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内蒙古包头市2023年中考数学试卷
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（2023·包头）下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·包头）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2023·包头）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A．-5 B．-3 C．5 D．3
4．（2023·包头）如图，直线，直线与直线a，b分别相交于点A，B，点在直线上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·包头）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·包头）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和.若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·包头）下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·包头）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·包头）如图，是锐角三角形ABC的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
10．（2023·包头）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线OB对称，反比例函数的图象与交于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．（2023·包头）若a，b为两个连续整数，且，则 .
12．（2023·包头）若是一元二次方程的两个实数根，则 .
13．（2023·包头）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点，以点为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 .
14．（2023·包头）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 .
15．（2023·包头）如图，在Rt中，，将绕点逆时针方向旋转，得到.连接，交AC于点，则的值为 .
16．（2023·包头）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点.下列结论：
①CF平分；②；③四边形ABCF是菱形；④
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（2023·包头）
（1）先化简，再求值：，其中.
（2）解方程：.
18．（2023·包头）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一.图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图.
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点(写出一条即可)，并提出一条增加月销量的合理化建议.
19．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
20．（2023·包头）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中。某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第(为整数)个月每台的销售价格为(单位：元)，与的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).
（1）当1≤≤10时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第个月的销售数量为(单位：万台)，与的关系可以用来描述.求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？
(销售收入=每台的销售价格销售数量)
21．（2023·包头）如图，AB是的直径，AC是弦，是上一点，是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP.
（1）求证：∠ADC-∠BAC=90°；（请用两种证法解答）
（2），的半径为，求AP的长.
22．（2023·包头）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点.
（1）如图1，连接QA.当时，试判断点是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，，且，
①求证：；
②当时，设，求PQ的长（用含a的代数式表示）.
23．（2023·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于B，C两点（点B在点的左侧），交轴于点，交轴于点.
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点，连接AF，DF，CF，且.
①求证：是直角三角形；
②的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、 ，B不符合题意；
C、 ，C符合题意；
D、 ，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（2）同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
（3）同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
（4）负次幂等于正次幂的倒数.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由 得，x≤m+1，
由数轴知，不等式的解集为x≤3，
∴m+1=3，解得m=2.
故答案为：B.
【分析】解一元一次不等式，再观察数轴得出x≤3，进而求得m的值。
3．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据题中定义的新运算 ，代入计算即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CA=CB，∠1=32°，
∴
∵a∥b，
∴∠2=∠ABC=74°.
故答案为：C.
【分析】由CA=CB知△ABC是等腰三角形，进而得出∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数.
5．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图有3列，从左到右正方形的个数分别为1、2、2，即
故选：D.
【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断主视图的图形即可.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，点A坐标在双曲线上有2种情况：（2，3），（3，2），所以， 点在双曲线上的概率为.
故答案为：A.
【分析】先列出A的坐标的所有可能情况是6种，再根据反比例函数的性质求出A坐标在双曲线上的情况有2种，从而得到点A在双曲线上的概率。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是5，
设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
由勾股定理得，a2+（a+1）2=52，
解得，a1=3，a2=-4（舍去），
∴a=3，
∴.
故答案为：D.
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为ā+1，利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求出直角三角形的两个直角边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值.
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： 正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到 y=-2（x-3），
∴y=-2x+6.
故答案为：B.
【分析】根据图像平移规律计算即可。
9．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，，
∴，
∵DE+DF=6.5，
∴EF=4，
故选：B.
【分析】根据垂径定理得AD=BD，AF=CF，BE=CE，再根据三角形中位线定理计算出DE+DF+EF的值，结合已知条件可以得出EF的长。
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥x轴于点D，
∵，，，
∴，BD=1，，
∴
∴tan∠BOD=tan∠BAD=，
∴，∠BOD=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°，∠OBA=120°，
∵与关于直线OB对称 ，
∴∠OBA'=∠OBA=120°，
∴∠OBA'+∠OBD=180°，
∴A'、B、D共线，
∵A‘B=AB=2，A‘C=BC，
∴BC=1，CD=2，
∴C的坐标为，
∵反比例函数的图象与交于点
∴.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形锐角三角函数的知识，得出A'、B、D共线，进而求出C点的坐标，再代入反比例函数关系式求出k的值。
11．【答案】3
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵1＜3＜4，
∴，
∴a=1，b=2，
∴a+b=3，
故答案为：3.
