辽宁省朝阳市部分学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

朝阳市部分学校2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则复数z的实部与虚部之和为（ ）
A． B．4 C． D．2
3．已知各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的公比为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
8．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在（单位：元）的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．估计众数为45 B．估计80%分位数是
C．估计平均数为43 D．支出在的频率为0.25
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的最小正周期 B．的图象关于对称
C．在的值域为 D．在上单调递增
11．在平面直角坐标系中，已知点，，圆．若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．
12．已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出“”的一个充分不必要条件______．
14．已知，，，那么______．
15．若，则______．
16．圆锥内有一个球，该球与圆锥的侧面和底面均相切，已知圆锥的底面半径为，球的半径为，记圆锥的体积为，球的体积为，当______时，取最小值______．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其周长为，且．
（1）求c；
（2）若的面积为，求C．
18．（本小题满分12分）
已知数列中，，，．
（1）求，的值；
（2）求的前2023项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE，平面ADE，．
（1）求证：；
（2）若，，且DE与平面ABCD所成角的大小为60°，设BD的中点为M，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2023年5月、6月中的5组数据：
日期 5月8日 5月18日 5月28日 6月8日 6月18日
昼夜温差x（℃） 8 11 6 15 5
就诊人数y 13 17 12 19 9
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的回归直线方程（系数精确到0.01）；
（2）一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6．若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X位同学被传染季节性流感，求X的分布列和期望．
参考数据：，．
参考公式：，．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C经过点，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（均与P不重合），证明：直线PM，PN的斜率之和为定值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．
2023年7月高二下学期期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 因为，，所以．故选A．
2．D 由，得，则复数z的实部与虚部之和为．
3．C 设公比为，则，解得（负值舍去）．故选C．
4．A 由向量，，且，得，可得，则所以．故选A．
5．C 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则，所以曲线C的离心率，故选C．
6．B 的定义域为，且，所以为偶函数，排除D；当时，，此时x趋向，趋向，排除A、C,故选B．
7．A 如图所示，∵点E，F分别是，的中点，
∴平面，点G到平面的距离即为点E或F到平面的距离．
方法1：等体积法
∵为等边三角形，∴，，
设F到平面的距离为d，∵，∴，解得．
方法2：向量法
建立如图所示的空间直角坐标系，
可求得平面的法向量为，，∴．
8．B
所以
，由于与33°最接近，故与该值最接近的是33°，故选B．
9．CD 对于A，最高的矩形为第三个矩形，其中点的横坐标为45，因此估计众数为45，故A正确；
对于B，前三个矩形的面积和为，所有矩形面积之和为1，故第四个矩形的面积为，80%分位数位于第四组，由，可以估计80%分位数为，故B正确；
对于C，平均数为，故C错误；
对于D，由B项解析中的计算可知，第四个矩形面积为0.30，因此支出在的频率为0.30，故D错误．
故选CD．
10．AC ，
对于A，周期为，故A正确；
对于B，令，得，所以的图象不关于对称，故B不正确；
对于C，当时，，所以，即的值域为，故C正确；
对于D，当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确，故选AC．
11．ABC 设点M的坐标为，因为，即，整理得．因为圆C上存在点M，满足，所以两圆相交或相切，所以，即，所以，所以A，B，C均正确．故选ABC．
12．BD 因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，则，整理得，同理得，所以，为方程的解，，所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．故选BD．
13．（答案不唯一） ，∵的一个充分不必要条件只需是的真子集．
14．0.3 由题意得，所以，
，所以．
15． 令，则，
所以
变为，
所以．
16． 2 如图所示，设圆锥的高为h，则由相似关系可得，解得，于是，当，即时，取得最小值2．
17．解：（1）由题意及正弦定理可得，又，即，所以．
（2）由（1）知，，所以，
因为，所以．
又，所以，因为，所以．
18．解（1）当时，，所以；当时，，所以．
（2）当时，，所以．
由知，所以，故数列是以4为周期的周期数列，
即，，，，
所以．
19．（1）证明：∵平面ADE，平面ADE，∴．
∵平面CDEF，平面CDEF，∴平面CDEF．
∵平面平面，平面ABCD，∴．
（2）解：∵平面ADE，平面ABCD，∴平面平面ADE，过E作于点O，则平面ABCD，
∴，∴为边长等于2的等边三角形．
在平面ABCD中，作，如图，以O为坐标原点，OA，Oy，OE所在的直线分别为x，y，z轴建系，则，，，，．
设平面MFC的法向量为，平面DFC的法向量为，
∵，，∴取，
同理取，记平面MFC与平面DFC所成的角为，所以．
20．（1）由表格中数据可得，，，
∴．∴．
∴就诊人数y关于昼夜温差x的回归直线方程为．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，∵，
∴，，
，．
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
期望．
21．（1）解：设椭圆方程为（m，且），
由题意得解得，，故椭圆C的标准方程是．
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，M，N为椭圆的上下顶点，即为，
则；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为．
联立消去y并整理，得，
则，得，
设，，则，，
所以
．
．
．
说明：由知，；若，则，．
点M，N的横坐标满足方程，即，即．
故M，N其中一点的坐标为，与题设条件矛盾，故．
综上，直线PM，PN的斜率之和为定值．
22．解：（1）的定义域为，，
①若，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增；
②若，．
时，，单调递增；时，，单调递减．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若函数在处取得极值，则，
由（1）知，（经检验，符合题意），此时．
，恒成立，
恒成立，恒成立．
设，则，
时，，单调递增，时，，单调递减，
，所以．
即实数b的取值范围是．