陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期末考试文科数学试题（含解析）

汉中市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.
A. B. C. D.1
3.若，满足约束条件，则的最大值为
A.-7 B.0 C. D.7
4.曲线在点处的切线的斜率为
A.7 B.6 C.5 D.4
5.已知，，，则
A. B. C. D.
6.如图，圆柱内部有两个与该圆柱底面重合的圆锥，若从该圆柱内部任取一点，则该点不在这两个圆锥内部的概率为
A. B. C. D.
7.过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则
A. B.1 C.2 D.4
8.函数的部分图象大致为
A. B.
C. D.
9.在等差数列中，，则的前2023项和
A.2023 B.4046 C.6069 D.8092
10.如图，网格纸上绘制了一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的表积为
A. B.
C. D.
11.当点到直线的距离取得最大值时，
A.2 B. C.-2 D.-4
12.已知函数在上恰有5个零点，则的取值范围为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量，，若，则__________.
14.甲、乙两位同学从3项不同的体育项目中任选1项参加，则这两人选择的体育项目相同的概率为__________.
15.已知双曲线：的离心率为，则双曲线的两条渐近线夹角（锐角）的正切值为__________.
16.数列满足，，则的前2023项和__________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的值；
（2）若，，求的周长.
18.（12分）
为倡导全校师生共读好书，某校图书馆新购入一批图书，需要招募若干名志愿者对新书进行编号归纳，并摆放到对应的书架上.已知整理图书所需时长y（单位：分）与招募的志愿者人数x的数据统计如下表：
志愿者人数x 1 2 3 4 5
整理时长y/分 60 45 40 30 25
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）由（1）中的线性回归方程求出每一个对应整理图书所需时长的估计值，若满足，则将数据称为一组正常数据，求表格中的五组数据中为正常数据的组数
附：线性回归方程中，，.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，F为PA的中点.
（1）证明：.
（2）求点P到平面CDF的距离.
20.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恰有1个极值点，求的取值范围.
21.（12分）
椭圆：的左、右顶点分别为，，上顶点为，Q是椭圆在第一象限内的一动点，直线与直线相交于点P，直线BQ与x轴相交于点R.
（1）求椭圆的方程
（2）试判断直线PR是否经过定点.若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于M，N两点，已知点，求.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
高二期末考试数学试卷参考答案（文科）
1.C因为，所以
2.A
3.C画出可行域（图略）知，当直线经过点时，取得最大值.
4.A ，当时，.
5.B因为，，，所以.
6.A设圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的体积为，两个圆锥的体积之和为，故所求的概率.
7.C由题可知抛物线经过点，则，即.
8.B ，所以是偶函数，排除C，D.当时，，排除A，故选B.
9.D设的公差为，则，则.
10.B该几何体的实物图如图所示，则该几何体的表面积为.
11.C将直线转化为.令解得故直线经过定点.当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，此时，解得.
12.D .因为，所以由，得.因为在上恰有5个零点，所以，解得.
13.-4因为，所以，解得.
14. 由题可知，这两人不同的选法共有9种，其中选择的体育项目相同的选法有3种，故所求的概率为.
15. 因为双曲线的离心率为，所以，则.设双曲线的两条渐近线的夹角为，则.
16.1351 因为，，所以，，，，，，则从第3项起为周期数列，则.
17.解：（1）因为，所以.
又，所以，即，
所以.
（2）由余弦定理得，
则，
所以的周长为12.
18.解：（1），.
，，
则，，
故关于的回归方程为.
（2）由（1）可知，当时，，，不是正常数据.
当时，，，不是正常数据.
当时，，，是正常数据.
当时，，，是正常数据.
当时，，，是正常数据.
故表格中共有3组数据是正常数据.
19.（1）证明：因为平面，平面，所以.
又，所以.由，得平面.
因为平面，所以.
因为为的中点，，所以.
由，得平面.
因为平面，所以.
（2）解：连接.因为为的中点，所以.
因为，，，所以.
又，平面，所以，所以.
取的中点，连接，，，易知平面，且，，，
则，，.
在中，，
则，.
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为.
20.解：（1）因为，所以，.
令，得或，且当时，，
当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.
从而的极小值为，无极大值.
（2）因为，所以.
因为在上恰有1个极值点，所以在上恰有一个变号零点.
令，则，
显然在上单调递增，且，所以在上恒成立，
则在上单调递增.
要使在上恰有一个变号零点，则，
即，故的取值范围为.
21.解：（1）由题可知，，
所以椭圆的方程为.
（2）依题可设直线的方程为，.
联立方程组消去整理得，
由，得，则.
直线的方程为，联立方程组解得，.
由，，三点共线，得，解得.
直线的方程为，
整理得，当时，，
故直线经过定点，该定点坐标为.
22.解：（1）由（为参数），消去参数，得曲线的普通方程为.
由，得直线的直角坐标方程为.
（2）直线的参数方程为（t为参数），
将其代入曲线的普通方程得，
则，，
故.
23.解：（1）因为，所以.
当时，原不等式转化为，解得.
当时，原不等式转化为，解得.
当时，原不等式转化为，解得.
综上所述，不等式的解集为.
（2）因为，所以恒成立等价于恒成立.
显然，当时，则，解得或.
当时，则，解得或.
故的取值范围为.