【分析】估算可知在1和2之间，从而得出a和b的值，计算出a+b的值。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=2，x1x2=-8，再代入求得 的值.
13．【答案】π
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AD=CD，∠DBE=45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即.
故答案为：π
【分析】根据正方形的性质得出△AOD≌△COB，从而得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，再根据扇形面积计算公式计算即可得出答案.
14．【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵P（m，3）在二次函数 图象上，
∴-am2+2am+3=3，
∴-am（m-2）=0，
∵a＞0，m≠0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】由点P在二次函数图象上，将点P的坐标代入函数关系式计算即可。
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，
∴，
∵△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，
∴，∠BAB'=90°，
∴∠ABB'=45°，
∵DE⊥AB，∠DEB=45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∵∠EAD=∠CAB，∠DEA=∠BCA=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=3DE=3BE，
∴AB=4DE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
【分析】作DE⊥AB于点E，利用旋转的性质得出△DEB是等腰直角三角形，再证明△ADE∽△ABC，进而得出AE=3DE，AB=4DE，求出DE的长，结合勾股定理得出AD，从而得到.
16．【答案】①③④
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，，
∴在△ABC中，AB=BC，∠ABC=108°，
∴∠ACB=∠BAC=36°，
同理，∠DCE=36°，
∴∠ACE=∠BCD-∠ACB-∠DCE=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACE=∠DCE，
∴CF平分∠ACD，
故①正确；
②∵∠CED=∠ACE=36°，
∴AC∥DE，
∴，
∵AC≠2AB，
∴AF≠2DF，
故②不正确；
③∵AB=BC，AE=ED，∠ABC=∠AED=108°，
∴∠BAC=36°，∠EAD=36°，
∴∠CAD=36°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴BC∥AF，
同理，AB∥CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC
∴四边形ABCF是菱形，
故③正确；
④∵∠ADE=∠CED=36°，∠EAD=∠ADE=36°，
∴△ADE∽△DEF，
∴，
∴，
∵AB=DE，
∴.
故④正确；
故答案为：①③④.
【分析】（1）利用正五边形的性质求出各角、各边的关系，计算得出∠ACE=∠DCE；
（2）利用三角形相似得到，再判断比值不能是2；
（3）先证明四边形ABCF是平行四边形，再利用菱形定义判断四边形ABCF是菱形；
（4）利用△ADE∽△DEF得到，从而得出。
17．【答案】（1）解：原式.
当时，原式.
（2）解：方程两边乘，得.
解得.经检验，是原方程的根.
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，代入求值即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可.
18．【答案】（1）解：(万辆)，
，
该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆.
（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等.
增加月销量的合理化建议：加大宣传力度；政策扶持；降价促销；技术创新；做好售后服务等.
【知识点】利用统计图表分析实际问题；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数的定义进行计算；
（2）利用条形统计图的数据从中位数、销售量、月均销量、极值等方面选择一种合理阐述即可。
19．【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
20．【答案】（1）当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为
图象过两点，
∴解得
当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为.
（2）设销售收入为万元，
①当时，，
当时，(万元).
②当时，，
随的增大而增大，
当时，=3300（万元）.
第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台的销售价格与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出表达式即可；
（2） 根据销售收入=每台的销售价格销售数量 ，设销售收入为万元，分别求出1≤x≤10和10＜x≤12时w的函数关系式，再利用二次函数和一次函数的性质，分别求出最大销售收入，比较得到第5个月的销售收入最多.
21．【答案】（1）解：方法一：如图，连接
，
是的直径，
，
，
方法二：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠PBC=∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC-∠BAC=90°
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠PBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠PBC，
∴∠ADC-∠BAC=90°.
（2）如图，连接，
.
，
.
的半径为.在Rt中，
，
.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB=90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；
（2）由∠ACP=∠ADC以及OA=OC，再结合（1）的结论，得出∠OCP=90°，利用勾股定理求出OP的长，从而得出AP的长.
22．【答案】（1）解：如图，点在线段PC的垂直平分线上.
