12.3 角的平分线的性质
一、选择题
1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )
A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm
3．如图1，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
（1） (2) (3)
二、填空题
5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．
6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．
7．如图3，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．
三、解题题
8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．
9．如图，四边形ABCD中AB=AD，CB=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证PE=PF．
10．如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC．
11．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．
①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．
②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．
参考答案:
1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS
6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略
9．证明AC平分∠BCD
10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD
11．①证明△COE≌△BOD得到OE=OD；②先由角平分线的性质证明OE=OD，再证明△COE≌△BOD
12.3 角的平分线的性质
学习目标
1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质．
2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理
3.能运用角的平分线性质和判定解决简单的几何问题.
学习重点：掌握角的平分线的性质和判定.
学习难点：角的平分线的性质和判定的应用
学法指导：观察思考，动手操作，合作探究
学习过程
一、学前准备
1．什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？
2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
二、合作探究
探究1.
(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
探究2.
在角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于M、N, PM、PN的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离.
(1) 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
PM
PN
第一次
?
?
第二次
?
?
第三次
?
?
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
(3)你能用三角形全等证明这个性质吗?
探究3.
如图，已知PD⊥OA,PE⊥OB,且PD =PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？
归纳：
三、新知应用
1.思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
2.例题讲解：
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
四、巩固练习
1.教材50页练习1
2、教科书P50练习2.
五、课堂小结
1. 这节课你学到了哪些知识？
2. 你还有什么疑惑？
六、当堂清
1.在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为 。
2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为 ㎝。
3.如图,∠A＝90°,BD是△ABC的角平分线,AC＝8㎝,DC＝3DA,则点D到BC的距离为 。
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点
C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点
6.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，
求证：BE＝CF
7.已知，如图BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，
求证：PM＝PN
8.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O且交角为90°，某仓库G在A区，到公、铁路
距离相等，且到公路与铁路的相交点O的距离为200ｍ。
在图上标出仓库G的位置。（比例尺：1：10000。用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
参考答案：1.2㎝ 2. 1.5 3. 2㎝ 4.D 5.D
6.∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF ∠E=∠DFC=90°
∵DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF
∴BE＝CF
7. ∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD
又AB＝BC，BD=DB
∴△ABD≌△CBD
∴∠ADB=∠CDB
∵PM⊥AD，PN⊥CD
∴PM＝PN
8.作∠NOQ的平分线OP，在OP上截取OG=2cm
七、学习反思
12.3 角的平分线的性质
教学目标
知识与技能
1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定．
2.会用尺规作已知角的平分线．
3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．
过程与方法
经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
情感态度价值观
在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神
教学重点
角平分线画法、性质和判定．
教学难点
角的平分线的性质的探究
教学准备
平分角的仪器(自制)三角尺、多媒体课件等．
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境，导入新课
1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？
2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
复习旧知识，回忆角的平分线的定义
让学生体验利用证明三角形全等的方法来对画法做出说明．
要求学生能说明所作的射线是角平分线的理由．
探索新知，建立模型
探究1.
(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？
【已知：∠AOB
求作：∠AOB的平分线】
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
【以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.】
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
【分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
【是】
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
【提示：利用全等的性质】
探究2.
(1)在已画好的角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于M、N, PM、PN的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离。量出它们的长度，你发现了什么？
【多媒体课件动态演示(可用“几何画板”制作)，当拖动∠AOB平分线OC上的点P时，观察PM、PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的变化规律.
探究结果后可得到：PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN】
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
【角的平分线上的点到角的两边的距离相等】
(3)你能用三角形全等证明这个性质吗?
探究3.
那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？
如图，已知PD⊥OA,PE⊥OB,且PD =PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？为什么？
归纳：
角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.
培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.
让学生体验成功
在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验．
在说理的过程中加深对角平分线性质、判定定理的理解．
解析、应用与拓展
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
问题1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
结论：
1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．图中1cm表示实际距离200m的意思．
作图如下：
第一步：作∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
例题讲解：
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
巩固练习教材50页练习1,2
发展学生应用数学的意识与能力
只要作法合理，均应给予肯定．
小结与作业
小结提高
我们学习了关于角平分线的两个性质：
①角平分线上的点到角的两边的距离相等；
②角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．
与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等来得出线段相等．
通过小结归纳，完善学生对知识的梳理．
布置作业
1．必做题：
2．选做题：
本题是对所学内容的复习，又为下节课学习做准备．
课件20张PPT。12.3 角的平分线的性质旧知回顾
角的平分线的定义是什么？旧知回顾
已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。
要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.已知AB=AD.
将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线.BDCA动脑思考
把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边AB与AD相等，从几何作图角度怎么画？BADC动脑思考
BC=DC从几何作图角度怎么画？BADC 角平分线的画法（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．（3）作射线，
则射线OC即为所求AB(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．想一想：为什么OC是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.证明：连接CM，CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌△ONC
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOBAB
操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
求证：PD=PE证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) C12角平分线的性质定理定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。应用定理的书写格式：OP 是 的平分线PD = PE（在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E， PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,
∠ODP=∠OEP=90°
OP=OP, PD=PE
Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL) 角的内部到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。定理 定理 2的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （角的内部到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）∵用途：判定一条射线是角平分线知识运用 如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。 ∵到公路的距离与到河岸的距离相等∴工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝则另一点就是工厂的位置。 例题讲解 例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA
的距离相等DEF 3 角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。
1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2 角的内部到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
作 业 这节课我们学习到这里，再见！
