2023年天津市新四区示范校高二年级第二学期期末联考
数学答案
一、选择题（每小题5分，共45分）
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
二、填空题（每小题5分，共30分）
10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（每小题15分，共75分）
16. 解：由正弦定理得：，
即，
即，
由于，
故，
又，
所以．
设由得：，
解得，即角平分线的长度为．
设外接圆半径为，由，
，即，
或用余弦定理将余弦化边，
的面积，
，，，
，
，
，，，
，
17. 解：取中点，连接，
在中，分别为中点，
为的中位线，
，且，
又，
底面，
底面，
；
证明：底面，且面
，
底面是正方形，
，
又，面，
面，
又面
，且，
是等腰直角三角形，又是斜边的中线，
，
又，面，
面，
面
，
，
又，面
平面；
解：由可知，
故是平面与平面的夹角，
，
在中，，，，
又面，
面
，
在中，，
，
故平面与平面的夹角的大小．
18. 解：由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为：：，
由于采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学，
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取人，人，人．
从抽取的名同学中随机抽取名同学的所有可能结果为：
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，共个．
设抽取的名学生中，来自甲年级的人分别是，，，
来自乙年级的人分别是，，来自丙年级的人分别是，，
为事件“抽取的名同学来自同一年级”，
则事件包含的所有可能结果有：
，，，，，共个，
事件发生的概率．
19. 解：由题设，，则，
所以，整理得，则，
所以，即，，
所以，故数列为等差数列，得证．
由，可得，又，结合结论知：公差，
所以，故，则，
所以，且，
所以，即，
所以，在且上递减，则，
要使对任意恒成立，即，
所以．
20. 解：当 时， ，定义域为 ，
所以 ，令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以，函数 在 处取得最小值， ．
解：由知，当 时， ，即 ，
所以，要证 成立，只需证 ，
令 ，则 ，
所以，当 时， 恒成立，
所以，函数 为单调递增函数，
所以， ，即 ，
所以 ，
所以 成立
解：因为函数 对 恒成立
所以 对 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以，由 可得 ，即满足 对 恒成立；
当 时，则 ， ， 在 上单调递增，
因为当 趋近于 时， 趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；
当 时，令 得
令 ， 恒成立，故 在 上单调递增，
因为当 趋近于正无穷时， 趋近于正无穷，当 趋近于 时， 趋近于负无穷，
所以 ，使得 ， ，
所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以，只需 即可；
所以， ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以， ，
综上，实数的取值范围为 2023年天津市新四区示范校高二年级第二学期期末联考
数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，，若，，则( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4. 某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望
A. B. C. D.
5. 已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是( )
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 周期为 D. 在上是增函数
6. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在空间四边形中，两条对角线，互相垂直，且长度分别为和，平行于这两条对角线的平面与边，，，分别相交于点，，，，记四边形的面积为，设，则( )
A. 函数的值域为
B. 函数的最大值为
C. 函数在上单调递减
D. 函数满足
8. 天津之眼摩天轮转一圈分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
9. 若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
10. 若复数，则_________．
11. 向量在向量方向上的投影向量是______________．
12. 深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为，，，，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为，，，当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为_______．
13. 某次数学考试中，学生成绩服从正态分布若，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，至少有名学生的成绩高于的概率是______．
14. 已知向量满足，且，，则与的夹角为_____．
15. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_________ ．
三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知中，，，分别为角，，的对边，且
求角；
若，，为角的平分线，求的长；
若，求锐角面积的取值范围．
17. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求三棱锥的体积；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
18. 本小题分
已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为，，现采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动．
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作．
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．
19. 本小题分
已知数列的前项和为，满足：
求证：数列为等差数列；
若，令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
20. 本小题分
已知函数，．
若，求函数的最小值及取得最小值时的值；
求证：；
若函数对恒成立，求实数的取值范围．