理由如下：连接
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点
，
，
点在线段PC的垂直平分线上.
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
.
，
.
在Rt中，，
②如图，连接QC.，，
是等边三角形.
.
.
在Rt中，，，
，
.
.在Rt中，，
由勾股定理得，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，垂直平分线的性质，得出QA=QC，从而得到QC=QP，再利用垂直平分线的判定进行证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.
23．【答案】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，.
直线交抛物线于B，C两点，，
，解得点在点的左侧，
点的横坐标为3，当时，
（2）如图，
①抛物线交轴于点，
当时，.
在Rt中，，
由勾股定理得，
设.
.
.
，
是等腰直角三角形，.
过点作轴，垂足为，
是等腰直角三角形，
是直角三角形.
②平分，
轴.，
.设点的坐标为，根据题意得.
(i)当点在直线KF的左侧抛物线上时，.
过点作轴，垂足为，
.在Rt中，
，
(舍去).
当时，.
(ii)当点在直线KF的右侧抛物线上时，.
过点作轴，垂足为
，.
在Rt中，
，(舍去).
当时，
.
点的坐标为或.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用一次函数 ，求出点D、E的坐标，根据直线与二次函数交于点C，联立求出点C的坐标；
（2）①设F(m，0），由勾股定理得出AF2和EF2的表达式，计算求出m的值，从而得出OD=OF，∠OFD=45°，再计算得出CG=GF，得到∠CFG=45°，从而得出△DFC是直角三角形；②根据题意得出，设点P的坐标为（t，-t2+3t+1），根据题意得.分两种情况讨论：（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，，过点作轴，垂足为 H，根据平行线的判定与性质，可知∠HP1F=∠P1FK，进而得到P1H=3HF，列式进行计算得出t的值；（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，，2二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
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一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（2023·包头）下列各式计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、 ，B不符合题意；
C、 ，C符合题意；
D、 ，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】（1）幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（2）同底数幂的除法，底数不变，指数相减；
（3）同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
（4）负次幂等于正次幂的倒数.
2．（2023·包头）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由 得，x≤m+1，
由数轴知，不等式的解集为x≤3，
∴m+1=3，解得m=2.
故答案为：B.
【分析】解一元一次不等式，再观察数轴得出x≤3，进而求得m的值。
3．（2023·包头）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A．-5 B．-3 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据题中定义的新运算 ，代入计算即可。
4．（2023·包头）如图，直线，直线与直线a，b分别相交于点A，B，点在直线上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CA=CB，∠1=32°，
∴
∵a∥b，
∴∠2=∠ABC=74°.
故答案为：C.
【分析】由CA=CB知△ABC是等腰三角形，进而得出∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数.
5．（2023·包头）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图有3列，从左到右正方形的个数分别为1、2、2，即
故选：D.
【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断主视图的图形即可.
6．（2023·包头）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和.若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，点A坐标在双曲线上有2种情况：（2，3），（3，2），所以， 点在双曲线上的概率为.
故答案为：A.
【分析】先列出A的坐标的所有可能情况是6种，再根据反比例函数的性质求出A坐标在双曲线上的情况有2种，从而得到点A在双曲线上的概率。
7．（2023·包头）下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是5，
设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
由勾股定理得，a2+（a+1）2=52，
解得，a1=3，a2=-4（舍去），
∴a=3，
∴.
故答案为：D.
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为ā+1，利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求出直角三角形的两个直角边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosα的值.
8．（2023·包头）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解： 正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到 y=-2（x-3），
∴y=-2x+6.
故答案为：B.
【分析】根据图像平移规律计算即可。
9．（2023·包头）如图，是锐角三角形ABC的外接圆，，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD=BD，AF=CF，BE=CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴，，，
∴，
∵DE+DF=6.5，
∴EF=4，
故选：B.
【分析】根据垂径定理得AD=BD，AF=CF，BE=CE，再根据三角形中位线定理计算出DE+DF+EF的值，结合已知条件可以得出EF的长。
10．（2023·包头）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线OB对称，反比例函数的图象与交于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；坐标与图形变化﹣对称；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥x轴于点D，
∵，，，
∴，BD=1，，
∴
∴tan∠BOD=tan∠BAD=，
∴，∠BOD=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°，∠OBA=120°，
∵与关于直线OB对称 ，
∴∠OBA'=∠OBA=120°，
∴∠OBA'+∠OBD=180°，
∴A'、B、D共线，
∵A‘B=AB=2，A‘C=BC，
∴BC=1，CD=2，
∴C的坐标为，
∵反比例函数的图象与交于点
∴.
