海淀区2023年高二年级学业水平调研
数学参考答案 2023.07
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D
（6）B （7）B （8）B （9）C （10）D
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11 ） （12） （13）
（14） （15）①③④
三、解答题（共4小题，共40分）
（16）（共9分）
解：（Ⅰ）因为为等差数列，，
所以，即．
所以．
因为，
所以．
所以．
（Ⅱ）选择①③
因为为等比数列，，
所以，即.
因为，
所以，.
所以.
所以.
所以.
所以
.
选择①②
因为为等比数列，，
所以，即.
因为，
所以，即.
所以.
所以.
所以
.
选择②③
因为为等比数列，，
所以，.
所以.
所以.
因为，
所以，即.
所以.
所以
.
（17）（共10分）
解：（Ⅰ）记表示“第i件产品是一等品”，表示“第i件产品是二等品”，C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，则．
用频率估计概率，，．
.
（Ⅱ）由题意，的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
（Ⅲ）225．
（18）（共11分）
解：（Ⅰ）当时，.
所以 ．
所以 .
因为 ，
所以 曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：. 令，得．
与在区间上的情况如下：
↘ 极小 ↗
所以 的最小值为.
所以 对，.
所以 函数的零点个数为．
（Ⅲ）设，则．
当时，有两个实数根，设为，.
因为 ，，所以 不妨设.
与在区间上的情况如下：
↗ 极大 ↘
所以 ，不合题意.
当时，.
所以 在上是减函数.
所以 ，即恒成立．
综上所述，的最大值为．
（19）（共10分）
解：（Ⅰ）①；②.
（Ⅱ）由条件知. 所以，等号成立当且仅当.
所以 .
所以 .
（Ⅲ）由题意，不妨设.
若，因为 .
所以 . 显然取任意实数均满足条件.
下面设，则的充分必要条件是.
假设.
因为 ，
所以 .
当时，有.
所以 .
当时，有，
仍然有成立.
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 ，取，，就有.
所以 .
所以 的最大值为.(18)(本小题11分)
已知函数f(o)=是+alnx
（1)当a=2时.求曲线y=在点(1，f)处的切线方程：
（Ⅱ)当a=2时，求函数f)的零点个数：
（Ⅲ)若对任意的xe[1,+四).都有f)≤x,求实数a的最大值.
的
一
(19)(本小题10分)
给定整数n≥2，对于数列A:a1,a,…,a.定义数列B如下：b1=min{a1,al,
b=mina,al,…,b-1=min{a-,a小，b,=mina,a,其中mi血，，…，x对表示x,,…,
x这k个数中最小的数.记S,=a1+a2+…+a,T=b1+b2+…+bn
(I)若数列A为①1,0,0,1；②1,2,3,4,5,6,7，分别写出相应的数列B:
,正
（
(Ⅱ)求证：若Tn=S,则有a1=a=…=a
大试
(Ⅲ)若Sn=0,常数Cn使得T≤C。min{a,a2,…,a,}恒成立，求Cn的最大值.
)
海淀区2023年高二年级学业水平调研
2023.07
数学
本试卷共4页，共两大部分，19道小题，满分100分。考试时长90分钟。试题答案一律填涂或
书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
(1)已知集合A=x1-3(D)-2,-1,0,1,2
(A)0,1
(B)0,1,2
(C)-3,0,1,2
(2)已知命题p:3x≤3，x-2≤1，则一p为
(A)3x≤3，Ix-2>1
(B)3x>3,x-21≤1
(C)Hx≤3，Ix-2>1
(D)x>3,lx-21>1
(3)已知{a}为等比数列，公比g>0,a2+a=12,aa,=81,则a5=
(A)81
(B)27
(C)32
(D)16
(4)下列四个函数中，在区间〔0,1]上的平均变化率最大的为
(A)y=x
(B)y=e"
(C)y=sinx
(D)y=
(5)已知a(A)a(B)e-(C)In (lal +1)(D)alal (6)已知函数f(x)=x2·inx,则f'()的值为
(A)0
(B)π
(D)-
4
(7)从A,B,C,D4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）.如果
甲不得A读物，则不同的分法种数为
(A)24
(B)18
(C)6
(D)4
(8)已知等差数列a,的前n项和为S,公差为d,则“S,有最大值”是“d<0”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
