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第二章 一元二次函数、方程与不等式（B卷 能力提升）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）用列举法表示集合，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋·辽宁·高一期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022秋·湖北武汉·高一期中）设，则“ “是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必条件
4．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·浙江·高一校联考期中）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
8．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·浙江·高一校联考期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）关于的不等式对恒成立，则（ ）
A． B．
C．若存在使得成立，则 D．若存在使得且，则当取最小值时，
11．（2021秋·辽宁·高一期中）下列说法中，正确的有（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是2
C．若，，，则
D．若，，，则
12．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．最大值是 6 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是 3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021秋·辽宁·高一期中）不等式的解集是，则不等式的解集是______.
14．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知为正实数，则的最小值为__________．
15．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.
16．（2021秋·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，，则＝___．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021秋·辽宁·高一期中）（1）已知，，证明：；
（2）解关于的不等式.
18．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
19．（2022秋·湖北武汉·高一期中）设函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．
20．（2021秋·山东德州·高一校考期中）若关于x的一元二次不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3（1）求实数a的值并解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
（2）当不等式ax2＋bx＋3≥0的解集为R时，求b的取值范围．
21．（2021秋·山东德州·高一校考期中）已知函数.
（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.
22．（2021秋·辽宁·高一期中）2021年9月25日，孟晩舟乘坐中国政府包机抵达深圳，回到了祖国的怀抱.她在机场发表感言：“如果信念有颜色，那一定是中国红！”“个人利益、企业命运和国家的命运是十指相连的，祖国是我们最坚强的后盾.”历时3年之久的孟晚舟事件得以落幕.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本300万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；
(2)今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
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第二章 一元二次函数、方程与不等式（B卷 能力提升）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）用列举法表示集合，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解分式不等式，并结合列举法即可得答案.
【详解】解：
故选：A
2．（2021秋·辽宁·高一期中）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据全程量词命题的否定为存在量词命题，直接判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3．（2022秋·湖北武汉·高一期中）设，则“ “是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必条件
【答案】B
【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.
【详解】由，得，又由，得，
因为集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.
4．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得的取值范围.
【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得.
所以实数的范围为.
故选：A
5．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项.
【详解】A选项，时，，但，A选项错误；
B选项，时，，但，B选项错误；
C选项，时，，但，C选项错误；
D选项，，，，
所以，D选项正确.
故选：D
6．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把的定义域为R，转化为不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数图象的特征得到不等关系求得结果.
【详解】由题意可知：当时，不等式恒成立.
当时，显然成立，故符合题意；
当时，要想当时，不等式恒成立，
只需满足且成立即可，解得：，
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】“恒（能）成立”问题的解决方法：
（1）函数性质法
对于一次函数，只须两端满足条件即可；对于二次函数，就要考虑参数和的取值范围.
（2）分离变量法
思路：将参数移到不等式的一侧，将自变量x都移到不等式的另一侧.
（3）变换主元法
特点：题目中已经告诉了我们参数的取值范围，最后要我们求自变量的取值范围.
思路：把自变量看作“参数”，把参数看作“自变量”，然后再利用函数的性质法，求解.
（4）数形结合法
特点：看到有根号的函数，就要想到两边平方，这样就与圆联系起来；这样求函数恒成立问题就可以转化为求“谁的函数图像一直在上面”，这样会更加直观，方便求解.
7．（2022秋·浙江·高一校联考期中）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
8．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式在实数集上的恒成立问题运算求解，注意分类讨论和.
【详解】当时，则恒成立，成立；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022秋·浙江·高一校联考期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据题设命题为真，结合不等式恒成立求参数a的范围，再由充分、必要性的定义确定充分不必要条件.
【详解】由题设命题为真，即在上恒成立，
所以，故A、B为充分不必要条件，C为充要条件，D必要不充分条件.
故选：AB
10．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）关于的不等式对恒成立，则（ ）
A． B．
C．若存在使得成立，则 D．若存在使得且，则当取最小值时，
【答案】CD
【分析】利用二次不等式在上恒成立得出AB选项；
若存在使得成立，存在性成立得出
，从而结合AB选项的结论可以得出C选项；选项D，根据
所得结论，变形换元，利用基本不等式，找出最小值时的条件；
利用此条件即可得出结论.
【详解】因为，
所以若关于的不等式对恒成立，
则，
所以，故AB错误；
若存在使得成立，
则，
又，所以，故C正确；
选项D，由C知，因为，
所以，令
所以
，
当且仅当时取等号，
此时即，
所以，
又，
所以，
又，
所以当取最小值时，，
故D选项正确；
故选：CD.