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形锐角三角函数的知识，得出A'、B、D共线，进而求出C点的坐标，再代入反比例函数关系式求出k的值。
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分。请将答案填在答题卡上对应的横线上。
11．（2023·包头）若a，b为两个连续整数，且，则 .
【答案】3
【知识点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵1＜3＜4，
∴，
∴a=1，b=2，
∴a+b=3，
故答案为：3.
【分析】估算可知在1和2之间，从而得出a和b的值，计算出a+b的值。
12．（2023·包头）若是一元二次方程的两个实数根，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ，
∴x1+x2=2，x1x2=-8，
∴，
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2=2，x1x2=-8，再代入求得 的值.
13．（2023·包头）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点，以点为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】π
【知识点】正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AD=CD，∠DBE=45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即.
故答案为：π
【分析】根据正方形的性质得出△AOD≌△COB，从而得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，再根据扇形面积计算公式计算即可得出答案.
14．（2023·包头）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 .
【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵P（m，3）在二次函数 图象上，
∴-am2+2am+3=3，
∴-am（m-2）=0，
∵a＞0，m≠0，
∴m-2=0，
∴m=2.
故答案为：2.
【分析】由点P在二次函数图象上，将点P的坐标代入函数关系式计算即可。
15．（2023·包头）如图，在Rt中，，将绕点逆时针方向旋转，得到.连接，交AC于点，则的值为 .
【答案】5
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=1，
∴，
∵△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，
∴，∠BAB'=90°，
∴∠ABB'=45°，
∵DE⊥AB，∠DEB=45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∵∠EAD=∠CAB，∠DEA=∠BCA=90°，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE=3DE=3BE，
∴AB=4DE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
【分析】作DE⊥AB于点E，利用旋转的性质得出△DEB是等腰直角三角形，再证明△ADE∽△ABC，进而得出AE=3DE，AB=4DE，求出DE的长，结合勾股定理得出AD，从而得到.
16．（2023·包头）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点.下列结论：
①CF平分；②；③四边形ABCF是菱形；④
其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，，
∴在△ABC中，AB=BC，∠ABC=108°，
∴∠ACB=∠BAC=36°，
同理，∠DCE=36°，
∴∠ACE=∠BCD-∠ACB-∠DCE=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACE=∠DCE，
∴CF平分∠ACD，
故①正确；
②∵∠CED=∠ACE=36°，
∴AC∥DE，
∴，
∵AC≠2AB，
∴AF≠2DF，
故②不正确；
③∵AB=BC，AE=ED，∠ABC=∠AED=108°，
∴∠BAC=36°，∠EAD=36°，
∴∠CAD=36°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴BC∥AF，
同理，AB∥CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC
∴四边形ABCF是菱形，
故③正确；
④∵∠ADE=∠CED=36°，∠EAD=∠ADE=36°，
∴△ADE∽△DEF，
∴，
∴，
∵AB=DE，
∴.
故④正确；
故答案为：①③④.
【分析】（1）利用正五边形的性质求出各角、各边的关系，计算得出∠ACE=∠DCE；
（2）利用三角形相似得到，再判断比值不能是2；
（3）先证明四边形ABCF是平行四边形，再利用菱形定义判断四边形ABCF是菱形；
（4）利用△ADE∽△DEF得到，从而得出。
三、解答题：本大题共有7小题，共72分。请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（2023·包头）
（1）先化简，再求值：，其中.
（2）解方程：.
【答案】（1）解：原式.
当时，原式.
（2）解：方程两边乘，得.
解得.经检验，是原方程的根.
【知识点】解分式方程；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，代入求值即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可.
18．（2023·包头）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一.图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图.
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点(写出一条即可)，并提出一条增加月销量的合理化建议.
【答案】（1）解：(万辆)，
，
该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆.
（2）2022年下半年月销量的特点：月销量呈递增趋势；12月的销量最大；有三个月的销量超过了20万辆；中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆等.
