朝鲜族中学2022-2023学年度第二学期
高一年级数学学科第三次考试(人教版第二册)
班级:___________姓名:___________
一、单项选择题(每小题5分 共60分)
1.已知集合A={x|-1
A.{x|-12.等边三角形ABC的边长为1,=a,=b,则a·b=( )
A.- B. C.- D.
3. 若复数z满足z(3+4i)=25,则z在复平面内对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.化简:++++等于( )
A. B. C. D.
5. 以长为8 cm,宽为6 cm的矩形的一边所在直线为轴旋转一周而成的圆柱的底面面积为( )
A.64π cm2 B.36π cm2 C.64π cm2或36π cm2 D.48π cm2
6.若x>0,则x+的最小值为( )
A.2 B.3 C.2 D.4
7.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.2,那么摸出黑球的概率是( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.95
8.某射击运动员7次的训练成绩分别为86,88,90,89,88,87,85,则这7次成绩的第80百分位数为( )
A.88.5 B.89 C.91 D.89.5
9.已知直线l,m和平面α,则下列说法中正确的是( )
A.若l∥m,m α,则l∥α B.若l⊥α,m α,则l⊥m
C.若l⊥m,l⊥α则m⊥α D.若l∥α,m α,则l∥m
10.甲、乙两个实习生每人加工一个零件,他们将零件加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否被加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个被加工为一等品的概率为( )
A. B. C. D.
11.某校为调查高一年级某次考试数学成绩的情况,随机调查高一年级甲班10名学生,其成绩的平均数为90,方差为3,乙班15名学生,其成绩的平均数为85,方差为5,则这25名学生成绩的平均数和方差分别为( )
A.87,10.2 B.85,10.2 C.87,10 D.85,10
12.已知正四面体S-ABC外接球的表面积为6π,则正四面体S-ABC的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若复数z满足z+(1+i)=2i,则z的模是___________.
14.一组数据按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21,24,其中位数
为16,则x= .
15.从一副没有大、小王的52张扑克牌中随机抽取1张,事件A=“抽得红桃8”,事件B=“抽得黑桃”,则事件“A+B”发生的概率是 .
16. 在正三棱锥P-ABC中,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两垂直,则球心到截面ABC的距离为 .
三、解答题(17题10分,其它每小题12分,共70分)
17.已知向量a=(3,4),|b|=2,若a·b=5,求a与b的夹角.
18. 在复平面内,点A,B,C对应的复数分别z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i.
(1)求向量及的坐标;
(2)若以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
19.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛,甲获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示甲获胜,用5,6,7,8,9,0表示乙获胜,再以每3个随机数为1组,代表3局比赛的结果.经随机模拟产生了如下30组随机数:
102 231 146 027 590 763 245 207 310 386 350
481 337 286 139
579 684 487 370 175 772 235 246 487 569 047
008 341 287 114
据此估计这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率。
20.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表所示(单位:名):
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
若从该班随机选取1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率.
21.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=.
(1)若cos Acos C=,求△ABC的面积.
(2)试问+=1能否成立 若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.
22.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥PD,PA=PD, M,N分别为棱AB,PD的中点,二面角P-AD-B的大小60°,AB=3,BC=4.
(1)求证:直线MN∥平面PBC﹔
(2)求二面角A-PB-C的余弦值.
参考答案
1-12 BADAC DBBBB AA
13.
14.15
15.
16.
17.[解析] 由题知|a|==5,故cos===,所以a与b的夹角为.
18.解:(1)因为点A,B,C对应的复数分别为z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,
所以A(1,1),B(5,1),C(3,3),所以=(5-1,1-1)=(4,0),=(3-1,3-1)=(2,2).
(2)由(1)知,A(1,1),B(5,1),C(3,3),=(2,2),设顶点D的坐标为(x,y),则=(x-5,y-1),由题意可知=,所以(2,2)=(x-5,y-1),即解得所以D(7,3),所以z4=7+3i.易知||==2, 即AD的长为2.
19.[解析] 由题意知,在30组随机数中表示两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的有102,146,245,310,481,337,139,235,246,共9组,故所求概率约为=.
20.[解析] 由题意得,该班一共有45名学生,其中两个社团都未参加的有30人,所以从该班随机选取1名同学,则该同学至少参加一个社团的概率P=1- =.
21解:(1)由B=,得A+C=,
由cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,得=cos Acos C-sin Asin C.
又cos Acos C=,∴sin Asin C=.
∵====2,
∴a=2sin A,c=2sin C.
∴S△ABC=×2sin A×2sin C·sin B=4sin Asin Bsin C=4××=.
(2)假设+=1能成立,则a+c=ac.
∵b2=a2+c2-2accos B,∴6=a2+c2+ac.∴(a+c)2-ac=6,∴(ac)2-ac-6=0,
∴ac=3或ac=-2(舍),此时a+c=ac=3.
不满足a+c≥2,∴+=1不成立.
22.解:(1)证明:如图,取PC的中点E,连接NE,BE,因为N为PD的中点,所以在△PCD中,NE∥CD,且NE=CD,又因为M为棱AB的中点,所以MB=AB,因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB=CD,所以MB∥NE,且MB=NE,则四边形MBEN为平行四边形,所以MN∥BE,又因为MN 平面PBC,BE 平面PBC,所以直线MN∥平面PBC.
(2)如图,取AD的中点F,BC的中点G,连接PF,FG,PG.
在△PAD中,PA=PD,则PF⊥AD,在矩形ABCD中,可得FG⊥AD,
所以∠PFG为二面角P-AD-B的平面角,即∠PFG=60°.
又因为PF∩FG=F,PF,FG 平面PFG,所以AD⊥平面PFG.
又因为PG 平面PFG,所以AD⊥PG,又因为BC∥AD,所以BC⊥PG,所以△PBC是等腰三角形,即PB=PC.
在△PFG中,PF=AD=2,FG=3,∠PFG=60°,由余弦定理可知,
PG==,所以PB=PC=.
在△PAB中,过点A作AH⊥PB交PB于点H,由余弦定理可知,cos∠ABP==,所以BH=,则AH=.
由余弦定理可知,cos∠CBP==,在△PBC中,过点H作HK⊥PB,交BC于点K,易得BK=3,HK=.易知∠AHK为二面角A-PB-C的平面角.连接AK,易得AK=3,在△AHK中,由余弦定理可知,cos∠AHK==-,故二面角A-PB-C的余弦值为-.