11．（2021秋·辽宁·高一期中）下列说法中，正确的有（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是2
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】CD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，当且仅当，即时取等号，显然不可能，故B错误；
对于C，由，可得，即，故C正确；
对于D，由，，，可知，所以，故D正确.
故选：CD.
12．（2022秋·河北唐山·高一校联考期中）若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．最大值是 6 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是 3
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式判断各选项．
【详解】，当且仅当时等号成立，
，则，，时等号成立，A正确；
，，时等号成立，D正确；
．，当且仅当时取等号，
，，所以时，取得最大值，B错C正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021秋·辽宁·高一期中）不等式的解集是，则不等式的解集是______.
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集．
【详解】∵不等式的解集是，
∴，解得，
由，可得，即，
∴，
∴不等式的解集是.
故答案为：．
14．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知为正实数，则的最小值为__________．
【答案】6
【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】由题得，
设，则.
当且仅当时取等.
所以的最小值为6.
故答案为：6
15．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______.
【答案】 / /
【分析】令，则，代入整理得到，利用求出最值及此时的值.
【详解】令，则，
则，
即，
由，解得：，
故，
故，解得：，，
所以当且仅当，时，等号成立，
故答案为：，
16．（2021秋·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，，则＝___．
【答案】
【分析】求出集合A,B,利用并集的运算直接求解．
【详解】解不等式即，解得 ，
故，
解，即，解得 ，
故，
则，
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021秋·辽宁·高一期中）（1）已知，，证明：；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用基本不等式可得，，即证；
（2）原不等式等价于，即求.
【详解】（1）∵，，
∴，当且仅当“”时等号成立，
，当且仅当“”时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）由题可得，解得且，
故原不等式的解集为.
18．（2022秋·湖北武汉·高一期中）已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.
（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，集合，或，
．
（2）若“”是“”的必要条件，则，
①当时，；
②，则且，.
综上所述，或．
19．（2022秋·湖北武汉·高一期中）设函数．
(1)若不等式的解集为，求实数的值；
(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；
（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可知：方程的两根是，1
所以解得
（2）由得
，成立，即使恒成立，
又因为，代入上式可得恒成立．
当时，显然上式不恒成立；
当时，要使恒成立
所以，解得
综上可知的取值范围是．
20．（2021秋·山东德州·高一校考期中）若关于x的一元二次不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3（1）求实数a的值并解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
（2）当不等式ax2＋bx＋3≥0的解集为R时，求b的取值范围．
【答案】（1）a＝3；或；（2）[－6,6]．
【解析】（1）根据不等式的解集可知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，根据根与系数的关系列式求出，代入2x2＋(2－a)x－a>0可解得结果；
（2）利用判别式可解得结果.
【详解】（1）因为不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3所以1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
由根与系数的关系得，解得a＝3，
则不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即2x2－x－3>0，所以(2x－3)(x＋1)>0，解得x<－1或x>，
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为或.
（2）由（1）知a＝3，不等式ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
因为不等式3x2＋bx＋3≥0的解集为R，
则不等式3x2＋bx＋3≥0恒成立，
所以＝b2－4×3×3≤0，解得－6≤b≤6，
所以b的取值范围为[－6,6]．
【点睛】关键点点睛：将关于x的一元二次不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－321．（2021秋·山东德州·高一校考期中）已知函数.
（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；
（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；
（2）分、两种情况讨论即可.
【详解】（1）对任意的，恒有，即，
整理得对任意的恒成立，
因此，实数a的取值范围是.
（2）.
当，即时，函数在上单调递增，
在上单调递减，此时；
当，即时，在[0, 2]上单调递增，
此时
综上所述，
22．（2021秋·辽宁·高一期中）2021年9月25日，孟晩舟乘坐中国政府包机抵达深圳，回到了祖国的怀抱.她在机场发表感言：“如果信念有颜色，那一定是中国红！”“个人利益、企业命运和国家的命运是十指相连的，祖国是我们最坚强的后盾.”历时3年之久的孟晚舟事件得以落幕.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本300万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）；
(2)今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)今年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.
【分析】（1）利用利润=销售额－成本即得；
（2）分段函数分别利用二次函数的性质及基本不等式求各段的最值，然后比较即得.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴；
（2）若，，
当时，万元.
若，，
当且仅当时，即时，万元.
∴今年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.
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