12.3 角的平分线的性质
12.3 第1课时 角的平分线的性质
一、选择题
1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
2. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
4. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（ ）
A. 4㎝ B. 6㎝ C. 10㎝ D. 不能确定
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ( http: / / www.21cnjy.com )
第2题图 第3题图 第4题图
5.如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B.平分 C. D.垂直平分
6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．
S△ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A． 4 B． 3 C． 6 D． 5
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第5题图 第6题图 第7题图
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A、11 B、5.5 C、7 D、3.5
8.已知：如图，△ABC中，∠C＝90o， ( http: / / www.21cnjy.com )点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（ ）
（A）2cm、2cm、2cm． （B）3cm、3cm、3cm．
（C）4cm、4cm、4cm． （D）2cm、3cm、5cm．
二、填空题
9．如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm．
11 .如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 第9题图 第10题图 第11题图
12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第12题图 第13题图 第15题图
13.如图，在Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为 ．
14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD= ．
15.如图，AD是△ABC的角平分线， ( http: / / www.21cnjy.com )DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是 ．
16.通过学习我们已经知道三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为 ．
17.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第16题图 第17题图 第18题图
18. 如图，△ABC的三边AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO = ．
三、解答题
19．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，
BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
20. 如图，画∠AOB=90°，并画∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
21.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
( http: / / www.21cnjy.com )
22. 如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
23. 如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，
EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G．求证：BF=CG．
( http: / / www.21cnjy.com )
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.A
二、填空题
9. PC=PD（答案不唯一） 10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 10
15. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6
三、解答题
19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C．
20. 解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF． ( http: / / www.21cnjy.com )
21.（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=33°（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∵，∴△ACN≌△MCN．
22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：
过E作ED⊥BC交BC于点D，
∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，
∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，
∵在Rt△BAE和Rt△BDE中
，
∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），
∴BA=BD，
∵AB=AC，∠A=90°
∴∠C=45°，
∴∠CED=45°=∠C，
∴DE=CD，
∵AE=DE，
∴AE=CD=DE，
∴BC=BD+DC=BA+AE．
( http: / / www.21cnjy.com )
23. 证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中 ，∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），∴BF=CG ( http: / / www.21cnjy.com )
A
F
C
D
E
B12.3 第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（ ）
A． ∠1=∠2 B． ∠1＞∠2 C． ∠1＜∠2 D． 无法确定
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AE=BE B． DB=DE C． AE=BD D． ∠BCE=∠ACE
4. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；
∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A． 110° B． 120° C． 130° D． 140°
5．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．
A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（ ）
（A）DE＝DF． （B）ME＝MF． （C）AE＝AF． （D）BD＝DC．
8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：
①DA平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等；
④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．
其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第8题图 第10题图 第11题图
二、填空题
9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ．
10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．
12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA= °．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第12题图 第13题图
13.如图，△ABC的∠ABC的外角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .
14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，
∠EBC= °
15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 第14题图 第15题图 第16题图
16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．
三、解答题
17. 如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1 000米．
（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的
图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置．
( http: / / www.21cnjy.com )
18． 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com )
19. PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．
求证：P在∠A的平分线上（如图）．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．已知：如图，，是的中点，平分．
（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论．
（2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上 ( http: / / www.21cnjy.com )分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.D
二、填空题
9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55
三、解答题
17.解:（1）1 000米=100 000厘米，
100 000÷50 000=2（厘米）；
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
18. 证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com )
19.证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．
∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PE=PH，PH=PG，
∴PE=PG．
∴P点在∠A的平分线上．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（1）平分．
证明：过点作，垂足为．
，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
又，．
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2），理由如下：
，
（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
又，（角平分线定义）
，，
．即．
21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
( http: / / www.21cnjy.com )
2
1
3
4
D
C
M
B
A
2
1
3
4
Ｄ
Ｃ
Ｍ
Ｂ
Ａ
Ｅ
