∈R，不等式不成立，
所以成立，
则，
解得.
故选：BCD
10．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）下列命题中为真命题的是( )
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”的一个充分不必要条件可以是“"
【答案】ACD
【分析】解出不等式即可判断AB；根据整数和有理数的关系可判断C；根据充分不必要条件的概念即可判断D选项．
【详解】对于选项A，，故存在使得，故A正确；
对于选项B，或，即不等式的解不是，故B错误；
对于选项C，，但，∴“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于选项D，，但，∴“”的一个充分不必要条件可以是“”，故D正确．
故选：ACD．
11．（2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用集合的意义，逐项判断即可作答.
【详解】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是；
对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是；
对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是；
对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是.
故选：ABD
12．（2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习）下列命题是真命题的有（ ）
A．命题“”的否定是“或”
B．“至少有一个x使成立”是全称量词命题
C．“，”是真命题
D．“，”的否定是真命题
【答案】ACD
【分析】选项A：根据特称命题的否定为全称命题即可判断出结论；
选项B：根据特称命题的概念即可判断出结论；
选项C：举例即可说明命题为真命题；
选项D：判断原命题的真假即可判断出命题否定的真假.
【详解】选项A：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定是“或”正确，即选项A正确；
选项B：“至少有一个x使成立”是特称命题，故选项B错误；
选项C：当时，，所以“，”是真命题，选项C正确；
选项D：因为时，，所以命题 “，”是假命题，所以“，”的否定是真命题，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，
可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．
14．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是__．
【答案】①③⑤
【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系判断即可.
【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；
由元素与集合的关系可知，，故②错误，⑤正确；
由集合与集合的关系可知，，故③正确，④⑥错误；
故答案为：①③⑤
15．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.
【答案】
【分析】利用ven图求解.
【详解】由题意画出ven图，如图所示：
由ven图知：参加比赛的人数为26人，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29人，
故答案为：29
16．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为不等式恒成立，所以，即.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）已知集合，集合.
（1）用区间表示集合与集合；
（2）若定义集合为全集，求集合在集合中的补集.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据绝对值不等式、分式不等式的解法分别求出集合和，再用区间表示即可；
（2）直接利用补集的定义即可求解集合在集合中的补集．
【详解】（1）由不等式，可得，
平方可得，
解得，
集合，，
用区间表示为，．
解不等式，即，即，
解得，
集合，．
用区间表示为，．
（2）集合，为全集，
则集合，在集合中的补集，．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查集合的表示法和补集及其运算，属于中档题．
18．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）已知命题关于的不等式的解集为A，且；命题关于的方程有两个不相等的正实数根.
（1）若命题为真命题，求实数的范围；
（2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围.
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）根据不等式的解集且,代入即可根据命题为真命题求得数的范围.
（2）先求得命题和命题都为真命题时的范围,根据补集思想即可求得命题和命题中至少有一个是假命题时的范围.
【详解】（1）命题关于的不等式的解集为A,且
因为命题为真命题
所以
解得
（2）命题关于的方程有两个不相等的正实数根
当命题为真命题时,
解得
当命题和命题都为真命题
所以
所以若命题和命题中至少有一个是假命题
则或
所以实数的范围为或
【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.
19．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知集合.
(1)若，写出的所有子集；
(2)若，求.
【答案】(1)所有子集为：
(2)
【分析】（1）根据子集的知识写出集合的所有子集.
（2）根据进行分类讨论，求得，进而求得.
【详解】（1）当时，，
所以的所有子集为：
（2）当时，，
此时，所以.
当时，，
经检验集合不满足集合的互异性，不符合题意.
综上，.
20．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将代入，化简，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果.
（2）先根据条件化简得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）当时，若为真命题，则，即.
若为真命题，则当时，满足题意；当时，，解得，所以.
故若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为.
（2）对，且由（1）知，对，则或.
因为是的充分不必要条件，所以，解得.
故的取值范围是.
21．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）设集合.已知.
(1)求集合A；
(2)若，求所有满足条件的的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）分，讨论即可求解.
【详解】（1）因为，
又，，
所以，，
所以；
（2）由，可得，
当时，则关于的方程没有实数根，所以；
当时，此时，则，
所以或，解得或；
综上，所有满足条件的的取值集合为.
22．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知函数.
（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时，解集为或；当时，解集为；
当时，解集为．；（II）．
【详解】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．
详解：（Ⅰ）由得,
即
①当，即时，解得；
②当即时，解得或；
③当，即时，
由于 ，
故解得．
综上可得：当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为．
（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．
即对任意的恒成立，
由于，
∴对任意的恒成立．
令，
∵，
当且仅当，即时等号成立．
∴，
∴实数的取值范围是．
另解:
不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设
(1)当时,,解得
(2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去
(3)当时,
(ⅰ),即,得
(ⅱ),解得
综上可得实数的取值范围是．
点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤
（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．
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第一章 集合与常用的逻辑用语（A卷 基础巩固）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）设为全集，、为非空集合，下面四个命题：
（1）；（2）；（3）；（4）.
其中与命题等价的命题个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）集合的非空真子集共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列是存在量词命题且是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．的充要条件是
C．
D．不是的充分条件
8．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）已知 x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）下列命题中为真命题的是( )
A．
B．
C．“”是“”的必要不充分条件
D．“”的一个充分不必要条件可以是“"
11．（2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习）下列命题是真命题的有（ ）
A．命题“”的否定是“或”
B．“至少有一个x使成立”是全称量词命题
C．“，”是真命题
D．“，”的否定是真命题
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
14．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是__．
15．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）高一某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加了球类比赛，又参加了田径比赛.则该班这两项比赛都没有参加的人数是______.
16．（2022秋·四川·高一校考阶段练习）若不等式恒成立，则a的取值范围是______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）已知集合，集合.
（1）用区间表示集合与集合；
（2）若定义集合为全集，求集合在集合中的补集.
18．（2021秋·上海徐汇·高一南洋中学校考阶段练习）已知命题关于的不等式的解集为A，且；命题关于的方程有两个不相等的正实数根.
（1）若命题为真命题，求实数的范围；
（2）若命题和命题中至少有一个是假命题，求实数的范围.
19．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知集合.
(1)若，写出的所有子集；
(2)若，求.
20．（2022秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知：“实数满足”，“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
21．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）设集合.已知.
(1)求集合A；
(2)若，求所有满足条件的的取值集合.
22．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知函数.
（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；
（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围．
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