增加月销量的合理化建议：加大宣传力度；政策扶持；降价促销；技术创新；做好售后服务等.
【知识点】利用统计图表分析实际问题；平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用平均数的定义进行计算；
（2）利用条形统计图的数据从中位数、销售量、月均销量、极值等方面选择一种合理阐述即可。
19．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
20．（2023·包头）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中。某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第(为整数)个月每台的销售价格为(单位：元)，与的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).
（1）当1≤≤10时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第个月的销售数量为(单位：万台)，与的关系可以用来描述.求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？
(销售收入=每台的销售价格销售数量)
【答案】（1）当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为
图象过两点，
∴解得
当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为.
（2）设销售收入为万元，
①当时，，
当时，(万元).
②当时，，
随的增大而增大，
当时，=3300（万元）.
第5个月的销售收入最多，最多为3375万元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台的销售价格与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出表达式即可；
（2） 根据销售收入=每台的销售价格销售数量 ，设销售收入为万元，分别求出1≤x≤10和10＜x≤12时w的函数关系式，再利用二次函数和一次函数的性质，分别求出最大销售收入，比较得到第5个月的销售收入最多.
21．（2023·包头）如图，AB是的直径，AC是弦，是上一点，是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP.
（1）求证：∠ADC-∠BAC=90°；（请用两种证法解答）
（2），的半径为，求AP的长.
【答案】（1）解：方法一：如图，连接
，
是的直径，
，
，
方法二：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠PBC=∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC-∠BAC=90°
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠PBC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠PBC，
∴∠ADC-∠BAC=90°.
（2）如图，连接，
.
，
.
的半径为.在Rt中，
，
.
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB=90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；
（2）由∠ACP=∠ADC以及OA=OC，再结合（1）的结论，得出∠OCP=90°，利用勾股定理求出OP的长，从而得出AP的长.
22．（2023·包头）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点.
（1）如图1，连接QA.当时，试判断点是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，，且，
①求证：；
②当时，设，求PQ的长（用含a的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图，点在线段PC的垂直平分线上.
理由如下：连接
四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点
，
，
点在线段PC的垂直平分线上.
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
.
，
.
在Rt中，，
②如图，连接QC.，，
是等边三角形.
.
.
在Rt中，，，
，
.
.在Rt中，，
由勾股定理得，
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；特殊角的三角函数值；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，垂直平分线的性质，得出QA=QC，从而得到QC=QP，再利用垂直平分线的判定进行证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，再由各角之间的关系得∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC.利用等边三角形的判定和性质得出AE=2a，AP=3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.
23．（2023·包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于B，C两点（点B在点的左侧），交轴于点，交轴于点.
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点，连接AF，DF，CF，且.
①求证：是直角三角形；
②的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标.
【答案】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
当时，，当时，.
直线交抛物线于B，C两点，，
，解得点在点的左侧，
点的横坐标为3，当时，
（2）如图，
①抛物线交轴于点，
当时，.
在Rt中，，
由勾股定理得，
设.
.
.
，
是等腰直角三角形，.
过点作轴，垂足为，
是等腰直角三角形，
是直角三角形.
②平分，
轴.，
.设点的坐标为，根据题意得.
(i)当点在直线KF的左侧抛物线上时，.
过点作轴，垂足为，
.在Rt中，
，
(舍去).
当时，.
(ii)当点在直线KF的右侧抛物线上时，.
过点作轴，垂足为
，.
在Rt中，
，(舍去).
当时，
.
点的坐标为或.
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用一次函数 ，求出点D、E的坐标，根据直线与二次函数交于点C，联立求出点C的坐标；
（2）①设F(m，0），由勾股定理得出AF2和EF2的表达式，计算求出m的值，从而得出OD=OF，∠OFD=45°，再计算得出CG=GF，得到∠CFG=45°，从而得出△DFC是直角三角形；②根据题意得出，设点P的坐标为（t，-t2+3t+1），根据题意得.分两种情况讨论：（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，，过点作轴，垂足为 H，根据平行线的判定与性质，可知∠HP1F=∠P1FK，进而得到P1H=3HF，列式进行计算得出t的值；（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，，2二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
